چارک چیست؟ – توضیح به زبان ساده با مثال

مطلب پیشنهادی:

متغیر تصادفی، تابع احتمال و تابع توزیع احتمال

شروع مطالعه

تعیین چارک‌‌ها بر اساس صدک

در بخش قبل کاملا یاد گرفتیم که برای یک مجموعه داده، مراحل تعیین چارک چیست. همچنین توضیح دادیم که چارک نه‌تنها برای تقسیم‌بندی یک مجموعه داده بکار می‌رود، بلکه می‌تواند یک توزیع احتمال را نیز به چهار بخش با احتمالات مساوی جداسازی کند. اما امکان پیاده‌سازی مراحل بخش قبل برای توزیع‌های احتمال وجود ندارد. پس لازم است به شیوه دیگری چارک‌ها را برای توزیع احتمال تعیین کنیم.

در این بخش می‌خواهیم با روش دیگری که در مورد توزیع‌های احتمال کاربرد دارد، چارک‌های اول تا سوم را پیدا کنیم. چارک‌ها نوعی «چندک» (Quantile) یا به‌طور دقیق‌تر، نوعی «صدک» (Percentile) محسوب می‌شوند. یک صدک مقداری است که درصد مشخصی از داده‌ها کمتر از آن هستند. به‌طور کلی، k درصد از داده‌ها زیر صدک k‌ام قرار می‌گیرند. حالا اگر بخواهیم بر این اساس چارک‌ها را تعریف کنیم، خواهیم داشت:

1. چارک اول یا چارک پایین‌تر صدک ۲۵ام است، به این معنا که ۲۵ درصد از داده‌ها زیر Q_۱ قرار می‌گیرند.
2. چارک دوم یا میانه صدک ۵۰ام است، به این معنا که ۵۰ درصد از داده‌ها زیر Q_۲ قرار می‌گیرند.
3. چارک سوم یا چارک بالاتر صدک ۷۵ام است، به این معنا که ۷۵ درصد از داده‌ها زیر Q_۳ قرار می‌گیرند.

به این ترتیب با شکستن داده‌ها در صدک‌های ۲۵ام، ۵۰ام و ۷۵ام، چارک‌ها داده‌ها را به چهار بخش مساوی تقسیم می‌کنند. شکل بالا نمونه‌ای از تقسیم شدن یک توزیع احتمال به چهار بازه با احتمال مساوی توسط چارک‌ها است.

نمایش چارک‌ها با نمودار جعبه‌ای (Boxplot)

در این قسمت نشان می‌دهیم یکی از راه‌های نمایش چارک چیست. نمودار‌های جعبه‌ای یا باکس پلات‌ها در ارائه یک تصویر کلی از وضعیت داده‌ها بسیار سودمند هستند. این نوع نمودار شامل خطوط (Whiskers) و جعبه‌هایی است که خطوط به کمترین و بیشترین تعداد مشاهدات اشاره دارند و جعبه‌ها نشان‌دهنده چارک‌ها هستند. برای رسم یک نمودار جعبه‌ای اولین کاری که باید بکنید این است که پنج مرحله زیر را انجام دهید:

1. پیدا کردن «کمینه» (Minimum) یا min
2. پیدا کردن چارک اول
3. پیدا کردن چارک دوم
4. پیدا کردن چارک سوم
5. پیدا کردن «بیشینه» (Maximum) یا max

کمینه یا کمترین مقدار به معنای کمترین مقدار در مشاهدات است. اگر اعدادی که در مجموعه داده خود دارید را از کمترین مقدار به بیشترین مقدار مرتب کنید، کمینه یا مینیمم برابر است با اولین عدد، که به آن چارک صفرم هم می‌گویند. در سمت مقابل، بیشینه یا ماکزیمم را داریم که برابر است با بیشترین مقدار در مشاهدات و آخرین عدد از مجموعه داده‌های مرتب شده را شامل می‌شود. به همین علت به آن چارک چهارم هم گفته می‌شود. از هر کدام از این پنج مرحله یک عدد به‌دست می‌آید. با داشتن این ۵ عدد، می‌توانید نمودار جعبه‌ای خود را رسم کنید.

شکل بالا نمونه‌ای از یک باکس پلات را نشان می‌دهد که در آن چارک اول تا سوم و مقادیر کمینه و بیشینه مشخص شده‌اند. روشی که در بالا توضیح دادیم، تنها راه رسم نمودار جعبه‌ای نیست. همان‌طور که گفتیم، جعبه‌های یک باکس پلات همیشه نشان‌دهنده چارک‌ها هستند، اما اغلب خطوط در نقاطی قرار می‌گیرند که برابر است با ۱٫۵ برابر دامنه میان‌چارکی از Q_۱ تا Q_۳. در بخش بعد یک نمونه نمودار جعبه‌ای رسم می‌شود تا بهتر متوجه تاثیر چارک‌ها در تحلیل داده‌ها شوید.

مثال رسم نمودار جعبه‌ای

همان‌طور که در مثال مطالعه پیشرفت زبان‌آموزی بچه‌ها دیدیم، ۱۴ شرکت‌کننده دارای سن‌های مختلفی بین ۱ تا ۶ سال بودند که به شکل زیر مرتب می‌شود:

۶ - ۶ - ۵ - ۵ - ۴ - ۳ - ۳ - ۳ - ۳ - ۲ - ۲ - ۲ - ۱ - ۱

نمودار جعبه‌ای این داده‌ها را رسم کنید:

پاسخ

یاد گرفتیم که برای رسم نمودار جعبه‌ای لازم است پنج مرحله طی شود. مرحله اول پیدا کردن کمینه است. دقت کنید پیش از آن بهتر است حتما داده‌های خود را از کمترین به بیشترین مقدار مرتب کرده باشید. پس از چینش داده‌ها، واضح است که کمترین مقدار یا min برابر است با ۱. حالا می‌رویم سراغ تعیین چارک‌ها. اگر خاطرتان باشد مقدار سه چارک برای این داده‌ها در مثال بخش قبل پیدا شد. پس نیازی به تکرار محاسبات نیست. مرحله آخر یافتن بیشینه است که برابر است با عدد ۶. پس می‌توانیم پنج عدد خود را به شکل زیر مرتب کنیم:

1. کمینه: ۱ سال
2. چارک اول: ۲ سال
3. چارک دوم: ۳ سال
4. چارک سوم: ۵ سال
5. بیشینه: ۶ سال

اعداد بالا محل قرارگیری جعبه‌ها و خطوط را روی محور افقی نمودار مشخص می‌کنند، به این صورت که ابتدا محل اهر عدد صحیح را به ترتیب با شروع از صفر روی محور افقی مشخص می‌کنیم. برای مقادیری که ما داریم تا عدد ۷ یا ۸ کافی است. سپس بالای عدد ۱ خط کمینه، بالای عدد ۲ خط چارک اول، بالای عدد ۳ خط چارک دوم، بالای عدد ۵ خط چارک سوم و بالای عدد ۶ خط بیشینه را به‌صورت عمودی و کوتاه رسم می‌کنیم. گفتیم چارک‌ها با جعبه نشان داده می‌شوند، پس با وصل کردن خطوط چارک‌ها جعبه را تکمیل می‌کنیم و با یک خط افقی، ابتدا و انتهای جعبه را به کمینه و بییشینه متصل می‌کنیم. در نتیجه، نمودار جعبه‌ای برای این مثال به شکل زیر خواهد شد:

چارک‌ها چه اطلاعاتی به ما می‌دهند؟

اگر بخواهیم بدانیم هدف از پیدا کردن چارک چیست، پاسخ این است که چارک‌ها اطلاعات مفیدی در مورد یک مشاهده یا یک مجموعه داده به ما می‌دهند. پس برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد بقیه یک نمونه یا جامعه آماری خود، بهتر است وضعیت چارک‌ها را تفسیر کنیم. اطلاعاتی که چارک به ما می‌دهد، شامل موارد زیر است که در ادامه هر کدام را به‌طور مختصر توضیح خواهیم داد:

• مقایسه مشاهدات
• میانه
• دامنه میان‌چارکی
• خمیدگی یا چولگی
• تشخیص داده‌های پرت

مقایسه مشاهدات

یکی از ابتدایی‌ترین کاربردهای چارک این است که از مقایسه یک مشاهده با چارک‌ها، می‌توان تعیین کرد که برای مثال آیا این مشاهده در فاصله ۲۵٪ اول قرار می‌گیرد یا در وسط یا در ۲۵٪ آخر.

