Quelltext der Seite Wärmewiderstand

{{Dieser Artikel|behandelt “absolute” Größen (Kennzahlen eines Bauteils). Für die stoffspezifischen Größen siehe [[Wärmeleitfähigkeit]].}}
Der (absolute) '''Wärmewiderstand''' (auch '''Wärmeleitwiderstand''', '''thermischer Widerstand''') <math>R_\mathrm{th}</math> ist ein Wärme[[kennwert]] und ein Maß für die Temperaturdifferenz, die in einem Objekt beim Hindurchtreten eines [[Wärmestrom]]es ([[Wärme]] pro Zeitspanne oder Wärmeleistung) entsteht. Der [[Kehrwert]] des Wärmewiderstands ist der '''Wärmeleitwert''' <math>G_\mathrm{th}</math> des Bauteils.<ref group="Anm" name="WLW">Der „Wärmeleitwert“ ist der Kehrwert des Wärmewiderstands, analog zum elektrischen Leitwert. Bisweilen wird dieses Wort aber auch in anderer Bedeutung verwendet: als Abkürzung für „spezifischer Wärmeleitwert“ (= [[Wärmeleitfähigkeit]]) oder als Synonym für „[[Wärmedurchgangskoeffizient]]“.</ref>

== Definition ==
Der thermische Widerstand <math>R_\mathrm{th}</math> bzw. der thermische Leitwert <math>G_{th}</math> ist definiert als das Verhältnis von Temperaturdifferenz zu Wärmefluss durch einen Körper:
:<math>R_\mathrm{th} = \frac{\Delta T}{\dot Q} \quad</math> bzw. <math>\quad G_\mathrm{th} = \frac{\dot Q}{\Delta T}</math>

mit
* <math>\Delta T</math> – [[Temperatur]]differenz (z.&nbsp;B. zwischen Außen- und Innenseite einer Thermosflasche oder zwischen einer Kühlfläche und der Umgebungsluft)
* <math>{\dot Q}</math> – Wärmestrom (z.&nbsp;B. die [[Verlustleistung]] durch ein Fenster oder der Wärmestrom im [[Wärmeübertrager]])

Die Einheit des Wärmewiderstands ist [[Kelvin|K]]/[[Watt (Einheit)|W]], die des Wärmeleitwertes dementsprechend W/K.

== Analogie zum ohmschen Gesetz ==
Thermische Größen haben Analogien zu denen des elektrischen Widerstandes, die sich auch in ihren Namen zeigen.

Es treten Analogien zum elektrischen Strom auf, die die Anwendung des [[Ohmsches Gesetz|ohmschen Gesetzes]] und der [[Kirchhoffsche Regeln|kirchhoffschen Regeln]] bei der [[Wärmeübertragung]] ermöglichen. Diese sind:

