জ্যাকবি প্রতীক

গণিতজ্ঞ্ররা সংখ্যা তত্বে জ্যাকবি প্রতীক ব্যবহার করে থাকেন। জার্মান গণিতবিদ কার্ল গুস্তাভ জ্যাকব জ্যাকবির নামে এর নামকরণ করা হয়েছে।

সংজ্ঞাঃ

ধরা যাক, n>0 একটি বিজোড় সংখ্যা এবং $p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}$ হল n এর মৌলিক উৎপাদক রূপ। তাহলে যেকোন পূর্ণ সংখ্যা a এর জন্য জ্যাকবি প্রতীককে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়,

$\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{\alpha _{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{\alpha _{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{k}}}\right)^{\alpha _{k}}$

জ্যাকবি প্রতীকের বৈশিষ্ট্য

1. n যদি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে জ্যাকবি প্রতীক, লিজেন্ড্রি প্রতীক এ পরিণত হয়।

1. $\left({\frac {a}{n}}\right)\in \{0,1,-1\}$
2. $\left({\frac {a}{n}}\right)=0$ যদি $\gcd(a,n)\neq 1$
3. $\left({\frac {ab}{n}}\right)={\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}\left({\frac {b}{n}}\right)$
4. যদি a ≡ b (mod n) হয়, তাহলে ${\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {b}{n}}\right)$
5. $\left({\frac {1}{n}}\right)=1$
6. $\left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{(n-1)/2}$ = 1 if n ≡ 1 (mod 4), এবং −1 if n ≡ 3 (mod 4)
7. $\left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{(n^{2}-1)/8}$ = 1 if n ≡ 1 or 7 (mod 8), এবং −1 যদি n ≡ 3 or 5 (mod 8)
8. $\left({\frac {m}{n}}\right)=\left({\frac {n}{m}}\right)(-1)^{(m-1)(n-1)/4}$