میانه

اگر خاطرتان باشد، در بخش‌های قبل اشاره کردیم که نام دیگر دومین چارک چیست. چارک دوم همان «میانه» (Median) است که برابر است با اندازه‌‌ای از تمایل مرکزی در داده‌ها. این عدد میانی، اندازه‌ دقیقی از میانگین یا مرکزی‌ترین مقدار عددی در بین مقادیر داده‌ها است. محاسبه میانه بخصوص در توزیع‌هایی که دارای «خمیدگی یا چولگی» (Skewness) هستند یا زمانی که توزیع ما دارای «داده‌های پرت» (Outliers) باشد، بسیار مفید است.

بنابراین یکی از خروجی‌ها در پیدا کردن چارک، تعیین میانه است که می‌تواند در تحلیل داده‌های ما بسیار مفید باشد. البته مقدار میانه به تنهایی نمی‌تواند به ما اطلاعاتی در مورد نحوه پخش داده‌ها قبل و بعد میانه بدهد. در واقع این چارک‌ها هستند که نشان می‌دهند داده‌های قبل و بعد از میانه به چه شکلی توزیع شده‌اند.

دامنه میان‌چارکی

در این بخش به معرفی مفهومی می‌پردازیم که نشان می‌دهد میزان تغییرپذیری چارک چیست. این مفهوم «دامنه میان‌چارکی یا دامنه بین چارکی» (Interquartile Range) نام دارد و معمولا با IQR نمایش داده می‌شود. دامنه میان‌چارکی، فاصله بین چارک اول تا سوم است و نحوه پخش‌شدگی میانگین ۵۰٪ از داده‌ها را نمایش می‌دهد. فرمول محاسبه دامنه میان‌چارکی به‌صورت زیر است:

$$IQR=Q_3-Q_1$$

IQR میزان تغییرپذیری در توزیع‌های خمیده یا توزیع‌هایی که داده‌های پرت دارند، را به‌خوبی نشان می‌دهد. نکته مهم در مورد این کمیت این است که IQR فقط میانگین ۵۰٪ از داده‌ها را شامل می‌شود. بنابراین برخلاف دامنه، IQR تحت تاثیر مقادیر حدی نیست. می‌دانیم دامنه یا Range برابر است با اختلاف بیشترین و کمترین مقدار، در حالی که تعریف دامنه میان‌چارکی با فرمول بالا توضیح داده می‌شود که شامل کمترین یا بیشترین مقدار نیست. بنابراین پس از اینکه توانسیتم چارک اول و چارک سوم را در یک مجموعه داده تعیین کنیم، با محاسبه IQR می‌توانیم تغییرپذیری داده‌‌های خود را مشخص کنیم.

خمیدگی یا چولگی

در بخش میانه اشاره کردیم که در مورد توزیع‌های دارای چولگی یا خمیدگی، تاثیر محاسبه دومین چارک چیست. اما چطور بفهمیم یک توزیع چولگی دارد؟ پاسخ این است که از فاصله بین چارک‌ها می‌توانید متوجه شوید که آیا یک توزیع دارای خمیدگی است یا متقارن است. روش کار به این صورت است که ابتدا باید نمودار جعبه‌ای مربوط به داده‌های خود را رسم کنید و سپس به فواصل بین چارک‌ها دقت کنید.

برای مثال در شکل بالا دو نمودار جعبه‌ای را مشاهده می‌کنید که IQR یا دامنه میان‌چارکی برابر دارند. پس IQR نمی‌تواند به ما سرنخی در مورد نحوه خمیدگی این توزیع‌ها بدهد. اما می‌توانیم با مقایسه فواصل بین چارک‌ها در هر نمودار، متوجه این مسئله شویم. مثلا در نمودار اول از سمت راست، فاصله بین چارک اول و دوم یا همان میانه از فاصله بین چارک سوم و میانه کمتر است. بنابراین انتظار داریم یک چولگی یا کجی در سمت راست توزیع مربوط به این نمودار قرار داشته باشد. چنین توزیعی را توزیع خمیده مثبت می‌نامیم.

