Isomorphismus

In der Mathematik ist ein Isomorphismus (von altgr. Vorlage:Polytonisch (ísos) - „gleich“ und μορφή (morphé) - „Form“, „Gestalt“) eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile einer Struktur auf „bedeutungsgleiche“ Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig (bijektiv) abgebildet werden.

Definition

Universelle Algebra

In der universellen Algebra heißt eine Funktion $\varphi$ zwischen zwei algebraischen Strukturen Isomorphismus, wenn:

• $\varphi$ bijektiv ist,
• $\varphi$ ein Homomorphismus ist.

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise „das gleiche“, nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.

Die Aussage „$X$ und $Y$ sind isomorph“ wird üblicherweise durch $\simeq$ oder durch $X\cong Y$ notiert.

Ist $\varphi$ ein Isomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen, dann ist immer auch $\varphi ^{-1}$ ein Isomorphismus. Dies gilt jedoch nicht für alle mathematischen Strukturen, daher muss eine allgemeine Definition, die auch für andere mathematische Strukturen Gültigkeit besitzt, zusätzlich fordern, dass ebenso

• $\varphi ^{-1}$ ein Homomorphismus ist.

Kategorientheorie

In der Kategorientheorie definiert man einen Isomorphismus allgemein als einen Morphismus $f\colon X\to Y,$ der ein beidseitiges Inverses $f^{-1}\colon \,Y\to X$ besitzt:

$f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}$ und $f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}.$

Spezialfälle dieses Isomorphiebegriffes sind beispielsweise Homöomorphismen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen oder Homotopieäquivalenzen als Isomorphismen in der Kategorie der topologischen Räume mit den Homotopieklassen von Abbildungen als Morphismen.

Funktionalanalysis

In der Funktionalanalysis nennt man eine Abbildung $T:X\to Y$ zwischen normierten Räumen $(X,\|\cdot \|_{X}),(Y,\|\cdot \|_{Y})$ einen Isomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

• $T$ ist linear
• $T$ ist stetig
• Die Umkehrfunktion $T^{-1}$ ist auch stetig

Falls zusätzlich für alle $x\in X$ gilt $\|T(x)\|_{Y}=\|x\|_{X}$, so nennt man $T$ einen isometrischen Isomorphismus.

Bedeutung

Oft kann man bestimmte Strukturen nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen, wie z. B.

• den einzigen endlichen Körper der Ordnung pⁿ,
• den algebraischen Abschluss eines Körpers,
• die Vervollständigung eines metrischen Raums.

Isomorphismen werden in der Mathematik gern ausgenutzt, um einen leichteren Rechenweg zu beschreiten. Durch die oben genannten Definitionen (bijektiv) ist dies möglich.

Beispiele: Laplace-Transformation; z-Transformation

In der Kategorientheorie ist von entscheidender Bedeutung, dass Funktoren Isomorphismen erhalten, d. h. ist $f\colon X\to Y$ ein Isomorphismus in einer Kategorie $C$ und $F\colon C\to D$ ein Funktor, dann ist

$F(f)\colon F(X)\to F(Y)$

ebenfalls ein Isomorphismus, in der Kategorie $D$. In der algebraischen Topologie wird diese Eigenschaft häufig ausgenutzt, um Räume unterscheiden zu können: Sind beispielsweise die Fundamentalgruppen zweier Räume nicht isomorph, so sind die Räume nicht homöomorph.

Beispiele

Sind $(X,\cdot )$ und $\left(Y,+\right)$ Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist ein Isomorphismus von $X$ nach $Y$ eine Bijektion $f\colon X\to Y$ mit

$f(u)+f(v)=f(u\cdot v)$

für alle $u,v\in X$. So ist etwa der Logarithmus ein Isomorphismus von $(\mathbb {R} ^{+},/)$ nach $(\mathbb {R} ,-)$, da $\log(x)-\log(y)=\log \left({\tfrac {x}{y}}\right)$.

Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.

Sind $(X,\leq _{X})$ und $(Y,\leq _{Y})$ total geordnete Mengen, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine ordnungserhaltende Bijektion. Diese Isomorphismen spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle.

Sind $\left(X,d\right)$ und $\left(Y,D\right)$ metrische Räume und ist f ein Isomorphismus von $X$ nach $Y$ mit der Eigenschaft

$D\left(f(u),f(v)\right)=d(u,v)$ für alle $u,v\in X$,

dann nennt man f einen isometrischen Isomorphismus.

Lässt man in den gegebenen Beispielen die Forderung der Bijektivität weg, erhält man jeweils Homomorphismen.

Siehe auch

• Isomorphie von Graphen
• Isomorphiesatz
• Morphismus

Literatur

• Klaus Jänich, Topologie, Springer-Verlag, 1.korrigierter Nachdruck der 8. Auflage 2006, ISBN 3-540-21393-7

Weblinks

Wiktionary: Isomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen