Abelova teorema

Za Abelov teorem o algebarskim krivima, pogledajte članak Abel-Jacobijeva mapa

Za Abelob teorem o nerješivosti jednačine petog stepena sa radikalima, pogledajte članak Abel-Ruffinijev teorem

U matematici, Abelov teorem za potencijalne redove dovodi u vezu graničnu vrijednost potencijalnog reda sa sumom njegovih koeficijenata. Teorem je dobio naziv po norveškom matematičaru Nielsu Henriku Abelu.

Teorem

Neka a = {a_k: k ≥ 0} bude bilo koji red realnih ili kompleksnih brojeva i neka

$G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}\!$

bude potencijalni red sa koeficijentima a. Pretpostavimo da red $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\!$ konvergira. Tada je

$\lim _{z\rightarrow 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}.\qquad (*)\!$

U specijalnom slučaju gdje su svi koeficijenti a_i realni, te gdje je a_k ≥ 0 za sve k, tada gornja formula $(*)$ vrijedi i ikada red $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\!$ ne konvergira. Na primjer, u tom slučaju obje strane formule jednaku su +∞.

Napomena

U općenitijoj verziji ovog teorema, ako je r bilo koji realni broj različit od nule za koji red $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}r^{k}\!$ konvergira, tada vrijedi da

$\lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}r^{k}\!$

s tim da graničnu vrijednost u ovoj formuli posmatramo kao jednostranu graničnu vrijednost, sa lijeve strane ako je r pozitivan, te sa desne, ako je r negativan.

Primjene

Korisnost Abelovog teorema je ta da nam dozvoljava da pronađeno graničnu vrijednost potencijalnog reda kako njegov argument (npr. z) teži ka 1 odozdo, čak i u slučajevima gdje je radijus konvergencije, R, potencijalnog reda jednak 1, kada ne možemo biti sigurni da li granična vrijednost treba biti određena ili ne. Pogledajte primjer: Binomni red.

G_a(z) se naziva generativna funkcija niza a. Abelov teorem je često koristan za rad sa generativnim funkcijama realnih vrijednosti i nenegativnih nizova, kao što su generativne funkcije vjerovatnoće. Posebno je korisna u teroiji Galton-Watsonovih procesa.

Slični koncepti

Suprotni teoremi od Abelovog nazivaju se Tauberijski teoremi: ne postoji tačna suprotnost, nego samo rezultati koji zavise od nekih hipoteza. Polje divergentnih redova i metoda njihovih sabiranja, sadrži mnogo teorema abelijskog i tauberijskog tipa.