در نمودار جعبه‌ای دوم (سمت چپ)، فاصله بین چارک اول و میانه نسبت به فاصله بین میانه و چارک سوم بیشتر است. پس توزیع مناسب برای این نمودار در سمت چپ خود یک کجی خواهد داشت و آن را توزیع خمیده منفی می‌نامیم. به‌عبارت دیگر، دم یا کشیدگی توزیع منفی در سمت چپ آن قرار دارد. البته باید دقت داشته باشید که بهتر است برای اطمینان بیشتر در مورد نحوه خمیدگی، از روش‌هایی مانند رسم هیستوگرام یا محاسبه اندازه‌ چولگی استفاده کنید. نکته دیگر در مورد توزیع‌های خمیده این است که چون بیشتر مقادیر در یک سمت از توزیع نسبت به مرکز آن قرار می‌گیرند، سه کمیت میانگین، میانه و مد مقادیر متفاوتی خواهند داشت. پس یکی از نشانه‌های توزیع دارای چولگی این است.

تشخیص داده‌های پرت

در انتها یاد می‌گیریم که روش تشخیص داده‌های پرت با استفاده از چارک چیست. داده‌های پرت به مشاهداتی گفته می‌شود که مقادیر مربوط به آن‌ها خیلی بالا یا خیلی پایین است. یکی از نشانه‌هایی که نشان می‌دهد با یک داده پرت مواجه هستیم این است که مقدار آن داده نسبت به ۱٫۵ برابر IQR خیلی بیشتر یا کمتر است.

به‌طور دقیق‌تر، هر داده‌ای که از $$Q_3+1.5IQR$$ بیشتر و از $$Q_1-1.5IQR$$ کمتر باشد، داده پرت محسوب می‌شود. بنابراین اگر چارک‌های اول و سوم را پیدا کرده باشیم، می‌توانیم IQR را محاسبه کنیم و در نتیجه، متوجه شویم که داده موردنظر ما پرت محسوب می‌شود یا خیر.

مثال مقایسه نمودارهای جعبه‌ای

در این مثال قصد داریم نشان دهیم چگونه با استفاده از تعیین چارک‌ها و سپس رسم نمودار جعبه‌ای، می‌توان اطلاعاتی به‌دست آورد که برای مقایسه عملکرد مفید هستند. پس به نوعی یاد می‌گیریم یکی از ساده‌ترین کاربردهای چارک چیست. فرض کنید یک آزمون ریاضی مشترک بین دو کلاس A و B برگزار شده است و دو نمودار جعبه‌ای زیر نتایج آن را برای هر کلاس نشان می‌دهد:

با توجه به نمودارهای بالا، پیشرفت دو کلاس را با هم مقایسه کنید:

پاسخ

یکی از را‌ه‌های مقایسه عملکرد دو کلاس، بررسی میانه است. میانه در نمودار جعبه‌ای معادل است با خط داخل جعبه. پس در نمودار کلاس A مقدار میانه برابر است با ۱۴ در حالی که برای کلاس B، میانه برابر با ۲۰ است. همین جا می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که بطور میانگین، عملکرد کلاس B از کلاس A بهتر بوده است.

راه دیگر مقایسه، بررسی دامنه میان‌چارکی یا IQR است. برای پیدا کردن IQR از روی نمودار جعبه‌ای کافی است مقادیر متناظر با ابتدا و انتهای جعبه را از هم کم کنیم. برای کلاس A مقدار دامنه میان‌چارکی برابر است با:

$$IQR_A=16-10=6$$

در حالی که برای کلاس B خواهیم داشت:

$$IQR_B=27-15=12$$

کمتر شدن IQR برای کلاس A به این معنا است که این کلاس عملکرد یکدست‌تری دارد یا یادگیری دانش‌آموزان این کلاس بیشتر شبیه هم است. اما نمرات کلاس B دارای پراکندگی بیشتری است و این نشان می‌دهد که یادگیری در این کلاس در سطوح مختلفی است.

پیدا کردن چارک با اکسل

یکی از بهترین نرم‌افزارها برای انجام محاسبات آماری، نرم‌افزار اکسل است. در این بخش با یک مثال نشان می‌دهیم که در اکسل روش پیدا کردن چارک چیست. فرض کنید نمرات ریاضی کلاسی با ۱۹ دانش‌آموز به شرح زیر است:

۹۵ - ۹۰- ۸۷ - ۸۴ - ۸۲ - ۸۱- ۷۷ - ۷۶ - ۷۵ - ۷۵ - ۷۲ - ۷۰ - ۶۹ - ۶۸ - ۶۵ - ۶۵ - ۶۰ - ۵۹

اولین قدم این است که این داده‌ها را در یک ردیف اکسل یا در یک ستون آن وارد کنید. فرض کنید طبق شکل زیر داده‌ها را در ردیف ۲ به‌ شکل زیر وارد کرده‌اید. اگر دقت کنید نیازی به مرتب کردن داده‌ها نیست، چون به ترتیب از کمترین مقدار تا بیشترین مقدار نوشته شده‌اند.

