Diskussion:Betragsfunktion

Begriff

@gunter: Mag sein das es Umgangssprache ist, aber welcher Begriff ist es dann ? --Amtiss 00:54, 25. Aug 2005 (CEST)

Ich würde es als Maßzahl bezeichnen, aber darum geht es nicht. Artikel in der Wikipedia sind begriffsbezogen und nicht wortbezogen, d.h. im Regelfall werden verschiedene Bedeutungen eines Wortes in verschiedenen Artikeln behandelt. Wenn die Verwendung von "absoluter Betrag" in der Bedeutung "Maßzahl" also tatsächlich üblich ist, dann wäre das korrekte Vorgehen, am Anfang des Artikels einzufügen:

oder so ähnlich (und natürlich muss die Bezeichnung "absoluter Betrag" dann auch in physikalische Größe erwähnt werden). Details wie gesagt unter Wikipedia:Begriffsklärung.--Gunther 01:02, 25. Aug 2005 (CEST)

Das mit der Begriffsklärung ist mir schon klar, hab ich schon oft gemacht. Ich bin mir inzwischen sicher, das es die Umgangssprache meines Mathe- oder/und Physiklehrer war. Umgangssprache kann zwar auch Kriterium für Bezeichnungen sein, aber es ist wohl doch sicherer ohne den Zusatzeintrag. Ich bezweifle das jemand von anderswo aus dem deutschsprachigen Raum verifizieren könnte.--Amtiss 00:16, 26. Aug 2005 (CEST)

Wie gesagt, selbst wenn, ist es ein anderer Begriff (wenn auch dieselben Wörter) und damit hier falsch.--Gunther 00:23, 26. Aug 2005 (CEST)

Allgemeine Diskussion zur abs-Funktion

Mich würde mal interessieren ob man sagen kann, das die Ableitung der abs-Funktion nicht die sgn-Funktion ist (Mit Ausnahme der Stelle $x=0$): $(|x|)'=sgn(x)$ Desweiteren scheint mir das man die abs-Funktion auch durch ${\sqrt {x^{2}}}$ (ohne kürzen!), erreichen kann.

Würde mich auf rege Anteilnahme bedanken! --MoLa 11:08, 13. Mai 2006 (CEST)

Deine Aussagen sind richtig, formal:

Für alle $x\in \mathbb {R} :{\sqrt {x^{2}}}=|x|$.

Wenn wir $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto |x|$ schreiben:

Für alle reellen $x\neq 0$: $f'(x)=\operatorname {sgn} (x)$.

Nur: Was bringt uns das?--JFKCom 22:29, 2. Aug 2006 (CEST)

Frage Zeichen

Zitat:

4. $|x+y|$ ? $\max(|x|,|y|)$

Fragezeichen? --Abdull 11:19, 30. Jun 2006 (CEST)

Erl., danke.--Gunther 11:25, 30. Jun 2006 (CEST)

Unverständlich

Leider scheint mir der Artikel fachlich gut zu sein, für den Laien jedoch niht klar verständlich. Gibt es vielleicht jemanden, der den Artikel "für Dumme" formulieren könnte?

Ich gebe es hiermit auf irgendwelche Mathematik in Wikipedia zu suchen. Da ist mein Abi erst drei Jahre her, ich verstehe aber nur Bahnhof, was diese Mathematischen Begrifflichkeiten eigentlich sein sollen. Was ist z. B. dieses R mit den zwei Strichen vorne? Kann man nicht die Sachen auch in einem Abschnitt für Leute erklären, die nicht so große mathematische Vorkenntnisse haben?

oder dieses kleine z mit dem Strich dadrauf - was soll das bitteschön sein? Hier braucht man ja erst ein Studium (oder Mathe-Leistungskurs) zum Verstehen eines Halbsatzes. --80.143.69.25 17:27, 3. Sep. 2007 (CEST)

Ich weiß ja nicht wo genau du dein Abitur gemacht hast, aber bei uns ist es üblich die gängigen Zahlenmengen so zu kennzeichnen. Das R mit den zwei Strichen ist also die Menge der reellen Zahlen, das z kenne ich selbst nicht, ist aber als Konjugation (Mathematik) verlinkt. Dass der Artikel auch kaum zu verstehen ist sei mal ein Thema für die dortige Diskussionsseite. Die Mengensymbole waren bei uns Stoff der achten Klasse, aber wie gesagt kenne ich euren damaligen Lehrplan nicht.

