Bonferroni-Korrektur

Die Bonferroni-Methode oder Bonferroni-Korrektur (nach Carlo Emilio Bonferroni) gibt es in der mathematischen Statistik. Mit ihrer Hilfe wird die Alphafehler-Kumulierung bei multiplen Paarvergleichen neutralisiert.

Sie besagt, dass, wenn man n unabhängige Hypothesen an einem Datensatz testet, die statistische Signifikanz die für jede Hypothese getrennt benutzt werden soll 1/n der Signifikanz ist, die sich bei der Testung nur einer Hypothese ergeben würde.

Untersucht man eine Hypothesenfamilie mit $m\geq 2$ paarweisen Vergleichen und prüft jede zugehörige Einzelhypothese zum Signifikanzniveau $\mathbf {\alpha } '$, dann besteht zwischen dem Risiko des Einzeltests $\mathbf {\alpha } '$ und dem multiplen Gesamtrisiko $\mathbf {\alpha }$ (auch als $\mathbf {\alpha } _{exp}$ bezeichnet) die folgende Ungleichung:

$\mathbf {\alpha } '\leq \mathbf {\alpha } \leq m\cdot \mathbf {\alpha } '.$

Diese Beziehung folgt aus der Bonferroni-Ungleichung (Boolesche-Ungleichung) und besagt, dass das multiple Gesamtrisiko nach oben begrenzt ist. Wählt man als Signifikanzniveau für jeden Einzeltest $\mathbf {\alpha } '=\mathbf {\alpha } /m$, dann kann das multiple Gesamtrisiko nicht größer als $\mathbf {\alpha }$ sein.

Um also das multiple Gesamtrisiko $\mathbf {\alpha }$ einzuhalten, muss man in jedem Einzeltest das Signifikanzniveau $\mathbf {\alpha } '$ entsprechend anpassen. Die Bonferroni-Methode ist eine sehr grobe Näherung und sehr konservativ. Deshalb wurden genauere Methoden entwickelt, die den $\alpha$-Fehler weniger konservativ kontrollieren und das Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur weiter ausschöpfen (siehe Alphafehler-Kumulierung).

Bonferroni in der Signalverarbeitung

Es liegt eine Voxel-Karte mit vielen statistischen Werten vor, bei denen einige unabhängig andere wiederum abhängig voneinander sind. Um besondere Merkmale dieser Verteilung herauszufinden, kann die Bonferroni-Korrektur angewendet werden. Diese trifft aber nur für unabhängige Tests zu und ist für nur teilweise abhängige Tests zu streng. Daher wird sie beim Auffinden einer Signifikanz-Schranke (p-Wert oder Signifikanzniveau) in solch einer statistischen Karte, deren Werte nur teilweise abhängig, bzw. unabhängig sind, oft mit der Gaussfeld-Methode gemischt. Für einen Voxel wird dabei der niedrigere p-Wert der beiden Korrekturverfahren angegeben und so die Schranke bestimmt.

Literatur

• Abdi, H: Encyclopedia of Measurement and Statistics. Hrsg.: N.J. Salkind. Sage, Thousand Oaks, CA 2007, Bonferroni and Sidak corrections for multiple comparisons (utdallas.edu [PDF]). 
• Manitoba Centre for Health Policy (MCHP) 2003, Bonferroni Correction, <http://www.umanitoba.ca/centres/mchp/concept/dict/Statistics/bonferroni.html>.
• Perneger, Thomas V, What's wrong with Bonferroni adjustments, BMJ 1998;316:1236-1238 ( 18 April ) <http://www.bmj.com/cgi/content/full/316/7139/1236>
• School of Psychology, University of New England, New South Wales, Australia, 2000, <http://www.une.edu.au/WebStat/unit_materials/c5_inferential_statistics/bonferroni.html>
• Weisstein, Eric W. "Bonferroni Correction." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. <http://mathworld.wolfram.com/BonferroniCorrection.html>