برای یافتن چارک‌ها در اکسل می‌توانید خیلی راحت از توابعی که با همین هدف طراحی شده‌اند، استفاده کنید. در استفاده از این توابع باید دقت کنید که متغیر دوم در تابع، نشان‌دهنده چارکی است که می‌خواهید آن را محاسبه کنید:

$$=QUARTILE \ \ (A2:R2, 1)$$

$$=QUARTILE \ \ (A2:R2, 2)$$

$$=QUARTILE \ \ (A2:R2, 3)$$

اگر دستورات را به‌درستی وارد کنید، چارک اول تا سوم به‌صورت زیر به‌دست می‌آیند:

$$Q_1=68.25$$

$$Q_2=75$$

$$Q_3=81.75$$

محاسبه چارک در داده‌های گروهی

در بخش‌های قبل آموختیم که چگونه می‌توان چارک را در مورد یک مجموعه داده پیدا کرد. اگر دقت کنید داده‌هایی که در بخش‌های قبل داشتیم دارای مقادیر مشخص بودند. اما گاهی ممکن است «داده‌های گروهی» (Grouped Data)‌ در اختیار ما قرار داده شوند، به این صورت که داده‌ها شامل چند بازه باشند. در ادامه خواهیم دید برای چنین داده‌هایی چارک چیست.

برای نمونه داد‌های مربوط به قد ۴۰ دانش‌آموز را در نظر بگیرید که به‌صورت جدول زیر داده شده‌ است.

قصد داریم بررسی کنیم که چارک بالا و پایین در کدام بازه قدی قرار می‌گیرند. برای شروع، لازم است داده‌ها شمارش شوند تا مقدار n مشخص شود. با توجه به مقادیر فراوانی، n = ۴۰ است. در صورت سوال هم این نکته ذکر شده است که داده‌ها مربوط به قد ۴۰ دانش‌آموز است. مرحله بعدی این است که از فرمول مربوط به چارک اول استفاده کنیم تا Q_۱ محاسبه شود. طبق این فرمول داریم:

$$\frac{1}{4}n$$

$$\Rightarrow \frac{1}{4}n= \frac{40}{4}=10$$

عدد ۱۰ یک عدد صحیح است، پس چارک اول با محاسبه میانگین اعدادی که در موقعیت‌های دهم و یازدهم قرار دارند، به‌دست می‌آید. حالا چطور بفهمیم موقعیت دهم و یازدهم در کدام بازه قرار دارند؟ در اینجا لازم است از مفهومی به نام «فراوانی تجمعی» (Cumulative Frequency) استفاده کنیم که در بخش‌ بعد آن را توضیح داده‌ایم.

پس از اینکه فراوانی تجمعی را برای هر بازه محاسبه کردیم، متوجه خواهیم شد که طبق محاسبات ۱۵ عدد داده داریم که مقادیری کمتر از ۱٫۶ دارند (ردیف سوم جدول بالا). پس داده‌های دهم و یازدهم حتما در این بازه قرار دارند. نتیجه‌گیری این است که چارک اول در گروه یا بازه $$1.5 < h ≤ 1.6$$ قرار دارد.

برای یافتن چارک سوم از فرمول $$\frac{3}{4}n$$ استفاده می‌کنیم:

$$\Rightarrow \frac{120}{4}=30$$

عدد صحیح ۳۰ حاصل شد. پس باید بدانیم اعدادی که در موقعیت‌های ۳۰ و ۳۱ قرار دارند، چه هستند. باز به جدول بالا و ستون فراوانی تجمعی نگاه می‌کنیم تا ببینیم در کدام بازه مقدار فراوانی تجمعی شامل این اعداد می‌شود. ۳۶ عدد داده داریم که دارای مقادیر کمتر از ۱٫۸ هستند. پس چارک سوم در این بازه یعنی $$1.7 < h ≤ 1.8$$ قرار دارد.

