Mikrokanonisches Ensemble

Der mikrokanonische Zustand ist ein Gleichgewichtszustand der statistischen Physik mit der exakten Nebenbedingung $E=E_{0}$. Die einzige Information über ein Quantensystem sei, dass die Gesamtenergie gleich $E_{0}$ ist, wobei die Zustände mit von außen vorgegebenen Parametern, wie Volumen oder Teilchenzahl, verträglich sein müssen.

Man schränkt den Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ auf einen Teilraum ein, der von den Zustandsvektoren mit Eigenwert $E_{0}$ aufgespannt wird (Eigenraum). Sei $\left\{|E,n\rangle \right\}$ ein Eigen-VONS (vollständiges Orthonormalsystem) von ${\mathcal {H}}$, d.h. $H|E,n\rangle =E|E,n\rangle$, so wird der Unterraum ${\mathcal {H}}_{E_{0}}$ von den Basisvektoren $|E,n\rangle$ aufgespannt, für die $E=E_{0}$.

Nach der Maximum-Entropie-Methode ist das System durch den Zustand zu beschreiben, welcher die Entropie maximiert. Die Entropie wird genau dann maximal, wenn jeder Basisvektor die gleiche Wahrscheinlichkeit $1/{\textrm {dim}}{\mathcal {H}}_{E_{0}}$ hat.

Daher ergibt sich der Dichteoperator des mikrokanonischen Zustands zu

$W_{E_{0}}={\frac {1}{Z_{m}(E_{0})}}\sum _{m=1}^{{\textrm {dim}}{\mathcal {H}}_{E_{0}}}|E_{0},m\rangle \langle E_{0},m|$

mit der mikrokanonischen Zustandssumme

$Z_{m}(E_{0})={\textrm {dim}}{\mathcal {H}}_{E_{0}}={\textrm {Tr}}\left(\sum _{m=1}^{{\textrm {dim}}{\mathcal {H}}_{E_{0}}}|E_{0},m\rangle \langle E_{0},m|\right)$

wobei die Spur eines Operators folgendermaßen definiert ist: ${\textrm {Tr}}(O)=\sum _{n}\langle n|O|n\rangle$ für beliebiges VONS $\left\{|n\rangle \right\}$ von ${\mathcal {H}}$

Analog ergibt sich der klassische mikrokanonische Zustand für N Teilchen (Phasenraumdichte)

$w_{E_{0}}({\vec {x}}_{1},{\vec {p}}_{1},...,{\vec {x}}_{N},{\vec {p}}_{N})={\frac {1}{Z_{m}(E_{0})}}\delta (E_{0}-H({\vec {x}}_{1},{\vec {p}}_{1},...,{\vec {x}}_{N},{\vec {p}}_{N}))$

mit der mikrokanonischen Zustandssumme (Gesamtzahl der zugänglichen Mikrozustände)

$Z_{m}(E_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{6N}}d\tau \;\delta (E_{0}-H({\vec {x}}_{1},{\vec {p}}_{1},...,{\vec {x}}_{N},{\vec {p}}_{N}))$

mit $d\tau ={\frac {1}{\xi (2\pi \hbar )^{3N}}}\;d^{3}x_{1}d^{3}p_{1}\,...\,d^{3}x_{N}d^{3}p_{N}$

wobei für N identische Teilchen der Faktor ${\frac {1}{\xi }}={\frac {1}{N!}}$ die Mehrfachzählung ununterscheidbarer Teilchen verhindert,

und für $n$ verschiedene Teilchensorten mit $N_{1},...,N_{n}$ Teilchenzahlen und $\sum _{i=1}^{n}N_{i}=N$ der Faktor ${\frac {1}{\xi }}={\frac {1}{N_{1}!\,...\,N_{n}!}}$.

Nun kann man die Entropie durch die Zustandssumme ausdrücken:

$S(W_{E_{0}})=-k_{\rm {B}}{\textrm {Tr}}(W_{E_{0}}\ln W_{E_{0}})=k_{\rm {B}}\ln Z_{m}(E_{0})$

Siehe auch

• Ensemble (Physik)
• Kanonischer Zustand
• Zustandssumme

Literatur

• Balian: From Microphysics to Macrophysics 1. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3540454691