−1: diferència entre les revisions

−1
Tipus	enter negatiu, nombre enter i nombre senar
Propietats
Valor	−1
Altres numeracions
Fórmules
	10px

Exploració interactiva de l'historial

← Edició anterior

Contingut suprimit Contingut afegit

VisualWikitext

En línia

Revisió de 20:21, 22 set 2024

En matemàtiques, −1 (menys u) és un nombre enter negatiu, que va entre menys dos (-2) i zero (0). La seva representació binària pot ser −1 o 11...11 (en funció del format i del nombre de bits utilitzats per a representar nombres enters), la representació octal pot ser −1 o 77..77 (ídem) i l'hexadecimal pot ser −1 o FF..FF (ídem). La seva factorització en nombres primers és 1 × −1 = −1. És l'additiu invers d'1, és a dir, el nombre que, en sumar-li 1, dona 0. També forma part de la famosa identitat d'Euler:

$e^{i\pi }=-1$

Els negatius tenen algunes propietats similars però lleugerament diferents a les propietats dels nombres enters positius. Els negatius serien un multiplicador d'identitat si no fos pel canvi de signe:

(-1)\cdot x=-x

L'arrel quadrada d'un nombre negatiu N és la mateixa que la del nombre positiu però en el pla complex. És a dir:

{\sqrt {-N}}={\sqrt {N\cdot -1}}={\sqrt {N}}\cdot i

En informàtica, −1 de vegades és usat en alguns llenguatges de programació per a representar un valor inicial per a enters i també es pot utilitzar per a inicialitzar una variable que no conté cap informació útil si, per exemple, s'està cercant un valor d'una llista de nombres positius.

Ocurrències del nombre menys u:

Designa l'any 2 aC.

Propietats matemàtiques

És l'invers de l'addició del nombre 1, és a dir, el nombre que, quan se li suma a 1, dona 0.
Té algunes propietats simliars però lleugerament differents a les propietats positives (de l'U (nombre)u); seria un multiplicador d'identitat si no fos per un canvi de signe: (−1) · x = −x.
En el context de nombres imaginaris, i^2 és igual a −1, on i és la unitat imaginària.
El nombre −1 està present en la identitat d'Euler: $e^{i\pi }=-1\,\!$ .
És, en informàtica, un valor inicial per a enters en alguns llenguatges; també s'utilitza per mostrar una variable que no conté cap informació útil.

Arrels quadrades de −1

Tot i que no hi ha cap arrel quadrada real de −1, el nombre complex $i$ satisfà $i 2 = -1$ , i com a tal es pot considerar una arrel quadrada de −1.^[1] L'únic altre nombre complex el quadrat del qual és −1 és − $i$ ja que tot nombre complex diferent de zero té exactament dues arrels quadrades, tal com estableix el teorema fonamental de l'àlgebra. En l'àlgebra dels quaternions – on el teorema fonamental no aplica – que conté els nombres complexos, l'equació $x 2 = -1$ té infinites solucions.^[2]^[3]

Referències

↑ Bauer, Cameron. «Chapter 13: Complex Numbers». A: Algebra for Athletes. 2nd. Hauppauge: Nova Science Publishers, 2007, p. 273. ISBN 978-1-60021-925-2. OCLC 957126114.
↑ Perlis, Sam. «Capsule 77: Quaternions». A: Historical Topics in Algebra. 31. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1971, p. 39 (Historical Topics for the Mathematical Classroom). ISBN 9780873530583. OCLC 195566.
↑ Porteous, Ian R. «Chapter 8: Quaternions». A: Clifford Algebras and the Classical Groups. 50. Cambridge: Cambridge University Press, 1995, p. 60 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). DOI 10.1017/CBO9780511470912.009. ISBN 9780521551779. OCLC 32348823.

[imaginary-1] Bauer, Cameron. «Chapter 13: Complex Numbers». A: Algebra for Athletes. 2nd. Hauppauge: Nova Science Publishers, 2007, p. 273. ISBN 978-1-60021-925-2. OCLC 957126114.

[2] Perlis, Sam. «Capsule 77: Quaternions». A: Historical Topics in Algebra. 31. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1971, p. 39 (Historical Topics for the Mathematical Classroom). ISBN 9780873530583. OCLC 195566.

[3] Porteous, Ian R. «Chapter 8: Quaternions». A: Clifford Algebras and the Classical Groups. 50. Cambridge: Cambridge University Press, 1995, p. 60 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). DOI 10.1017/CBO9780511470912.009. ISBN 9780521551779. OCLC 32348823.

[1]

[2]

