مبرهنة فيريال: الفرق بين النسختين

[نسخة منشورة]

تم حذف المحتوى تمت إضافة المحتوى

مضمن

النسخة الحالية 23:12، 28 يونيو 2024

في الميكانيكا مبرهنة الترابط او مبرهنة متوسط طاقة القوى هي مبرهنة توفر معادلة عامة تربط بين المتوسط الحسابي الزمني للطاقة الحركية الإجمالية $\left\langle T\right\rangle$ مع الطاقة الكامنة لنظام مستقر يتكون N من الجسيمات، مرتبطة بالقوى الكامنة، مع إجمالي طاقة الوضع $\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle$ ، حيث تمثل الأقواس الزاوية (< >) المعدل بمرور الزمن للكمية المحاطة.

من الناحية الرياضياتية، نص المبرهنة كما يلي:

\left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle

حيث F_k تمثل القوة على جسيمk الذي يكمن في الموقع r_k. كلمة virial (فيريال) مستمدة من الكلمة اللاتينية vis التي معناها «القوة» أو «الطاقة»، قدم هذا التعريف الاصطلاحي بواسطة رودولف كلاوزيوس في عام 1870.^[1]

أهمية مبرهنة فيريال هي أنها تسمح بحساب متوسط مجموع الطاقة الحركية حتى بالنسبة للأنظمة المعقدة جدا التي تتحدى الحل، مثل تلك التي تعتبر من الميكانيكا الإحصائية؛ ويرتبط مجموع متوسط الطاقة الحركية مع درجة حرارة النظام من خلال مبرهنة التوزع المتساوي. ومع ذلك، فإن مبرهنة فيريال لا تعتمد على مفهوم درجة الحرارة وتطبق حتى بالنسبة للأنظمة التي ليست في توازن حراري. وقد تم تعميم مبرهنة فيريال بطرق مختلفة، وعلى الأخص لدالات الموتر.

إذا كانت القوة بين أي جسيمين في نظام تنتج عن طاقة وضع V(r) = αrⁿ هذا يتناسب مع بعض القدرة n لمتوسط المسافة بين الجسيمات r، مبرهنة فيريال تأخذ شكل بسيط:

2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .

وبالتالي، ضعف متوسط مجموع الطاقة الحركية $\left\langle T\right\rangle$ يساوي n مضروبا في متوسط إجمالي الطاقة الوضع $\left\langle V_{\text{TOT}}\right\rangle$ .حيث أن V(r) يمثل طاقة الوضع بين جسيمين، V_TOT يمثل مجموع الطاقة الوضع للنظام، أي مجموع الطاقة الوضع V(r) على جميع أزواج الجسميات في النظام. وهناك مثال شائع لهذا النظام هو نجم متماسك معا بواسطة الجاذبية الخاصة به، حيث n يساوي -1.

تاريخ

في عام 1870، ألقى رودولف كلاوزيوس محاضرة «تتعلق بنظرية ميكانيكية تنطبق على الحرارة» لرابطة العلوم الطبيعية والطبية في راين السفلى (ألمانيا)، بعد دراسة لمدة 20 عاما للديناميكا الحرارية. وأوضحت المحاضرة أن متوسط القوة الحية للنظام تساوي فيريال، أو أن متوسط الطاقة الحركية يساوي 1/2 متوسط الطاقة الكامنة.^[2] يمكن الحصول على نظرية فيريال مباشرة من متطابقة لاغرانج كما هو مطبق في حركيات الجاذبية الكلاسيكية، الذي ضُمِّن شكله الأصلي في مقال لاغرانج «عن مشكلة الهيئات الثلاث» الذي نشر في عام 1772. إن مبدأ كارل جاكوبي للأجسام n وعلى الشكل الحالي لمتطابقة لابلاس يشبه إلى حد بعيد نظرية فيريال الكلاسيكية. ومع ذلك، فإن التفسيرات التي أدت إلى تطوير المعادلات كانت مختلفة جدا، لأنه في وقت تطور الميكانيكا الإحصائية لم توحد بعد الدراسات المنفصلة للديناميكا الحرارية والديناميكا الكلاسيكية.^[3]