Einfach entfernen möchte ich die Formeln am Anfang nicht, aber es wäre sicherlich besser verständlich, wenn die Betragsfunktion für komplexe Zahlen einen eigenen Abschnitt erhält und sich ansonsten auf die reellen Zahlen beschränkt wird. Da ich aber auch nur wenig Ahnung von Mathematik habe und vieles aus dem Artikel, insbesondere was die komplexen Zahlen betrifft, nicht verstehe traue ich mir diese Arbeit nicht zu, wünsche mir aber für den Artikel, dass sich jemand dafür findet. --Locke, zu faul zum einloggen 84.133.188.11 12:42, 10. Okt. 2007 (CEST)

Holomorphie

Ist es richtig, daß die Betragsfunktion auf den Achsen komplex differenzierbar ist? So richtig nachvollziehbar ist das nämlich nicht; auch der Artikel über Holomorphie nennt im Beispiel die Betragsfunktion als nicht differenzierbar für alle komplexen Funktionsargumente. (nicht signierter Beitrag von 87.169.126.99 (Diskussion | Beiträge) 16:01, 14. Dez. 2007 (CET))

Der Fehler wurde mittlerweile korrigiert. --91.32.66.173 14:12, 5. Mai 2010 (CEST)

Reell und Komplex

Frage: Wäre es nicht besser, den reellen und den komplexen Fall noch deutlicher zu trennen? Damit meine ich, nicht nur die Definitionen, sondern auch die Eigenschaften und Beispiele. Also eine Gliederung der Art:

• Reelle Betragsfunktion
  • Definition
  • Beispiele
  • Eigenschaften
• Komplexe Betragsfunktion
  • Definition
  • Beispiele
  • Eigenschaften
• Betrag und Metrik
• Verallgemeinerungen
  • Betrag und Bewertung
  • Weitere Verallgemeinerungen

-- Digamma 21:49, 27. Sep. 2010 (CEST)

Summenzeichen

Die Formulierung

$n:=\sum _{\nu =1}^{n}1$

erscheint mir erstens schwer verständlich und zweitens tautologisch. Was spricht gegen

$n:=\underbrace {1+\dots +1} _{n{\text{-mal}}}$ ?

--Digamma 17:30, 19. Dez. 2011 (CET)

Gehupft wie gedupft! Geht auch

$n:=\underbrace {1+\dots +1} _{n\times }$ ?

-- Nomen4Omen 18:22, 19. Dez. 2011 (CET)

Das Kreuz für "mal" geht eigentlich nicht. --Digamma 18:29, 19. Dez. 2011 (CET)

Der Bindestrich in $_{n{\text{-mal}}}$ geht eigentlich auch nicht. -- Nomen4Omen 19:44, 19. Dez. 2011 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 21:16, 5. Mär. 2014 (CET)

Verallgemeinerungen

Grundsätzlich: Ich habe Zweifel daran, dass für die ganzen Ergänzungen der letzten Wochen dieser Artiekl der richtige Ort ist. Ich könnte mir vorstellen, dass ein neuer Artikel Betrag (Algebra) besser wäre. Inzwischen handelt der größere Teil des Artikels von Verallgemeinerungen des reellen und komplexen Betrags auf Ringe und andere Körper. --Digamma 18:54, 19. Dez. 2011 (CET) Ergänzung: In der englischen Wikipedia gibt es auch getrennte Artikel. Einen en:absolute Value und einen en:Absolute value (algebra). --Digamma 19:01, 19. Dez. 2011 (CET)

Ich glaube, die Engländer haben noch mehr. Und wir haben Bewertungstheorie – aber nur nichtarchimedische, und ohne den Begriff der Vervollständigung.

