IEEE 754-2008

Der Standard IEEE 754-2008, der frühere Arbeitstitel lautete IEEE 754r, ist eine notwendig gewordene Revision des 1985 verabschiedeten Gleitkommastandards IEEE 754. Der alte Standard war sehr erfolgreich und wurde in zahlreichen Prozessoren und Programmiersprachen übernommen. Die Diskussion über die Revision begann im Jahr 2001; im Juni 2008 wurde der Standard angenommen und im August 2008 verabschiedet.

Hauptziele

Die Hauptziele des verabschiedeten Standards konnten aufgeteilt werden in

• das Zusammenführen von IEEE 754 und IEEE 854,
• die Reduktion von Implementierungsalternativen,
• die Entfernung von Mehrdeutigkeiten der bisherigen IEEE 754,
• ein zusätzliches kumulierendes Produkt fused multiply-add: FMA(A,B,C) = A·B + C,
• neben einfacher und doppelter auch Arithmetik mit halbte und vierfachet Genauigkeit (zusätzlich zu 32 und 64 Bit auch 16 und 128 Bit),
• die von der Finanzwirtschaft als notwendig erachteten Dezimalformate (IEEE 854),
• weitere variable Formate und Austauschformate,
• min und max mit Spezifikationen für die Spezialfälle ±0 und ±∞ sowie
• Kosmetik: ab sofort heißt „denormalisiert“ „subnormal“

Der Standard soll Formate und Methoden für Gleitkommaarithmetik sowie eine Mindestqualität definieren.

Formate

Formate umfassen Gleitkommazahlen mit halber (16 Bit), einfacher (32 Bit), doppelter (64 Bit) sowie vierfacher (128 Bit) Genauigkeit. Das Halbformat stellt ein standardisiertes Minifloat dar. Ergänzt werden die Grundformate durch erweiterte (extended) und erweiterbare (neu!) Langzahl-Formate. Ebenfalls neu aufgenommen wurden Datenaustauschformate. Neben der 16/32/64/128-Bit-Darstellungen sind Darstellungen mit einem Vielfachen von 32 Bits definiert.

Dicht gepackte Dezimalformate (DFP, 3 Ziffern in 10 Bit) sind ebenfalls dazugekommen. Sie weichen von klassischen einzelzifferbasierten BCD-Formaten folgendermaßen ab:

• Die Kapazität der nutzbaren Bits wird gut ausgenutzt, da 3 Dezimalziffern (001...999, 999 genutzte Werte) in jeweils 10 Bit (0...1023, 1024 mögliche Werte) gespeichert werden. Eine solche Gruppe heißt Declet. Der Verschnitt ist gegenüber klassischen BCD-Zahlen deutlich kleiner. Die letzte Spalte der Tabelle enthält den Informationsgehalt in Bit, der nur geringfügig geringer ist als der Speicherplatz (bei d=7 Mantissenziffern und einem Exponentenwertebereich von emin - emax unter Berücksichtigung der Vorzeichenbits $1+d\cdot \log _{2}10+\log _{2}(e_{\text{max}}-e_{\text{min}})$).
• Die Verarbeitung der Dezimalziffern in Dreiergruppen kommt der üblichen Gruppierungsgewohnheit (23 223 456; 24 W, 24 kW, 24 MW) entgegen.
• Die Zahl 0 hat auch das Bitmuster „0000…0“. Allerdings hat 0 eine relativ große Kohorte.
• Die Zahlen 0 bis 9 eines Declets haben in den 6 führenden Bits eine 0.
• Die Zahlen 10 bis 99 eines Declets haben in den 3 führenden Bits eine 0.
• Ungerade Zahlen in Declets können mit Hilfe eines einzelnen Bits erkannt werden.
• Die 24 unbenutzten Bitmuster ddx11x111x mit dd = 01, 10 oder 11 können leicht identifiziert werden.
• Die so mit Declets gepackten Zahlen (Densely Packed) sind nicht mehr binär sortierbar, im Gegensatz zu „klassischen BCD-Formaten“.
• Statt Speicherung in Declets kann die Mantisse auch ganzzahlig binär in einem gleich großen Bitfeld gespeichert werden. Die Bitfeldaufteilung ist im Combinationfield dann anders.
• Eine Zahl ist nicht eindeutig; mehrere Bitmuster können dieselbe Zahl bezeichnen. Die Menge der Bitmuster einer Zahl heißt Kohorte. Innerhalb einer Kohorte wurde jedoch jeweils eine kanonische Darstellung festgelegt.