واستخدمت نظرية في وقت لاحق وعممت وتواصل تطويرها بواسطة كل من: جيمس كليرك ماكسويل، جون ويليام ستروت، هنري بوانكاريه، سابرامانين تشاندراسخار، إنريكو فيرمي، بول ليدوكس ويوجين باركر. وكان فريتز زفيكي أول من استخدم نظرية فيريال لاستنتاج وجود المادة الغير مرئية، والتي تسمى الآن المادة المظلمة. وكمثال آخر على التطبيقات العديدة لنظرية فيريال، فلقد استخدمت النظرية لاشتقاق حد شاندراسيخار للاستقرار الأقزام البيضاء.

الحساب والإشتقاق

لموقع مجموعة N من الجسيمات الكمية القياسية لعزم القصور الذاتي I نحو نقطة المبدأ تشتق بواسطة المعادلة:

I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}|\mathbf {r} _{k}|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}

حيثm_k و r_k تمثل كتلة وموقع جسيمات k.والكمية G تشتق بالمعادلة:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}

حيث p_k متجهة زخم الحركة لعدد الجسيمات k بافتراض أن الكتل ثابتة، G تمثل نصف الزمن المشتق لهذة اللحظة من القصور

{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.

في المقابل، يمكن كتابة الزمن المشتق من G :

{\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\,\end{aligned}}

حيث m_k كتلة جسيمات k .

$\mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}$ هي محصلة القوى على ذلك الجسيم، وT هي الطاقة الحركية الكلية للنظام.

مصادر

^ Clausius، RJE (1870). "On a Mechanical Theorem Applicable to Heat". Philosophical Magazine, Ser. 4. ج. 40: 122–127.
^ The virial theorem states نسخة محفوظة 17 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.
^ Collins, G. W. (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press. Introduction

روابط خارجية

The Virial Theorem
Gravitational Contraction and Star Formation, Georgia State University

لقراءة متعمقة

Goldstein، H. (1980). Classical Mechanics (ط. 2nd). Addison–Wesley. ISBN:0-201-02918-9.
Collins، G. W. (1978). "The Virial Theorem in Stellar Astrophysics". Pachart Press. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25. {{استشهاد بدورية محكمة}}: الاستشهاد بدورية محكمة يطلب |دورية محكمة= (مساعدة)

[1] Clausius، RJE (1870). "On a Mechanical Theorem Applicable to Heat". Philosophical Magazine, Ser. 4. ج. 40: 122–127.

[2] The virial theorem states نسخة محفوظة 17 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.

[3] Collins, G. W. (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press. Introduction

[1]

[2]

[3]