Was ich aber bei keinem gefunden habe, ist eine Gegenüberstellung der Gemeinsamkeiten und Unterschiede, welch letztere erst bei einer Vervollständigung recht zur Geltung kommen. Auch bei den Stellenwertsystemen stehen sich die Texte so merkwürdig berührungsfeindlich gegenüber. Dabei gibt es Theoreme wie den P-adische_Zahl#Approximationssatz, die alles wieder zusammenbinden.

Den Gedanken, dieser Wegegabelung zwischen archimedisch und nichtarchimedisch einen eigenen Artikel zu geben, finde ich durchaus apart. Allerdings ist das dann nicht nur Algebra, sondern auch Analysis und Topologie, am Ende gar Funktionentheorie.

Eine Bemerkung noch: es ist nicht der reelle und komplexe Betrag verallgemeinert auf andere Körper und Ringe. Das alles spielt sich schon bei den rationalen und ganzen Zahlen ab, aus denen die reellen und komplexen hervorgehen wie manches andere auch – nur dass man, wenn man das schon so anschaut, dann auch gleich weitere Strukturen mit einbeziehen kann. -- Nomen4Omen 11:21, 20. Dez. 2011 (CET)

Würde ich zustimmen, insbesondere nachdem ich den Artikel eben selbst (allerdings innerhalb der Standarddefinition) noch weiter aufgebläht habe. Grüße, --Quartl 15:34, 9. Jan. 2012 (CET)

Ich würde gerne diesen Diskussionspunkt (auch im Hinblick auf die jüngsten Erweiterungen) gerne nochmal anstoßen. Insbesondere die Abschnitte zur Bewertungstheorie führen m.E. zu weit vom eigentlichen Artikelthema Betragsfunktion weg. Eine Aufteilung des Artikels fände ich sehr sinnvoll. Welche Inhalte genau in welche Artikel ausgelagert werden, kann man natürlich gerne diskutieren. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:05, 4. Aug. 2012 (CEST)

Falsche Definition

Wenn in einem Eimer 0 Wasser ist, dann ist der Eimer absolut leer. Einen -1 oder -2,-3 Wassergehalt im Eimer, kann es nicht geben.--77.182.78.179 10:46, 12. Feb. 2012 (CET)

Unbestimmtes Integral einer Betragsfunktion

1. Der neu eingefügte Abschnitt passt an dieser Stelle ganz sicher nicht in den Artikel, denn in dem ganzen Teil davor geht es um verallgemeinerte Beträge, nicht um den reellen Betrag.

2. Ich denke eher, dass das gar nicht in den Artikel gehört, denn es geht im Artikel um die Funktion $x\mapsto |x|$, nicht um Funktionen $x\mapsto |f(x)|$.

3. Die (inzwischen wohl richtige) Aussage gibt einfach nur eine Anleitung, wie man Funktionen des Typs $|f(x)|$ integriert, nömlich schlicht, indem man das Integrationsintervall aufteilt in Intervalle, auf denen $|f(x)|=f(x)$ gilt, und solche, auf denen $f(x)=-f(x)$ gilt. Das geht deswegen, weil man $|f(x)|$ durch eine Fallunterscheidung definieren kann. Die Aufteilung macht man sinnvollerweise für bestimmte Integrale. Für unbestimmte Integrale ist es völlig unklar, welche Nullstellen berücksichtigt werden sollten.

Fazit: Streichen. --Digamma (Diskussion) 21:50, 10. Nov. 2012 (CET)

Was ich auch gleich tun werde. Die angegebene Formel ist schon für den einfachen Fall der Funktion $|x^{2}-1|$ nicht brauchbar. --Digamma (Diskussion) 21:58, 10. Nov. 2012 (CET)

Zustimmung. Am ehesten passt der Textbeitrag wohl nach Formelsammlung Analysis oder b:Formelsammlung Mathematik: Integrale. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:59, 10. Nov. 2012 (CET)