روش محاسبه فراوانی تجمعی

برای اینکه بتوانیم تشخیص دهیم در مورد داده‌های گروهی چارک چیست و چگونه به‌دست می‌آید، لازم است ابتدا با فرمول محاسبه فراوانی تجمعی آشنا شویم. فراوانی یا فراوانی مطلق به معنای تعداد دفعاتی است که یک مقدار مشخص در یک مجموعه داده ظاهر می‌شود، در حالی که فراوانی تجمعی مجموع تمام فراوانی‌های بالاتر از یک نقطه خاص در یک مجموعه داده را به شما می‌دهد.

از طرفی داده‌های ما ممکن است گسسته یا پیوسته باشند. معمولا داده‌های پیوسته را به شکل بازه‌هایی از مقادیر بیان می‌کنند که مهم است این بازه‌ها یا فواصل با هم برابر باشند. اما اینکه چند مقدار در هر بازه قرار بگیرد، اهمیتی ندارد. در ادامه این بخش روش‌ محاسبه فراوانی تجمعی را توضیح می‌دهیم که شامل مراحل زیر است:

• مرحله اول: مرتب کردن داد‌ه‌ها
• مرحله دوم: شمارش فراوانی‌
• مرحله سوم: یافتن فراوانی تجمعی اولین مقدار
• مرحله چهارم: یافتن فراوانی تجمعی مقدار بعدی
• مرحله پنجم: تکرار مرحله قبل برای بقیه مقادیر
• مرحله ششم: چک درستی
• فراوانی تجمعی در داده‌های گروهی

مرحله اول: مرتب کردن داد‌ه‌ها

فرض کنید چند عدد را به‌عنوان داده‌های خود دارید. اولین قدم این است که این داده‌ها را از کمترین مقدار به بیشترین مقدار به شکل زیر مرتب کنید.

مرحله دوم: شمارش فراوانی

در قدم بعدی اعدادی که تکرار شده‌اند را با عنوان فراوانی در ستون دیگری درج کنید. برای مثال دو تا عدد ۳ داریم، پس فراوانی عدد ۳ برابر است با ۲.

مرحله سوم: یافتن فراوانی تجمعی اولین مقدار

دقت کنید باید از کمترین مقدار که همان اولین مقدار در داده‌های مرتب شده است، شروع کنید که در اینجا می‌شود عدد ۳. فراوانی این عدد برابر است با ۲. پس فراوانی تجمعی هم برابر می‌شود با ۲.

مرحله چهارم: یافتن فراوانی تجمعی مقدار بعدی

حالا می‌رویم سراغ یافتن فراوانی تجمعی برای مقدار بعدی. تا الان نشان دادیم که کمترین مقدار چند بار در داده‌ها ظاهر می‌شود. برای یافتن فراوانی تجمعی مقدار بعدی، کافی است فراوانی تجمعی داده قبلی را با فراوانی مطلق داده جدید جمع کنید.

مرحله پنجم: تکرار مرحله قبل برای بقیه مقادیر

در انتها همین روند را برای هر داده تکرار می‌کنیم، به این ترتیب که فراوانی تجمعی هر داده برابر است با مجموع فراوانی مطلق همان داده با فراوانی تجمعی داده قبل آن.

مرحله ششم: چک درستی

برای اینکه مطمئن شویم محاسباتمان درست بوده است، یکی از راه‌ها این است که تمام فراوانی‌های مطلق را با هم جمع کنیم. حاصل باید با آخرین فراوانی تجمعی برابر باشد. در مورد داده‌ها ما، مجموع فراوانی‌های مطلق برابر است با ۷ که همان آخرین فراوانی تجمعی است. یک روش دیگر هم این است که داده‌ها را کامل بنویسیم و بشمریم که چند عدد داده داریم. عدد حاصل همان آخرین فراوانی تجمعی است.

فراوانی تجمعی در داده‌های گروهی

در مورد داده‌های گروهی دانستن مفهوم فراوانی تجمعی و نحوه محاسبه آن برای اینکه بدانیم چارک چیست، مهم‌تر می‌شود. فرض کنید چند داده به شکل زیر داریم که می‌خواهیم آن‌ها را به شکل داده‌های گروهی در جدولی مرتب کنیم. سه بازه با فواصل برابر ۵۰۰، برای این داده‌ها در نظر می‌گیریم و فراوانی مطلق و فراوانی تجمعی را طبق آنچه در بخش قبل گفتیم محاسبه می‌کنیم.