@@ سطر 1: / سطر 1: @@
-في ال[[ميكانيكا ]]  '''نظرية فيريال''' ('''نظرية القوى الكميه''') هى [[نظرية]] توفر معادلة عامة تربط بين المتوسط الحسابي الزمني [[طاقة حركية|للطاقة الحركية]] الإجمالية  <math>\left\langle T \right\rangle</math> مع الطاقة الكامنة لنظام مستقر  يتكون ''N'' من الجسيمات، مرتبطة بالقوى الكامنة، مع إجمالي [[طاقة وضع|طاقة الوضع]] <math>\left\langle V_\text{TOT} \right\rangle</math>،حيث تمثل الأقواس الزاوية (< >) المعدل بمرور الزمن للكمية المحاطة.
+في ال[[ميكانيكا]] '''مبرهنة الترابط''' او مبرهنة متوسط طاقة القوى هي [[مبرهنة]] توفر معادلة عامة تربط بين المتوسط الحسابي الزمني [[طاقة حركية|للطاقة الحركية]] الإجمالية <math>\left\langle T \right\rangle</math> مع الطاقة الكامنة لنظام مستقر يتكون ''N'' من الجسيمات، مرتبطة بالقوى الكامنة، مع إجمالي [[طاقة وضع|طاقة الوضع]] <math>\left\langle V_\text{TOT} \right\rangle</math>، حيث تمثل الأقواس الزاوية (< >) المعدل بمرور الزمن للكمية المحاطة.
-من الناحية الرياضية، تنص النظرية:
+من الناحية الرياضياتية، نص المبرهنة كما يلي:
 :<math>
 \left\langle T \right\rangle = -\frac{1}{2}\,\sum_{k=1}^N \left\langle \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \right\rangle
 </math>
-حيث '''F'''<sub>''k''</sub> تمثل ال[[قوة]] على جسيم''k'' الذي يكمن في الموقع '''r'''<sub>''k''</sub>. كلمة '''virial''' (فيريال) مستمدة من الكلمة اللاتينية ''vis'' التى معناها "القوة" أو "الطاقة"، قدم هذا التعريف الإصطلاحي بواسطة [[رودولف كلاوزيوس]]  في عام 1870.<ref>{{cite journal | last = Clausius | first = RJE | year = 1870 | title = On a Mechanical Theorem Applicable to Heat | journal = Philosophical Magazine, Ser. 4 | volume = 40 | pages = 122–127}}</ref>
+حيث '''F'''<sub>''k''</sub> تمثل ال[[قوة]] على جسيم''k'' الذي يكمن في الموقع '''r'''<sub>''k''</sub>. كلمة '''virial''' (فيريال) مستمدة من الكلمة اللاتينية ''vis'' التي معناها «القوة» أو «الطاقة»، قدم هذا التعريف الاصطلاحي بواسطة [[رودولف كلاوزيوس]] في عام 1870.<ref>{{استشهاد بدورية محكمة | الأخير = Clausius | الأول = RJE | سنة = 1870 | عنوان = On a Mechanical Theorem Applicable to Heat | صحيفة = Philosophical Magazine, Ser. 4 | المجلد = 40 | صفحات = 122–127}}</ref>
-أهمية نظرية فيريال هى أنها تسمح بحساب متوسط مجموع الطاقة الحركية  حتى بالنسبة للأنظمة المعقدة جدا التي تتحدى الحل ، مثل تلك التي تعتبر من [[ميكانيكا إحصائية|الميكانيكا الإحصائية]]؛ ويرتبط مجموع متوسط الطاقة الحركية مع درجة حرارة النظام من خلال [[مبرهنة التوزع المتساوي]]. ومع ذلك، فإن نظرية فيريال لا تعتمد على مفهوم درجة الحرارة وتطبق حتى بالنسبة للأنظمة التي ليست في [[توازن حراري]]. وقد تم تعميم نظرية فيريال بطرق مختلفة، وعلى الأخص  لدالات [[موتر|الموتر]].
+أهمية مبرهنة فيريال هي أنها تسمح بحساب متوسط مجموع الطاقة الحركية حتى بالنسبة للأنظمة المعقدة جدا التي تتحدى الحل، مثل تلك التي تعتبر من [[ميكانيكا إحصائية|الميكانيكا الإحصائية]]؛ ويرتبط مجموع متوسط الطاقة الحركية مع درجة حرارة النظام من خلال [[مبرهنة التوزع المتساوي]]. ومع ذلك، فإن مبرهنة فيريال لا تعتمد على مفهوم درجة الحرارة وتطبق حتى بالنسبة للأنظمة التي ليست في [[توازن حراري]]. وقد تم تعميم مبرهنة فيريال بطرق مختلفة، وعلى الأخص لدالات [[موتر|الموتر]].