Hallo,

wo ist es für |x^2-1| unbrauchbar? Und es scheint wohl nur für dich völlig unklar zu sein, welche Nullstellen man zu betrachten hat. Nur weil du etwas nicht verstehst ist es nicht falsch. --SwizzoRable (Diskussion) 00:48, 11. Nov. 2012 (CET)

Hallo SwizzoRable,

mein Hauptpunkt war, dass die Formeln thematisch nicht in den Artikel passen. Das zweite ist dann, dass die Aussagen nicht belegt sind. Das wäre für mich kein großes Problem, wenn ich sie nachvollziehen könnte und selbst bestätigen, dass sie richtig sind. Das kann ich jedoch nicht. Deshalb wäre ein Beleg für die Aussagen auf jeden Fall wichtig. Die erste Fassung war z.B. klar falsch. Bei der neuen Version konnte ich mich davon überzeugen, dass die Formeln für die Betragsfunktion selbst und für $|x^{2}-1|$ richtig sind. Ich kann jedoch nicht nachvollziehen, wie die Formel für $|x^{2}-1|$ aus der allgemeinen Form folgt.

Zu den Formeln selbst:

• Was soll denn der Limes in der Formel bedeuten? Den Funktionswert an dieser Stelle? Das Arbeiten mit unbestimmten Integralen macht die Sache unübersichtlich. Übersichtlicher wäre es, mit Integralfunktionen (z.B.

$\int _{0}^{x}|f(x)|\,dx$ )

oder benannten Stammfunktionen (z.B. $F$ bezeichne eine bestimmte Stammfunktion von $f$, dann kann man z.B. $F(z_{p})$ hinschreiben) zu arbeiten, oder mit bestimmten Integralen. Bei bestimmten Integralen ist es klar, wie man den Integrationsbereich an den Nullstellen aufsplitten muss.

• Die Formel funktioniert so höchstens bei stetigen Funktionen, aber z.B. nicht wenn die Funktion einen Vorzeichenwechsel an einer Sprungstelle hat. In diesem Fall kann die Funktion das Vorzeichen wechseln, ohne dass sie dazwischen eine Nullstelle hat.
• Die Formel funktioniert auch nicht bei Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen (z.B. $f(x)=\sin x$), da sie dann unendlich viele Summanden hat. Man muss aber immer nur die Nullstellen zwischen den beiden Integrationsgrenzen berücksichtigen. Das meinte ich mit meiner Bemerkung über die Nullstellen.

Nochmal allgemein: Die Formeln (wenn sie richtig sein sollten) helfen nichts zum Verständnis. --Digamma (Diskussion) 20:32, 11. Nov. 2012 (CET)

Hallo,

Erst einmal, die erste Fassung war nicht falsch. Man kann es natürlich direkt mit der Signum-Funktion zusammenfassen, es geht aber auch ohne. Und zum Beleg:

http://www.abload.de/img/mprenderwdryf.png Um den Zusammenhang zu verstehen ist wohl alles ganz interessant, aber vorallem Lemma 1.

Beim Summanden mit dem Limes in der Formel bitte beachten, dass er ja gerade auf die Sprungstellen bezogen ist und deswegen nur der linksseitige Grenzwert betrachtet wird. Schau die einfach mal diesen Plot hier an. Die einzelnen Stücke werden an die richtige Stelle geschoben, damit die Funktion stetig wird. Und natürlich geht es auch für Funktionen wie cos(x). Dann sind es halt unendlich viele Summanden. $\int |cos(x)|\,dx$ Dazu einfach mal dieser plot. Lass k halt von -unendlich bis unendlich laufen.

MfG --SwizzoRable (Diskussion) 21:38, 11. Nov. 2012 (CET)

Das mit der unglücklichen Darstellung kann ich jedoch nachvollziehen. Deswegen so:

$sgn(x)$ bezeichne die Signum-Funktion, $F$ bezeichne eine bestimmte Stammfunktion von $f$ und $S(x):=F(x)\cdot sgn(f(x))$

$\int \left|f(x)\right|\,dx=S(x)+\left(\sum \limits _{p=1}^{q}sgn(x-z_{p})\lim _{x\to z_{p}-}S(x)\right)$

wobei $z_{1},z_{2},...,z_{q}$ die relleen Nullstellen von $f$ sind.

