Unió: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió de 14:13, 28 jul 2024

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$ .^[1]^[2]^[3]

Per exemple:

Donat

A=\{a,e,i,s\}

i

B=\{a,e,f,h\}

, si definim $C=A\cup B$ , llavors

C=\{a,e,i,s,f,h\}

. $C=A\cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.^[4]

A\cup A=A

Element neutre

El conjunt buit $\emptyset$ és l'element neutre de la unió.

A\cup \emptyset =A

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.^[5]

A\cup B=B\cup A

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt $A$ i el seu complementari ${\overline {A}}$ , respecte d'un conjunt $R$ , $R$ és el conjunt unió de $A$ i ${\overline {A}}$ .

A\cup {\overline {A}}=R

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que

A\supset B

(A inclou B), llavors

A\cup B=A

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)

...

També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)

...

Referències

↑ «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union». [Consulta: 18 gener 2022].
↑ pensante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].
↑ «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

Vegeu també

Teoria de conjunts

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Unió

Union of Sets. Math Goodies (anglès)

Viccionari

[1] «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].

[2] «Union». [Consulta: 18 gener 2022].

[3] sante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].

[4] «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].

[5] «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
 {{polisèmia}}
+[[Fitxer:SetUnion.svg|miniatura|Unió de dos conjunts A i B]]
-La '''unió''' és una operació entre [[conjunt|conjunts]]. Aquesta operació crea un conjunt, anomenat '''conjunt unió''', al qual pertanyen tots els elements que pertanyen a qualsevol dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol <math>\cup</math>.
+La '''unió''' és una [[Operació matemàtica|operació]] entre [[conjunt|conjunts]]. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat '''conjunt unió''' o '''conjunt reunió''', format pels [[Element (matemàtiques)|elements]] que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el [[símbol]] <math>\cup</math>.<ref>{{Ref-web|títol=Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/union.html|consulta=2022-01-18}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Union|url=https://www.math.net/union|consulta=2022-01-18}}</ref><ref>{{Ref-web|títol=Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante|url=https://elpensante.com/operacion-de-union-algebra-de-conjuntos/|consulta=2022-01-18|llengua=es|nom=El|cognom=pensante}}</ref>
 :''Per exemple:''
-:''Donat A={a,e,i,s} i B={a,e,f,h}, si definim <math>C=A\cup B</math>, llavors C={a,e,i,s,f,h}. <math>C=A\cup B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.''
+:''Donat'' <math>A=\{a,e,i,s\}</math> ''i'' <math>B=\{a,e,f,h\}</math>'', si definim <math>C=A\cup B</math>, llavors'' <math>C=\{a,e,i,s,f,h\}</math>''. <math>C=A\cup B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.''
-==Propietats de la unió==
+== Propietats de la unió ==
-===Propietat idempotent===
+=== Propietat idempotent ===
-Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.
+Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.<ref>{{Ref-web|títol=Union of sets – Definition and Examples|url=https://www.storyofmathematics.com/union-of-sets|consulta=2022-01-18|llengua=en-US}}</ref>
 :<math>A\cup A=A</math>
-===Element neutre===
+=== Element neutre ===
-El conjunt buit <math>\phi \ </math> és l'[[element neutre]] de la unió.
+El [[conjunt buit]] <math>\emptyset </math> és l'[[element neutre]] de la unió.
-:<math>A\cup \phi =A</math>
+:<math>A\cup \emptyset =A</math>
-===Propietat commutativa===
+=== Propietat commutativa ===