-إذا كانت القوة بين أي جسيمين في نظام تنتج عن [[طاقة وضع]] ''V''(''r'') = ''αr<sup>&nbsp;n</sup>''  هذا يتناسب مع بعض القدرة ''n''   لمتوسط المسافة بين الجسيمات ''r''، نظرية فيريال تأخذ شكل بسيط:
+إذا كانت القوة بين أي جسيمين في نظام تنتج عن [[طاقة وضع]] ''V''(''r'') = ''αr<sup>&nbsp;n</sup>'' هذا يتناسب مع بعض القدرة ''n'' لمتوسط المسافة بين الجسيمات ''r''، مبرهنة فيريال تأخذ شكل بسيط:
 :<math>
@@ سطر 18: / سطر 16: @@
 </math>
-وبالتالي، ضعف متوسط مجموع الطاقة الحركية <math>\left\langle T \right\rangle</math> يساوي ''n'' مضروبا في متوسط إجمالي الطاقة الوضع <math>\left\langle V_\text{TOT} \right\rangle</math>.حيث أن ''V''(''r'')  يمثل طاقة الوضع  بين جسيمين، ''V''<sub>TOT</sub> يمثل مجموع الطاقة الوضع للنظام، أي مجموع الطاقة الوضع ''V''(''r'') على جميع أزواج الجسميات في النظام. وهناك مثال شائع لهذا النظام هو [[نجم]] متماسك  معا بواسطة الجاذبية الخاصة به، حيث ''n'' يساوي -1.
+وبالتالي، ضعف متوسط مجموع الطاقة الحركية <math>\left\langle T \right\rangle</math> يساوي ''n'' مضروبا في متوسط إجمالي الطاقة الوضع <math>\left\langle V_\text{TOT} \right\rangle</math>.حيث أن ''V''(''r'') يمثل طاقة الوضع بين جسيمين، ''V''<sub>TOT</sub> يمثل مجموع الطاقة الوضع للنظام، أي مجموع الطاقة الوضع ''V''(''r'') على جميع أزواج الجسميات في النظام. وهناك مثال شائع لهذا النظام هو [[نجم]] متماسك معا بواسطة الجاذبية الخاصة به، حيث ''n'' يساوي -1.
-==مصادر==
+== تاريخ ==
+في عام 1870، ألقى رودولف كلاوزيوس محاضرة «تتعلق بنظرية ميكانيكية تنطبق على الحرارة» لرابطة العلوم الطبيعية والطبية في راين السفلى ([[ألمانيا]])، بعد دراسة لمدة 20 عاما للديناميكا الحرارية. وأوضحت المحاضرة أن متوسط [[قوة حية|القوة الحية]] للنظام تساوي فيريال، أو أن متوسط الطاقة الحركية يساوي 1/2 متوسط الطاقة الكامنة.<ref>[http://hosting.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/vt.htm The virial theorem states] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170717053929/http://www.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/vt.htm |date=17 يوليو 2017}}</ref> يمكن الحصول على نظرية فيريال مباشرة من [[متطابقة لاغرانج]] كما هو مطبق في حركيات الجاذبية الكلاسيكية، الذي ضُمِّن شكله الأصلي في مقال لاغرانج «عن مشكلة الهيئات الثلاث» الذي نشر في عام 1772. إن مبدأ [[كارل غوستاف ياكوب ياكوبي|كارل جاكوبي]] للأجسام ''n'' وعلى الشكل الحالي لمتطابقة لابلاس يشبه إلى حد بعيد نظرية فيريال الكلاسيكية. ومع ذلك، فإن التفسيرات التي أدت إلى تطوير المعادلات كانت مختلفة جدا، لأنه في وقت تطور الميكانيكا الإحصائية لم توحد بعد الدراسات المنفصلة [[ديناميكا حرارية|للديناميكا الحرارية]] والديناميكا الكلاسيكية.<ref>Collins, G. W. (1978). The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press. Introduction</ref>
+واستخدمت نظرية في وقت لاحق وعممت وتواصل تطويرها بواسطة كل من: [[جيمس كليرك ماكسويل]]، [[جون ويليام ستروت ريليه|جون ويليام ستروت]]، [[هنري بوانكاريه]]، [[سابرامانين تشاندراسخار]]، [[إنريكو فيرمي]]، [[باول ليدوكس|بول ليدوكس]] و[[يوجين باركر]]. وكان [[فريتز زفيكي]] أول من استخدم نظرية فيريال لاستنتاج وجود المادة الغير مرئية، والتي تسمى الآن [[مادة مظلمة|المادة المظلمة]]. وكمثال آخر على التطبيقات العديدة لنظرية فيريال، فلقد استخدمت النظرية لاشتقاق [[حد شاندراسيخار]] للاستقرار [[قزم أبيض|الأقزام البيضاء]].