Signaling NaNs wurden zur Streichung vorgeschlagen (3. Februar 2003), später aber wieder in den Vorschlag aufgenommen (21. Februar 2003). Eine Signaling NaN ist eine NaN mit gesetztem Bit 7. Darstellungen von $\pm \infty$ existieren und sind leicht erkennbar.

Typ	Speicher- bedarf	Mantisse		Exponent					Infor- mations- gehalt in Bit
		Bits m	effektive Bits einer normalisierten Zahl p	Bits e	Wertebereich			Werte der Ko- horte einer nor- malisierten Zahl
					emin	emax	Bias
b16 (half)	016 Bit	010	011	05	000−14	00015	00015	1 ≤ E ≤ 30	016
b32 (single)	032 Bit	023	024	08	00−126	00127	00127	1 ≤ E ≤ 254	032
b64 (double)	064 Bit	052	053	11	0−1022	01023	01023	1 ≤ E ≤ 2046	064
b128 (quad)	128 Bit	112	113	15	−16382	16383	16383	1 ≤ E ≤ 32766	128
k = 32j mit j ≥ 4	00k Bit	k − rnd(4·ld(k)) + 12	k − rnd(4·ld(k)) + 13	rnd(4·ld(k)) − 13	1 − emax	2k−p−1 − 1		00emax	00k
d32	032 Bit	020+5 (a)	07  Ziffern	06	00−95	0096	0101		031,83
d64	064 Bit	050+5	16  Ziffern	08	0−383	0384	0398		063,73
d128	128 Bit	110+5	34  Ziffern	12	−6143	6144	6176		127,53
k = 32j mit j ≥ 1	00k Bit	15 k/16 − 10	9 k/32 − 2  Ziffern	k/16 + 4	1 − emax	3·2k/16+3	emax + p − 2

 

20+5 in Spalte 3 bedeutet:

• in den 20 Bits werden 6 Dezimalstellen gespeichert (3 Stellen in jeweils 10 Bit)
• in den 5 übrigen Bits wird gespeichert:
  • eine weitere Dezimalstelle
  • der Rest des Exponents bei Division durch 3
  • Signalisierungen für NaNs und Infs

Rundungen

Zu den vier alten IEEE-754-Rundungen kommt eine zusätzliche hinzu, so dass folgende Rundungen gefordert werden:

• vergrößernd (in Richtung +Unendlich)
• verkleinernd (in Richtung −Unendlich)
• betragsverkleinernd (in Richtung 0)
• bestmöglich und in der Mitte zur nächsten geraden Zahl (to next or to even)
• bestmöglich und in der Mitte betragsvergrößernd (to next – neu in IEEE 754r, eigentlich nur die klassische Handrechnungsrundung)

Die IEEE 754-Rundung (next even) wurde schon von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen und vermeidet ein statistisches Ungleichgewicht bei längeren Rechnungen zu größeren Zahlen hin.

In der Diskussion um den neuen Standard wird diese Erkenntnis offensichtlich wieder verworfen und die „Handrechnungsrundung“ (to next) wieder eingeführt.

Ausnahmen

Ausnahmebedingungen und Ausnahmebehandlung werden spezifiziert.

Neue Funktionen sind Prädikatfunktionen (größer gleich) und Operatoren für Maximum und Minimum. Hier wird vor allem über die Ergebnisse bei den Sonderwerten (NaN, Inf) diskutiert.

Dezimalkodierungen

Die Kodierung von 32-bit-, 64-bit- und 128-bit-dezimalkodierten Zahlen erfolgt nach folgendem Schema. Für längere Dezimalkodierungen werden für jedes weitere 32-bit-Wort dem Exponenten 2 bit und der Mantisse 30 bit (3× 10 bit) zugeschlagen, so dass unter Beibehaltung des 5-bit-Kombinationsfeldes der Wertebereich des Exponenten sich vervierfacht und die Mantisse weitere neun Ziffern erhält.

