Unió: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió de 14:13, 28 jul 2024

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$ .^[1]^[2]^[3]

Per exemple:

Donat

A=\{a,e,i,s\}

i

B=\{a,e,f,h\}

, si definim $C=A\cup B$ , llavors

C=\{a,e,i,s,f,h\}

. $C=A\cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.^[4]

A\cup A=A

Element neutre

El conjunt buit $\emptyset$ és l'element neutre de la unió.

A\cup \emptyset =A

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.^[5]

A\cup B=B\cup A

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt $A$ i el seu complementari ${\overline {A}}$ , respecte d'un conjunt $R$ , $R$ és el conjunt unió de $A$ i ${\overline {A}}$ .

A\cup {\overline {A}}=R

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que

A\supset B

(A inclou B), llavors

A\cup B=A

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)

...

També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)

...

Referències

↑ «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ pensante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

Vegeu també

Teoria de conjunts

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Unió

Union of Sets. Math Goodies (anglès)

Viccionari

[1] «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].

[2] «Union». [Consulta: 18 gener 2022].

[3] sante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].

[4] «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].

[5] «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
 {{polisèmia}}
+[[Fitxer:SetUnion.svg|miniatura|Unió de dos conjunts A i B]]
 La '''unió''' és una [[Operació matemàtica|operació]] entre [[conjunt|conjunts]]. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat '''conjunt unió''' o '''conjunt reunió''', format pels [[Element (matemàtiques)|elements]] que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el [[símbol]] <math>\cup</math>.<ref>{{Ref-web|títol=Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/union.html|consulta=2022-01-18}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Union|url=https://www.math.net/union|consulta=2022-01-18}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante|url=https://elpensante.com/operacion-de-union-algebra-de-conjuntos/|consulta=2022-01-18|llengua=es|nom=El|cognom=pensante}}</ref>
 :''Per exemple:''
-:''Donat A={a,e,i,s} i B={a,e,f,h}, si definim <math>C=A\cup B</math>, llavors C={a,e,i,s,f,h}. <math>C=A\cup B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.''
+:''Donat'' <math>A=\{a,e,i,s\}</math> ''i'' <math>B=\{a,e,f,h\}</math>'', si definim <math>C=A\cup B</math>, llavors'' <math>C=\{a,e,i,s,f,h\}</math>''. <math>C=A\cup B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.''
 == Propietats de la unió ==
@@ Línia 13: / Línia 14: @@
 === Element neutre ===
-El [[conjunt buit]] <math>\phi \ </math> és l'[[element neutre]] de la unió.
+El [[conjunt buit]] <math>\emptyset </math> és l'[[element neutre]] de la unió.
-:<math>A\cup \phi =A</math>
+:<math>A\cup \emptyset =A</math>
 === Propietat commutativa ===
@@ Línia 25: / Línia 26: @@
 El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la [[jerarquia]] amb què es facin les unions.
-:<math>A\cup B \cup C=(A\cup B )\cup C=A\cup (B \cup C)</math>
+:<math>A\cup B \cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B \cup C)</math>
 === Unió de complementaris ===
@@ Línia 42: / Línia 43: @@
 * La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:
-:<math>A \cup ( B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)</math> ...
+:<math>A \cup (B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)</math> ...
 * També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:
-:<math>A \cap ( B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)</math> ...
+:<math>A \cap (B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)</math> ...
 == Referències ==
@@ Línia 60: / Línia 61: @@
 {{Viccionari-lateral|unió}}
-{{ORDENA:Unio}}	<!--ORDENA generat per bot-->
+{{ORDENA:Unio}}
 [[Categoria:Teoria de conjunts]]