{| class="wikitable"
|- style="border-top:2px solid black; 
! colspan="3" style="border-left:2px solid black; border-right:2px solid black;" | Wärmefluss
! colspan="3" style="border-right:2px solid black;" | Elektrischer Strom
|- style="border-top:2px solid black;"
| style="border-left:2px solid black;" | Temperaturdifferenz || <math>\Delta T</math> || style="border-right:2px solid black;" | K
| [[Elektrisches Potential|Elektrische Potentialdifferenz]]<br /> = [[Elektrische Spannung]] || <math>\Delta\varphi</math> <br /><math>U</math> || style="border-right:2px solid black;" | V
|-
| style="border-left:2px solid black;" | [[Wärme]](menge) || <math>Q</math> || style="border-right:2px solid black;" | J
| [[Elektrische Ladung]] || <math>Q</math> || style="border-right:2px solid black;" | C
|- 
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmekapazität]] || <math>C_\mathrm{th} = Q/\Delta T </math> || style="border-right:2px solid black;" | J/K
|  [[Elektrische Kapazität]] || <math>C = Q/U</math> || style="border-right:2px solid black;" | F = C/V
|-
| style="border-left:2px solid black;" | [[Wärmestrom]] || <math>\dot{Q}</math> || style="border-right:2px solid black;" | W = J/s
| [[Elektrischer Strom]] || <math>I=\dot Q</math> || style="border-right:2px solid black;" | A = C/s
|-
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmestromdichte]] || <math>\dot{q}=\dot Q/A</math> || style="border-right:2px solid black;" | W/m<sup>2</sup>
| [[Elektrische Stromdichte]] || <math>j=I/A</math> || style="border-right:2px solid black;" | A/m<sup>2</sup>
|- style="border-top:2px solid black;"
| style="border-left:2px solid black;" | '''Wärmewiderstand''' || <math>R_\mathrm{th}=\Delta T/\dot Q</math> || style="border-right:2px solid black;" | K/W
| [[Elektrischer Widerstand]] || <math>R=U/I</math> || style="border-right:2px solid black;" | Ω = V/A
|- style="border-bottom:2px solid black;"
| style="border-left:2px solid black;" | Wärmeleitwert<ref group="Anm" name="WLW" /> || <math>G_\mathrm{th}=\dot Q/\Delta T</math> || style="border-right:2px solid black;" | W/K
| [[Elektrischer Leitwert]] || <math>G=I/U</math> || style="border-right:2px solid black;" | S = 1/Ω = A/V
|- 
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmedurchlasswiderstand]] || <math>R = l/\lambda</math> || style="border-right:2px solid black;" | K·m<sup>2</sup>/W
| flächenbezogener Widerstand || <math>R\cdot A = l/\sigma</math> || style="border-right:2px solid black;" | Ω·m<sup>2</sup> = V·m<sup>2</sup>/A
|-
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmedurchlasskoeffizient]] || <math>1/R = \lambda/l</math> || style="border-right:2px solid black;" | W/(K·m<sup>2</sup>)
| flächenbezogener Leitwert || <math>G/A = \sigma/l</math> || style="border-right:2px solid black;" | S/m<sup>2</sup> = A/(V·m<sup>2</sup>)
|- 
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmeübergangswiderstand]] || <math>R_s</math> || style="border-right:2px solid black;" | K·m<sup>2</sup>/W
| colspan="3" style="border-right:2px solid black;" | flächenbezogener Widerstand an der Kontaktfläche
|-
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmeübergangskoeffizient]] || <math>1/R_s</math> || style="border-right:2px solid black;" | W/(m<sup>2</sup>·K)
| colspan="3" style="border-right:2px solid black;" | flächenbezogener Leitwert an der Kontaktfläche
|- 
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmedurchgangswiderstand|Wärmedurchgangs&shy;widerstand]] || <math display="inline">R_T= R+\sum_i R_{s,i}</math> || style="border-right:2px solid black;" | K·m<sup>2</sup>/W
| colspan="3" style="border-right:2px solid black;" | flächenbezogener Widerstand insgesamt
|-
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmedurchgangskoeffizient|Wärmedurchgangs&shy;koeffizient]] {{nowrap|1=(U-Wert)}} || <math>1/R_T </math> || style="border-right:2px solid black;" | W/(m<sup>2</sup>·K)
| colspan="3" style="border-right:2px solid black;" | flächenbezogener Leitwert insgesamt 
|- style="border-top:2px solid black;"
| style="border-left:2px solid black;" |[[Wärmeleitfähigkeit]] || <math>\lambda=1/R_\lambda</math> || style="border-right:2px solid black;" | W/(m·K)
| [[Elektrische Leitfähigkeit]] || <math>\sigma=1/\rho</math> || style="border-right:2px solid black;" | S/m
|- style="border-bottom:2px solid black;"
| style="border-left:2px solid black;" |[[Spezifischer Wärmewiderstand]] || <math>R_\lambda = 1/\lambda</math> || style="border-right:2px solid black;" | K·m/W
| [[Spezifischer Widerstand]] || <math>\rho=1/\sigma</math> || style="border-right:2px solid black;" | Ω·m
|-
|}