Format	Vorzeichen	Kombinationsfeld		restl. Exponent	restliche Mantisse
032 bit	1 bit	5 bits		06 bits	020 bits
	s	m m m m m		xxxxxx	bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
064 bit	1 bit	5 bits		08 bits	050 bits
	s	m m m m m		xxxxxxxx	bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
128 bit	1 bit	5 bits		12 bits	110 bits
	s	m m m m m		xxxxxxxxxxxx	bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb bbbbbbbbbb
	0: positiv 1: negativ	Kodierung der MSBs nach Tabelle 2		binäre Kodierung	Jedes Declet ist nach Tabelle 1 kodiert und liefert drei weitere Ziffern.
	Vorzeichen	Ziffer 1	MSB +	LSB Exponent	Ziffer 2	Ziffer 3	Ziffer 4	Ziffer 5	Ziffer 6	Ziffer 7	Ziffer 8	Ziffer 9	Ziffer 10	...

Es werden folgende Kodiertabellen benötigt:

Tabelle 1: Kodierregeln für die Declets der dichtgepackten dezimalen Ziffern der restlichen Mantisse

DPD kodierter Wert		Dezimalziffern
b9		b8	b7	b6	b5	b4	b3	b2	b1	b0	d2	d1	d0	Kodierter Wert	Beschreibung
a		b	c	d	e	f	0	g	h	i	0abc	0def	0ghi	(0–7) (0–7) (0–7)	drei Ziffern bis 7
a		b	c	d	e	f	1	0	0	i	0abc	0def	100i	(0–7) (0–7) (8–9)	zwei Ziffern bis 7, eine größer 7
a		b	c	g	h	f	1	0	1	i	0abc	100f	0ghi	(0–7) (8–9) (0–7)
g		h	c	d	e	f	1	1	0	i	100c	0def	0ghi	(8–9) (0–7) (0–7)
g		h	c	0	0	f	1	1	1	i	100c	100f	0ghi	(8–9) (8–9) (0–7)	eine Ziffer bis 7, zwei Ziffern größer 7
d		e	c	0	1	f	1	1	1	i	100c	0def	100i	(8–9) (0–7) (8–9)
a		b	c	1	0	f	1	1	1	i	0abc	100f	100i	(0–7) (8–9) (8–9)
?		?	c	1	1	f	1	1	1	i	100c	100f	100i	(8–9) (8–9) (8–9)	drei Ziffern größer 7

Tabelle 2: Kodierregeln für das Kombinationsfeld der MSBs des Exponenten und der Mantisse

Kombinationsfeld						MSBs des		Kod. Wert	Beschreibung
m4	m3	m2	m1	m0		Exp.	Mant.
0	0	a	b	c		00	0abc	(0-7)	Ziffer bis 7
0	1	a	b	c		01	0abc
1	0	a	b	c		10	0abc
1	1	0	0	c		00	100c	(8-9)	Ziffer größer 7
1	1	0	1	c		01	100c
1	1	1	0	c		10	100c
1	1	1	1	0					±Infinity
1	1	1	1	1					NaN

Bemerkung:
Das Vorzeichenbit von NaNs wird ignoriert. Das MSB des restlichen Exponenten bestimmt, ob das NAN quiet oder signaling ist.

Eine Dezimalzahl kann mehrere verschiedene Darstellungsbitmuster haben (nichteindeutige Darstellung). Die Bitmuster, die eine Zahl repräsentieren, heißen die Kohorte dieser Zahl. Die Darstellungen (s, q, c) und (s, q+1, c/10) gehören zur selben Kohorte, wenn c durch 10 teilbar ist (Streng genommen ist die Menge {+0, –0} in der alten IEEE 754 Norm die Kohorte der Zahl 0. Der Standard IEEE 754R sagt jedoch explizit, dass +0 und −0 in verschiedene Kohorten gehören sollen).

Die Darstellung erfolgt in vier Bitfeldern S, G, F und J. S ist 1 Bit breit und enthält das Vorzeichen der Zahl. G enthält bei allen Dezimalformaten in 5 Bit zwei Exponentenbit und die führende Mantissenziffer. Der restliche Exponent steht in w Bit der Feldes F. Den Abschluss bilden die restlichen Mantissenziffern im Feld J mit j Declets, 10j Bit und 3j Ziffern.