+== الحساب والإشتقاق ==
+لموقع مجموعة N من الجسيمات [[كمية سلمية|الكمية القياسية]] ل[[عزم القصور الذاتي]] ''I'' نحو [[أصل (رياضيات)|نقطة المبدأ]] تشتق بواسطة المعادلة:
+:<math>
+I = \sum_{k=1}^{N} m_{k} |\mathbf{r}_{k}|^{2} = \sum_{k=1}^{N} m_{k} r_{k}^{2}
+</math>
+حيث''m''<sub>''k''</sub> و '''r'''<sub>''k''</sub> تمثل كتلة وموقع جسيمات ''k''.والكمية ''G'' تشتق بالمعادلة:
+:<math>
+G = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k
+</math>
+حيث '''p'''<sub>''k''</sub> [[متجه]]ة [[زخم الحركة]] لعدد الجسيمات ''k'' بافتراض أن الكتل ثابتة، '' G '' تمثل نصف الزمن المشتق لهذة اللحظة من القصور
+:<math>
+\frac{1}{2} \frac{dI}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \sum_{k=1}^N m_{k} \, \mathbf{r}_k \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N m_{k} \, \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \mathbf{r}_k = G\,.
+</math>
+في المقابل، يمكن كتابة الزمن المشتق من '' G '':
+:<math>
+\begin{align}
+\frac{dG}{dt} & = \sum_{k=1}^N \mathbf{p}_k \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} +
+\sum_{k=1}^N \frac{d\mathbf{p}_k}{dt} \cdot \mathbf{r}_k \\
+& = \sum_{k=1}^N m_k \frac{d\mathbf{r}_{k}}{dt} \cdot \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k \\
+& = 2 T + \sum_{k=1}^N \mathbf{F}_k \cdot \mathbf{r}_k\, \end{align}
+</math>
+* حيث ''m''<sub>''k''</sub> كتلة جسيمات ''k'' .
+<math>\mathbf{F}_k = \frac{d\mathbf{p}_k}{dt}</math> هي [[محصلة القوى]] على ذلك الجسيم، و''T'' هي الطاقة الحركية الكلية للنظام.
+== مصادر ==
 {{مراجع}}
-==روابط خارجية==
+== روابط خارجية ==
 * [http://www.mathpages.com/home/kmath572/kmath572.htm The Virial Theorem]
 * ''[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/astro/gravc.html#c2 Gravitational Contraction and Star Formation]'', Georgia State University
-==لقراءة متعمقة==
+== لقراءة متعمقة ==
-*{{Cite book |last=Goldstein |first=H. |year=1980 |title=Classical Mechanics |edition=2nd |publisher=Addison–Wesley |isbn=0-201-02918-9 |postscript=<!--None--> }}
+* {{استشهاد بكتاب |الأخير=Goldstein |الأول=H. |سنة=1980 |عنوان=Classical Mechanics |طبعة=2nd |ناشر=Addison–Wesley |isbn=0-201-02918-9 |postscript=<!--None--> }}
-*{{Cite journal |last=Collins |first=G. W. |year=1978 |title=The Virial Theorem in Stellar Astrophysics |publisher=Pachart Press |url=http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/  }}
+* {{استشهاد بدورية محكمة |الأخير=Collins |الأول=G. W. |سنة=1978 |عنوان=The Virial Theorem in Stellar Astrophysics |ناشر=Pachart Press |مسار= http://ads.harvard.edu/books/1978vtsa.book/  |مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190525065030/http://ads.harvard.edu:80/books/1978vtsa.book/|تاريخ أرشيف=2019-05-25}}
 {{شريط بوابات|علم الفلك|رياضيات|فيزياء}}
+[[تصنيف:علم الحركة]]
 [[تصنيف:مبرهنات الفيزياء]]
 [[تصنيف:مفاهيم فيزيائية]]
-[[تصنيف:ديناميكا]]
 [[تصنيف:ميكانيكا المواد الصلبة]]