چندک چیست؟

در این بخش می‌خواهیم ببینیم به‌عنوان یک نوع چندک، تعریف چارک چیست. پس اول باید تعریف چندک را بدانیم. چندک‌ها مقادیری هستند که داده‌های مرتب شده یا یک توزیع احتمال را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنند. به طور کلی یک q-چندک، داده‌های مرتب شده ما را به q بخش مساوی تقسیم می‌کند. چندک‌هایی که در آمار زیاد استفاده می‌شوند، عبارت‌اند از:

• چارک‌‌‌ها (۴-چندک): متشکل است از سه چارک که داده‌ها را به چهار بخش تقسیم می‌کنند.
• «دهک‌ها» (Deciles) (۱۰-چندک): متشکل است از نه دهک که داده‌ها را به ده بخش تقسیم می‌کنند.
• «صدک‌ها» (Percentiles) (۱۰۰-چندک): متشکل است از ۹۹ صدک که داده‌ها را به صد بخش تقسیم می‌کنند.

همان‌طور که قبلا گفتیم، بین چارک و صدک ارتباط نزدیکی وجود دارد، به این صورت که هر چارک ۲۵٪ یا یک چهارم از داده‌ها را جدا می‌کند. بسته به اینکه چه نوع چندکی داشته باشیم، همیشه تعداد چندک‌ها از تعداد اجزایی که پس از تقسیم شدن داده‌ها به‌دست می‌آیند، یک واحد کمتر است. مثلا در مورد چارک، داده‌ها به ۴ بخش تقسیم می‌شوند، در حالی که ۳ نوع چارک بکار می‌رود. روش یافتن چندک‌‌ها دقیقا مشابه روشی است که برای پیدا کردن چارک استفاده کردیم. فقط لازم است برای مثال برای یافتن q-چندک، در مراحل ۳ تا ۵ به جای ضرب کردن n در ۱/۴، آن را در ‎۱/q ضرب کنیم.

برای نمونه، فرض کنید می‌خواهیم سومین ۵-چندک را پیدا کنیم، در حالی که n داده داریم. اگر خاطرتان باشد برای یافتن سومین چارک، از فرمول $$\frac{3}{4}n$$ استفاده کردیم. در مورد چارک، مخرج فرمول برابر با عدد ۴ است. اما در اینجا برای ۵-چندک، مخرج فرمول برابر با ۵ خواهد شد و چون سومین ۵-چندک را می‌خواهیم، صورت کسر همان عدد ۵ است. بنابراین فرمول محاسبه سومین ۵-چندک می‌شود:

$$\frac{3}{5}n$$

• اگر حاصل $$\frac{3}{5}n$$ یک عدد صحیح شود، در این صورت سومین ۵-چندک برابر است با میانگین اعداد در موقعیت‌های $$\frac{3}{5}n$$ و $$\frac{3}{5}n+1$$.
• اگر حاصل $$\frac{3}{5}n$$ یک عدد صحیح نشود، در این صورت این عدد باید به سمت بالا گرد شود. حاصل نشان‌دهنده شماره جایگاه یا موقعیتی است که سومین ۵-چندک در آن قرار دارد.

مثال محاسبه چندک

در یک مغازه خواروبار فروشی، ۱۰ نوع غلات وجود دارد. اگر قیمت این غلات به دلار به شکل زیر باشد، دومین ۳-چندک قیمت‌ها چقدر است؟

۵٫۲۵ - ۳ - ۳٫۱ - ۲٫۹۹ - ۲٫۵ - ۳٫۲۵ - ۳٫۵ - ۳٫۴ - ۳٫۹۹ - ۴

پاسخ

در این سوال چارک خواسته نشده است، بلکه دومین ۳-چندک را باید پیدا کنیم. گفتیم روند کار با پیدا کردن دومین چارک فرقی ندارد. فقط کافی است مخرج فرمول دومین چارک ($$\frac{2}{4}n$$) را از ۴ به ۳ تغییر دهیم. پس فرمول می‌شود:

$$\frac{2}{3}n$$

n برابر است با ۱۰. پس خواهیم داشت:

$$\Rightarrow \frac{2}{3}n=\frac{20}{3}=6.66$$

گرد شده حاصل بالا برابر است با عدد ۷. پس از مرتب کردن داده‌ها هفتمین جایگاه یعنی عدد ۳٫۵ برابر خواهد شد با دومین ۳-چندک:

۵٫۲۵ - ۴ - ۳٫۹۹ - ۳٫۵ - ۳٫۴ - ۳٫۲۵ - ۳٫۱ - ۳ - ۲٫۹۹ - ۲٫۵

مسیر یادگیری کاربردهای آمار و احتمال با فرادرس

پس از اینکه توضیح دادیم چارک چیست و چگونه محاسبه می‌شود، تا حدودی با کاربردهای آن در مواردی مانند تشخیص میزان پراکندگی داده‌ها و چولگی توزیع آشنا شدیم. اگر تمایل دارید در زمینه کاربرد مفاهیم آمار و احتمال از جمله چارک، اطلاعات خود را گسترش دهید و به تسلط خوبی در این زمینه دست پیدا کنید، پیشنهاد ما این است که از مجموعه فیلم‌های آموزشی تهیه شده در فرادرس استفاده کنید.

در ادامه پس از معرفی چند آموزش‌ دانشگاهی پایه‌ای آمار و احتمال، برخی از کاربردی‌ترین دوره‌های فرادرس را به شما معرفی کرده‌ایم که در آن‌ها از مفاهیم آماری در زمینه یادگیری ماشین یا مدیریت و علوم انسانی استفاده شده است:

1. فیلم آموزش آمار و احتمال مهندسی جامع و با مثال های مختلف فرادرس
2. فیلم آموزش مبانی احتمال مرور و حل تست کنکور ارشد فرادرس
3. فیلم آموزش آمار و کاربرد آن در مدیریت ۱ فرادرس
4. فیلم آموزش رایگان درخت تصمیم در یادگیری ماشین فرادرس
5. فیلم آموزش رایگان رگرسیون لجستیک در یادگیری ماشین فرادرس
6. فیلم آموزش رایگان انواع داده در کامپیوتر فرادرس
7. فیلم آموزش یادگیری ماشین و پیاده سازی در پایتون Python بخش یکم فرادرس

به علاوه، می‌توانید فیلم‌ آموزشی نحوه کار با نرم‌افزارهای آماری مانند SPSS را نیز مشاهده کنید. همچنین می‌توانید از فیلم‌هایی که جهت شرکت در آزمون‌های مختلف برای شما تهیه شده است نیز استفاده کنید:

1. فیلم آموزش رایگان تابع Frequency در اکسل برای محاسبه فراوانی فرادرس
2. فیلم آموزش محاسبات آماری در اکسل Excel فرادرس
3. مجموعه آموزش اس پی اس اس SPSS – مقدماتی تا پیشرفته فرادرس
4. فیلم آموزش آمار مرور و حل سوالات آزمون های استخدامی فرادرس

جمع‌بندی

در این نوشته از مجله فرادرس یاد گرفتیم چارک چیست و چگونه محاسبه می‌شود. چارک یکی از مفاهیم آمار توصیفی است که تقسیم‌بندی مشاهدات به چهار گروه با فواصل تعریف شده را برای ما ممکن می‌سازد. سه نوع چارک داریم که چارک اول یا پایین، چارک دوم یا میانه و چارک سوم یا بالا نام دارند.

پیدا کردن چارک‌ها به این صورت است که اگر داده‌ها را به ترتیب از کمترین مقدار تا بیشترین مقدار مرتب کنیم، می‌توانیم چهار گروه ۲۵٪‌ای با فواصل برابر بسازیم که توسط سه عدد از هم جدا شده‌اند و این سه عدد همان چارک‌های اول تا سوم هستند. سه نوع چارک بین کمترین و بیشترین مقدار عددی در داد‌ه‌ها قرار می‌گیرند. یکی از بهترین راه‌های نمایش چارک‌ها به همراه این کمترین و بیشترین مقادیر، رسم نمودار جعبه‌ای داد‌ه‌ها است که در آن جعبه‌ها نشان‌دهنده چارک و خطوط بیان‌گر مقادیر کمینه و بیشینه هستند.