Многочлен

Многочлен или полином на реална променлива $x$ е функция, която се дефинира като сума от неотрицателните числени степени на $x$, умножени с реални числа, т.е. алгебричен израз от вида:

$\textstyle {P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}$ при $a_{n}\neq 0$

Отделните събираеми в израза се наричат едночлени или мономи, числата $\displaystyle {a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ – коефициенти, а $n$ – степен на многочлена. Освен на една, многочлените могат да са функции и на повече от една променлива.

Над множеството от многочлени на една реална променлива се въвеждат две операции – събиране и умножение, спрямо които множеството представлява пръстен с единичен елемент – единичният елемент на $R[x]$. Многочлените се подчиняват на асоциативния, комутативния и дистрибутивния закон. В сила са следните твърдения:

• Два многочлена се наричат равни, когато са от една и съща степен и имат едни и същи коефициенти пред еднаквите степени.
• Сумата на два многочлена $\textstyle {f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}}$ и $\textstyle {g(x)=\sum _{j=1}^{m}b_{j}x^{j}}$ е многочлен $\textstyle {h(x)=\sum c_{k}x^{k}}$, където $\textstyle {c_{i}=a_{i}\pm b_{i}}$ и $\textstyle {k=max(i,j)}$
• При същите означения, произведението на два многочлена е многочлен $\displaystyle {h(x)=a_{n}b_{m}x^{n+m}+(a_{n-1}b_{m}+a_{n}b_{m-1})x^{n+m-1}+...+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+(a_{1}b_{0}+a_{0}b_{1})x+a_{0}b_{0}}$

Вижте също

• деление на полиноми
• триъгълник на Паскал
• полиномиално разпределение
• полиноми на Ермит, полиноми на Льожандър, полиноми на Чебишов, полиноми на Якоби

Източници

• „Математически енциклопедичен речник“, В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983
• „Лексикон Математика“, Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х