S G0 G1 G2 G3 G4 F2 F3 … F[w+1] J1, J2, … Jj

G = 11111: r = NaNq oder r = NaNs; v = NaN

G = 11110: r = v = (–1)^s Infinity

G < 11110: r = (S, E–B, c); v = (–1)^s 10^(E–B) c, mit c = d0 d1 … d[p–1]

G = 110xx | G = 1110x: d0 = 8 + G4 in {8, 9}; E = G2G3 in {0, 1, 2}

G = 0xxxx | G = 10xxx: d0 = G2G3G4 in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; E = G0G1 in {0, 1, 2}

Exponent: ggf...f besteht aus w Bit im Feld F plus zwei Bit im Feld G. Die zwei Bit aus Feld G können nur die drei Werte {00, 01, 10} annehmen. Damit stehen nur 3/4 der rechnerischen Exponentenwerte zur Verfügung. (Beispiel: d32, w=6, w+2 = 8, was rechnerisch 256 verschiedene Exponentenwerte bedeuten würde.) Da der Exponent nie mit 11f...f beginnen darf, sind es lediglich 3/4*256=192 Werte. Unter Berücksichtigung des Bias von 101 ist der Wertebereich des Exponenten 0-101 .. 191-101 = −101 .. 90. Da bei d32 sieben dezimale Stellen in der Mantisse stehen, und man davon ausgeht, dass nach der ersten Ziffer ein Punkt steht (D0. D1 bis D6), kann dem Exponenten +6 dazugezählt werden. Somit kommt man auf die in der obigen Tabelle geschriebenen Werte −95..+96.

J besteht aus den restlichen 10j Bit oder 3j Dezimalziffern mit Werten zwischen 0 und 999, die in je 10 Bit (0…1024) Cowlishaw-codiert sind.

Alternativ können Dezimalzahlen auch binär codiert sein. Aus dem 5bitigen G-Feld werden wie bei dezimaler Codierung 2 führende Exponentenbits und 4 führende Mantissenbits extrahiert. Nach Verkettung mit den restlichen Mantissenbits aus dem J-Feld wird die gesamte Mantisse als Dualzahl interpretiert. Ist eine solche Mantisse ausnahmsweise ≥ 10^p, dann gilt sie als nichtkanonische Darstellung der Null.

Intention von dezimalen Gleitkommazahlen

• Dicht gepackte Dezimalformate (3 Ziffern in 10 Bit) sind standardisiert, aber auch nach 15 Jahren in käuflich erwerblicher fester Hardware nicht verfügbar. Man kann sie in Software, in FPGAs und in ASICs implementieren, aber selbst darüber halten sich die Publikationen in Grenzen und sind meist auf Addition und Subtraktion beschränkt.
• Die Dezimalformate werden hauptsächlich von der Finanzwirtschaft gefordert, aber sobald man genauer hinschaut, nicht benötigt. Festkommadarstellungen auf Basis der kleinsten Verrechnungseinheit und 64-bit-Ganzzahlen decken gegenüber Decimal64 einen 288× so großen Wertebereich exakt ab (−92.233.720.368.547.758,08...+92.233.720.368.547.758,07 gegenüber −319.999.999.999.999,99...+319.999.999.999.999,99). Sie können allerdings keine noch größeren Werte mit dann verminderter Genauigkeit darstellen noch können sie kleinere Beträge genauer darstellen.

Hier prallen zwei gegensätzliche Standpunkte aufeinander.

• Auf der einen Seite werden die Speicher-, Rechenzeit- und Kosten-Vorteile, sowie die gleichmäßigere Zahlenverteilung eines dualen Formates herausgestellt.
• Auf der anderen Seite wird argumentiert, dass exakte Ergebnisse (meist sind Ergebnisse wie bei Handrechnungen gemeint) nur mit Dezimalarithmetik möglich sind und in Zeiten schneller Prozessoren und billiger Speicher die Nachteile nicht mehr ins Gewicht fallen.

Manche Experten gehen sogar soweit, zu behaupten, dass duale Arithmetik in Zukunft kaum noch eine Rolle spielen wird. Ein zugegeben polemisches Zitat zu diesem Thema stammt vom „Gleitkomma-Altmeister“ William Kahan:

“Why is decimal floating-point hardware a good idea anyway? Because it can help our industry avoid errors designed not to be found.”

„Warum ist dezimale Gleitkommahardware auf jeden Fall eine gute Idee? Weil sie unserer Industrie hilft die Fehler zu vermeiden, die verfahrensbedingt nicht gefunden werden können.“

Weblinks

• IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. (PDF; 915 kB) IEEE Computer Society, abgerufen am 7. Juni 2016 (englisch). 
• IEEE 754: Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. IEEE Computer Society, abgerufen am 7. Juni 2016 (englisch).