MfG --SwizzoRable (Diskussion) 22:13, 11. Nov. 2012 (CET)

Hallo SwizzoRable, unabhängig von der Korrektheit der Formel ist zu klären, ob und, wenn ja, in welchen Artikel der Abschnitt hin soll. Dieser Artikel ist jedenfalls der falsche Ort, denn er handelt, wie Digamma eingangs unter Punkt 2 schon erläutert hat, von der konkreten Funktion $x\mapsto |x|$ und nicht um allgemeinere Funktionen der Form $x\mapsto |f(x)|$. Am ehesten könnte ich mir noch die Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen vorstellen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:42, 12. Nov. 2012 (CET)

Nur für die Vollständigkeit: Die Funktion ist stetig in allen Zwischenabschnitten. Und sie ist dort auch eine Stammfunktion. Zu zeigen ist, dass die Funktion auch in den $z_{p}$ stetig ist. Dann ist sie automatisch auf ganz $\mathbb {R}$ eine Stammfunktion.

Betrachten wir also $S(x)+\left(sgn(x-z_{p})\lim _{x\to z_{p}-}S(x)\right)$

Zuerst: $\lim _{x\to z_{p}-}S(x)=\lim _{x\to z_{p}-}F(x)\cdot sgn(f(x))$

Aus der Stetigkeit von $f$ folgt die Stetigkeit von $F$ und somit $\lim _{x\to z_{p}-}F(x)=F(z_{p})$

Da $z_{p}$ eine Nullstelle von $f$ ist: $\lim _{x\to z_{p}-}sgn(f(x))=1$ und $\lim _{x\to z_{p}+}sgn(f(x))=-1$

oder $\lim _{x\to z_{p}-}sgn(f(x))=-1$ und $\lim _{x\to z_{p}+}sgn(f(x))=1$

Zusammengefasst: $\lim _{x\to z_{p}-}S(x)=F(z_{p})$ oder $\lim _{x\to z_{p}-}S(x)=-F(z_{p})$

Für die Stetigkeit in einem Punkt müssen linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

Es ist immer: $\lim _{x\to z_{p}-}sgn(x-z_{p})=-1$ und $\lim _{x\to z_{p}+}sgn(x-z_{p})=1$

Fall 1: $\lim _{x\to z_{p}-}S(x)=F(z_{p})$

$\lim _{x\to z_{p}-}\left(S(x)+sgn(x-z_{p})\cdot F(z_{p})\right)$ $=F(z_{p})-F(z_{p})=0$

$\lim _{x\to z_{p}+}\left(S(x)+sgn(x-z_{p})\cdot F(z_{p})\right)$ $=-F(z_{p})+F(z_{p}))=0$

Fall 2: $\lim _{x\to z_{p}-}S(x)=-F(z_{p})$

$\lim _{x\to z_{p}-}\left(S(x)-sgn(x-z_{p})\cdot F(z_{p})\right)$ $=-F(z_{p})+F(z_{p})=0$

$\lim _{x\to z_{p}+}\left(S(x)-sgn(x-z_{p})\cdot F(z_{p})\right)$ $=F(z_{p})-F(z_{p})=0$

MfG --SwizzoRable (Diskussion) 21:03, 12. Nov. 2012 (CET)

In Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen wurde nach einem Einzelnachweis für die obige Formel gefragt. Kannst du hierfür mathematische Literatur angeben? Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:48, 13. Nov. 2012 (CET)

Nein, tut mir Leid. Die Formel habe ich mir letzte Woche ausgedacht. Soll ich dann trotzdem den Beweis dafür, dass die Formel stimmt dort angeben? Wenn ja, wo genau?