-El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb que s'uneixen els conjunts.
+El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.<ref>{{Ref-web|títol=What Is a Union in Mathematics?|url=https://www.thoughtco.com/what-is-the-union-3126595|consulta=2022-01-18|llengua=en}}</ref>
 :<math>A\cup B=B \cup A</math>
-===Propietat associativa===
+=== Propietat associativa ===
-El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb que es facin les unions.
+El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la [[jerarquia]] amb què es facin les unions.
-:<math>A\cup B \cup C=(A\cup B )\cup C=A\cup (B \cup C)</math>
+:<math>A\cup B \cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B \cup C)</math>
-===Unió de complementaris===
+=== Unió de complementaris ===
-Si tenim un conjunt A i el seu [[complementari]] <math>\overline{A}</math>, respecte d'un conjunt R, R és el conjunt unió de A i <math>\overline{A}</math>.
+Si tenim un conjunt <math>A</math> i el seu [[complementari]] <math>\overline{A}</math>, respecte d'un conjunt <math>R</math>, <math>R</math> és el conjunt unió de <math>A</math> i <math>\overline{A}</math>.
 :<math>A \cup \overline{A} = R</math>
-===Unió de subconjunts===
+=== Unió de subconjunts ===
 Si unim un conjunt A amb un [[subconjunt]] B, el conjunt unió és A.
-: Si tenim els conjunts A i B tal que <math>A\supset B</math> (A [[inclusió|inclou]] B), llavors <math>A \cup B=A</math>
+: Si tenim els conjunts A i B tal que <math>A\supset B</math> (A [[inclusió (matemàtiques)|inclou]] B), llavors <math>A \cup B=A</math>
-==Relacions entre la unió i la intersecció: Propietat distributiva==
+== Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva ==
+La unió i la [[intersecció]] es poden relacionar mitjançant la [[propietat distributiva]]. Existeixen dues possibles versions d'aquesta [[Propietat (ontologia)|propietat]].
-La unió i la [[intersecció]] es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.
 * La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:
-:<math>A \cup ( B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)</math> ...
+:<math>A \cup (B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)</math> ...
 * També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:
-:<math>A \cap ( B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)</math> ...
+:<math>A \cap (B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)</math> ...
+== Referències ==
-[[Categoria:Teoria de conjunts]]
+{{Referències}}
+== Vegeu també ==
-[[am:ውህድ ስብስብ]]
+* [[Teoria de conjunts]]
-[[ar:اجتماع (نظرية المجموعات)]]
-[[be:Аб'яднанне мностваў]]
+== Enllaços externs ==
-[[be-x-old:Аб'яднаньне мностваў]]
+{{Commonscat}}
-[[bg:Обединение (теория на множествата)]]
+* [https://www.mathgoodies.com/lessons/sets/union Union of Sets]. Math Goodies {{en}}
-[[cs:Sjednocení]]
-[[de:Mengenlehre#Vereinigungsmenge]]
+{{Viccionari-lateral|unió}}
-[[el:Ένωση συνόλων]]
-[[en:Union (set theory)]]
+{{ORDENA:Unio}}
-[[eo:Kunaĵo]]
-[[es:Unión de conjuntos]]
+[[Categoria:Teoria de conjunts]]
-[[et:Ühend (matemaatika)]]
-[[fa:اجتماع (مجموعه)]]
-[[fi:Yhdiste (matematiikka)]]
-[[fiu-vro:Hulkõ kogo]]
-[[fr:Union (mathématiques)]]
-[[he:איחוד (מתמטיקה)]]
-[[hu:Unió (halmazelmélet)]]
-[[id:Gabungan (teori himpunan)]]
-[[is:Sammengi]]
-[[it:Unione (insiemistica)]]
-[[ja:和集合]]
-[[ko:합집합]]
-[[nah:Tlacetīliztli (tlapōhualmatiliztli)]]
-[[nl:Vereniging (verzamelingenleer)]]
-[[nn:Union i matematikk]]
-[[no:Union (mengdelære)]]
-[[pl:Suma zbiorów]]
-[[pms:Union]]
-[[pt:União (matemática)]]
-[[ru:Объединение множеств]]
-[[sk:Zjednotenie (matematika)]]
-[[sl:Unija množic]]
-[[sv:Union (matematik)]]
-[[ta:சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)]]
-[[th:ยูเนียน]]
-[[uk:Об'єднання множин]]
-[[vi:Phép hợp]]
-[[xal:Ниилвр]]
-[[zh:并集]]
-[[zh-classical:並集]]