== Anwendungsbeispiele ==

Für einen Körper mit konstanter [[Querschnittsfläche]] <math>A</math> senkrecht zum Wärmestrom <math>Q</math> lässt sich der Wärmewiderstand <math>R_\mathrm{th}</math> bei [[Homogenität (Physik)|homogenen]] Material über dessen [[Wärmeleitfähigkeit]] <math>\lambda</math> und die Länge (bzw. Dicke) <math>l</math> berechnen:

:<math>R_\mathrm{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A}</math>

Das Rechnen mit Widerständen (statt mit Leitwerten) ist praktisch in Situationen, in denen Widerstände [[Reihenschaltung|in Reihe]] auftreten, wie der [[Wärmeübergang]] auf einen [[Kühlkörper]], die [[Wärmeleitung]] im Kühlkörper und schließlich der Wärmeübergang an die Luft. Mit Leitwerten lassen sich [[Parallelschaltung|parallel aufgebaute]] Widerstände leicht zusammenfassen (z.&nbsp;B. eine Wand, bei der ein Teil aus Beton, Ziegelmauerwerk und Fenster besteht), da sich die einzelnen Leitwerte zum Leitwert des gesamten Bauteils addieren.

=== Bauphysik ===
Wenn bei einer [[Styropor]]platte mit einem Wärmewiderstand von 1&nbsp;K/W zwischen den beiden Seiten ein Temperaturunterschied von 20&nbsp;K herrscht, dann ergibt sich ein [[Wärmestrom]] durch die Platte von:

:<math>\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_\mathrm{th}} = \mathrm{\frac{20\;K}{1\;\frac{K}{W}}= 20\;W} \,</math>

=== Saison-Wärmespeicher ===
Ein [[Wärmespeicher]] entlädt sich durch unerwünschten Wärmedurchgang durch dessen eigene [[Wärmedämmung]]. Die Umgebungstemperatur sei konstant. Der Verlauf der Temperaturdifferenz <math>\Delta T</math> zur Umgebung über der Zeit <math>t</math> ist

:<math>\Delta T = \Delta T_0 \cdot\mathrm e^{-\frac{t}{\tau}}</math>

Die [[Zeitkonstante]] <math>\tau</math>, mit der sich der Wärmespeicher von selbst entladen wird, beträgt<ref group="Anm">Dies ist analog zur Entladung eines [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] über einen [[Widerstand (Bauelement)|elektrischen Widerstand]], siehe [[RC-Glied#Entladevorgang]].</ref>

:<math>\tau = R_\mathrm{th} \cdot C_\mathrm{th}</math>

mit
:<math>R_\mathrm{th}</math> – Wärmewiderstand der Isolierschicht (Wärmedämmung)
:<math>C_\mathrm{th}</math> – Wärmekapazität des Speichers

Wärmespeichermedium sei Wasser mit 45 % [[Ethylenglycol]], 7&nbsp;m breit, 7&nbsp;m lang, 4&nbsp;m hoch:

:<math>V = 7 \cdot 7 \cdot 4 \; \mathrm{m}^3 = 196 \; \mathrm{m}^3</math>

Die [[spezifische Wärmekapazität]] der Wasser-Glycol-Mischung ist

:<math>c_\mathrm v = 3{,}5 \; \frac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{m}^3 \mathrm{K}}</math>

Die Wärmekapazität ist das Produkt aus volumenbezogener spezifischer Wärmekapazität und Volumen

:<math>C_\mathrm{th} = c_v \cdot V = 686 \; \mathrm{\frac{MJ}{K}}</math>

Wärmedämmung sei [[Glasschaum-Granulat|Schaumglas-Schotter]] mit einer Schichtdicke <math>l = 0{,}5\,\mathrm{m}</math>.
Fläche der Wärmedämmung sei die Oberfläche des Wassertanks:

:<math>A = (2 \cdot 7 \cdot 7 + 4 \cdot 4 \cdot 7) \; \mathrm{m}^2 = 210 \; \mathrm{m}^2</math>

Die [[Wärmeleitfähigkeit]] von Schaumglas-Schotter sei<ref name="steinbach">https://www.ecoglas.de/eigenschaften.html Mitteilung Firma Steinbach Schaumglas GmbH & Co. KG, abgerufen am 4. Okt. 2022</ref>:

:<math>\lambda = 0{,}08 \; \mathrm{\frac{W}{m\ K}}</math>

Das ergibt als Wärmewiderstand

:<math>R_\mathrm{th} = \frac{l}{\lambda \cdot A} = 0{,}03 \; \mathrm{\frac{K}{W}}</math>

Die Zeitkonstante der Selbstentladung beträgt hiernach:

:<math>\tau = R_\mathrm{th} \cdot C_\mathrm{th} = 20{,}6 \cdot 10^6 \; \mathrm{s} = 238 \; \text{Tage}</math>

Nach 238&nbsp;Tagen ist die Differenz zwischen Wassertemperatur und Umgebung also auf 37 % (<math>= \mathrm e^{-1}</math>) des Anfangswerts gesunken.

=== Elektronik ===
[[File:Electronics Heat sink thermal resistance.svg|thumb|Skizze]]
Bei der [[Auslegung (Technik)|Auslegung]] der Kühlung von [[Halbleiter]]n oder anderen [[elektronisches Bauelement|Bauelementen]] in [[Elektronische Schaltung|elektronischen Schaltungen]] geht der Wärmewiderstand des [[Kühlkörper]]s, des Bauteil-Gehäuses und der Montageart ein.

Der Wärmewiderstand eines Bauelements ohne Kühlkörper zur Umgebung kann zur Kontrolle herangezogen werden, ob eine Kühlkörpermontage überhaupt erforderlich ist – er wird vom Bauteil-Hersteller mit R<sub>th</sub>J/A (von engl. ''Junction/Ambient'') angegeben und bezieht sich auf einen bestimmten [[Leiterplatte]]ntyp, deren Orientierung, die Gestalt der Lötfläche sowie die Länge der Anschlussbeine.

Im Halbleiterbauteil selbst tritt ein Wärmewiderstand zwischen [[Integrierter Schaltkreis|Chip]] und Bauteilgehäuse-Kühlfläche auf. Er wird vom Hersteller mit R<sub>th</sub>J/C (von engl. ''Junction/Case'') angegeben.

Die Montage selbst und möglicherweise ein [[Wärmeleitpad]] (Isoliermontage) verursachen weitere Wärmewiderstände.

Aus der [[Verlustleistung]] <math>P_{\,} \ </math> und der Summe aller Wärmewiderstände <math>R_\mathrm{th}\ </math> kann die Temperaturdifferenz <math>\Delta T \ </math> zwischen Chip und der Umgebung des Kühlkörpers berechnet werden:

:<math>\Delta T = P \cdot R_\mathrm{th}</math>

Die maximale Chiptemperatur wird vom Hersteller beispielsweise mit 125 bis 150&nbsp;°C angegeben. Die Temperatur der Umgebungsluft kann je nach Einbaubedingungen und klimatischer Belastung zum Beispiel 50 bis über 70&nbsp;°C betragen.

Ist der Wert zu groß, kann ein größerer Kühlkörper, ein Kühlkörper mit [[Lüfter]] oder [[Wärmerohr]], gewählt werden, oder das Gerätegehäuse muss belüftet werden.

== Siehe auch ==
* [[Wärmeübergangskoeffizient]] (Trocknungstechnik)
* [[Wärmedurchgangskoeffizient]] (Bauphysik)

== Anmerkungen ==
<references group="Anm" />

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG: Warmewiderstand}}

[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Physikalische Größe]]
[[Kategorie:Aufbau- und Verbindungstechnik der Elektronik]]