MfG --SwizzoRable (Diskussion) 21:05, 13. Nov. 2012 (CET)

Ist dir bewusst, dass wir in der Wikipedia nur etabliertes Wissen darstellen können (siehe Wikipedia:Keine Theoriefindung)? Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:16, 13. Nov. 2012 (CET)

Das ist doch keine Theoriefindung. Den Beweis dafür, dass die Formel stimmt, habe ich doch schon erbracht. Warum sollte diese Formel erst in irgendeinem Buch o.Ä. stehen, damit sie hier auf wikipedia kann? Dann moment, ich schmiere mal kurz Formel + Beweis auf ein altes Stück Pergament und fotografiere es. Habe das dann bei Umräumarbeiten auf dem Dachboden meines Großvaters gefunden. Die Formel scheint also schon lange bekannt zu sein, eventuell, aber wirklich nur eventuell, kannten sogar schon die Dinosaurier diesen Zusammenhang.

MfG --SwizzoRable (Diskussion) 21:20, 13. Nov. 2012 (CET)

Tut mir leid, das hilft nichts. Wenn die Formel nicht in einem Mathebuch oder einem mathematischen Artikel erschienen ist, können wir sie hier nicht veröffentlichen, selbst wenn sie noch so korrekt sein sollte. Das ist eines der Grundprinzipien der Wikipedia. Hast du Wikipedia:Keine Theoriefindung gelesen? Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:30, 13. Nov. 2012 (CET)

Ja habe ich. Und ich finde keine Passage dort, nach der meine Formel hier nicht veröffentlicht werden könnte. Ich zitiere mal kurz ein bisschen und sag was dazu.

Einer der Grundsätze bei der Erstellung dieser Enzyklopädie ist: Die Wikipedia bildet bekanntes Wissen ab. Sie dient der Theoriedarstellung, nicht der Theoriefindung (TF; engl. original research (OR)) oder Theorieetablierung. Aussagen, die nur auf persönlichen Erkenntnissen von Wikipedia-Autoren basieren, gehören nicht in die Artikel. - Ist keine persönliche Ansicht

Für die Inhalte eines Artikels ist es nicht relevant, was jene als „Wahrheit“ ansehen. Zu ermitteln und darzustellen ist vielmehr, wie das Thema von überprüfbaren, verlässlichen Informationsquellen „da draußen in der Welt“ gesehen wird. - Beweis > Wahrheit

Grundsätzlich beruhen Artikel in der Wikipedia auf überprüfbaren Aussagen. Überprüfbar ist, was mithilfe verlässlicher Informationsquellen belegt werden kann. Ob Aussagen wahr sind oder nicht, ist – insbesondere in umstrittenen Fällen – nicht in der Wikipedia zu klären. - Wie schon gesagt, Beweis > Wahrheit. Braucht man nicht anzweifeln.

Natürlich macht die ganze Sache mit "keine Theoriefindung" Sinn, aber in diesem Fall ist es einfach klar, dass die Formel so stimmt. Es kann da keine zwei Meinungen drüber geben. Das wäre ja als ob man auf einmal den Satz des Pythagoras anzweifelt und sagt "Das ist gar nicht immer so.". Also was soll das?

--SwizzoRable (Diskussion) 21:36, 13. Nov. 2012 (CET)

Mit Informationsquellen ist Fachliteratur gemeint. Wenn die Formel in einem Fachbuch abgedruckt wäre, dann hätten wir kein Problem damit. Du kannst ja mal auf die Suche gehen, vielleicht findest du ja was. Ein guter Ausgangspunkt sind Integraltafeln. Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:40, 13. Nov. 2012 (CET)

Da werde ich sicher nichts finden, weil ich denke, dass die Formel so noch nicht bekannt war/ist. --SwizzoRable (Diskussion) 21:43, 13. Nov. 2012 (CET)

Betragsfunktion für Körper

Der Abschnitt "Betragsfunktion für Körper" sollte meiner Auffassung nach nach analog zur englischsprachigen Wikipedia mit dem Artikel en:Absolute value ausgelagert werden.--Christian1985 (Disk) 19:58, 5. Mär. 2014 (CET)

Zustimmung (siehe oben). Ich würde nur den Inhalt des Abschnitts "Definition" drin lassen. --Digamma (Diskussion) 20:29, 5. Mär. 2014 (CET)