[3]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
+{{Falten referències|data=2017}}
-[[Fitxer:Número-1.gif|thumb|Menys u]]
+{{vegeu|el nombre|1 aC}}
-En [[matemàtiques]], '''−1'qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee----------------------1111111111111111111111111rior a [[Nombre -2|menys dos]] i inferior de [[zero]]. En la [[numeració romana]] és '''−I'''. La seva [[representació binària]] pot ser −1 o 1111111111111, la [[representació octal]] pot ser −1 o 7777777 i l'[[representació hexadecimal|hexadecimal]] pot ser −1 o FFFFFF. La seva [[factorització en nombres primers]] és 1 × −1 = −1. Es l'[[additiu invers]] d'[[U (nombre)|1]], és a dir, el nombre que, en sumar-li 1, dóna 0.
+{{Infotaula nombre
+| factoritzacio = No
+| expressio_algebraica = No
+| hexadecimal = No
+| binari = No
+}}
+En [[matemàtiques]], '''−1''' ('''menys u''') és un [[nombre enter]] [[negatiu]], que va entre [[Nombre -2|menys dos]] (-2) i [[zero]] (0). La seva [[representació binària]] pot ser −1 o 11...11 (en funció del format i del nombre de bits utilitzats per a representar nombres enters), la [[representació octal]] pot ser −1 o 77..77 (ídem) i l'[[representació hexadecimal|hexadecimal]] pot ser −1 o FF..FF (ídem). La seva [[factorització en nombres primers]] és 1 × −1 = −1. És l'[[additiu invers]] d'[[U (nombre)|1]], és a dir, el nombre que, en sumar-li 1, dona 0. També forma part de la famosa [[identitat d'Euler]]:
+<math>e^{i \pi} = -1</math>
-Els negatius tenen algunes propietats similars però lleugerament diferents a les propietats positives ([[U (nombre)|u]]). Els negatius serien un multiplicador d'identitat si no fos pel signe del canvi:
+Els negatius tenen algunes propietats similars però lleugerament diferents a les propietats dels nombres enters positius. Els negatius serien un multiplicador d'identitat si no fos pel canvi de signe:
 :<math>(-1) \cdot x = -x</math>
-L'[[arrel quadrada]] d'un nombre negatiu és la del nombre positiu però [[complex]]. És a dir:
+L'[[arrel quadrada]] d'un nombre negatiu N és la mateixa que la del nombre positiu però en el pla [[complex]]. És a dir:
-:<math>\sqrt-1 = 1i</math>
+:<math>\sqrt{-N} = \sqrt{N \cdot -1} = \sqrt{N} \cdot i</math>
-En [[informàtica]], '''−1''' es un valor inicial per a enters i també s'utilitza per a mostrar una variable que no conté cap informació útil.
+En [[informàtica]], '''−1''' de vegades és usat en alguns llenguatges de programació per a representar un valor inicial per a enters i també es pot utilitzar per a inicialitzar una variable que no conté cap informació útil si, per exemple, s'està cercant un valor d'una llista de nombres positius.
-Ocurrències del menys u:
+Ocurrències del nombre menys u:
-* Designa l'any [[2 aC]].
+* Designa l'any [[2 aC]].
+== Propietats matemàtiques ==
-[[Categoria:Nombres enters]]
+* És l'[[Oposat (matemàtiques)|invers de l'addició]] del nombre [[U (nombre)|1]], és a dir, el nombre que, quan se li suma a 1, dona 0.
+* Té algunes propietats simliars però lleugerament differents a les propietats positives (de l'[[U (nombre)u]]); seria un multiplicador d'identitat si no fos per un canvi de signe: (−1) · x = −x.
+* En el context de [[nombre imaginari|nombres imaginaris]], i^2 és igual a −1, on i és la unitat imaginària.
+* El nombre −1 està present en la [[identitat d'Euler]]: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>.
+* És, en [[informàtica]], un valor inicial per a enters en alguns llenguatges; també s'utilitza per mostrar una variable que no conté cap informació útil.
+=== Arrels quadrades de −1 ===
-[[ar:-1 (عدد)]]
+Tot i que no hi ha cap arrel quadrada [[nombre real|real]] de −1, el [[nombre complex]] {{mvar|[[Unitat imaginària|i]]}} satisfà {{Math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}, i com a tal es pot considerar una [[arrel quadrada]] de −1.<ref name="imaginary">{{Cite book |last=Bauer |first=Cameron |year=2007 |chapter=Chapter 13: Complex Numbers |title=Algebra for Athletes |edition=2nd |publisher=[[Nova Science Publishers]] |location=Hauppauge |page=273 |chapter-url=https://books.google.cat/books?id=GmB1cSGHbZcC&pg=PA273 |isbn=978-1-60021-925-2 |oclc=957126114 }}</ref> L'únic altre nombre complex el quadrat del qual és −1 és −{{Mvar|i}} ja que tot nombre complex diferent de zero té exactament dues arrels quadrades, tal com estableix el [[teorema fonamental de l'àlgebra]]. En l'àlgebra dels [[quaternió|quaternions]] – on el teorema fonamental no aplica – que conté els nombres complexos, l'equació {{Math|''x''<sup>2</sup> {{=}} −1}} té infinites solucions.<ref>{{Cite book |last=Perlis |first=Sam |chapter=Capsule 77: Quaternions |title=Historical Topics in Algebra |chapter-url=https://archive.org/details/historicaltopics0000nati/page/38/mode/2up |chapter-url-access=registration |publisher=[[National Council of Teachers of Mathematics]] |location=Reston, VA |series=Historical Topics for the Mathematical Classroom |volume=31 |year=1971 |page=39 |isbn=9780873530583 |oclc=195566 }}</ref><ref>{{Cite book |last=Porteous |first=Ian R. |author-link=Ian R. Porteous |chapter=Chapter 8: Quaternions |url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/porteous3.pdf |title=Clifford Algebras and the Classical Groups |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |volume=50 |pages=60 |year=1995 |doi=10.1017/CBO9780511470912.009 |isbn=9780521551779 |oclc=32348823 |mr=1369094 }}</ref>
-[[be:-1]]
-[[be-x-old:−1 (лік)]]
+== Referències ==
-[[de:Minus eins]]
+{{Referències}}
-[[en:−1 (number)]]
-[[es:Menos uno]]
+[[Categoria:Nombres enters]]
-[[fa:۱- (عدد)]]
-[[fi:−1 (luku)]]
-[[fr:−1 (nombre)]]
-[[he:−1]]
-[[it:-1]]
-[[ja:−1]]
-[[ko:−1]]
-[[pl:−1 (liczba)]]
-[[pt:Menos um]]
-[[ro:−1 (număr)]]
-[[ru:−1 (число)]]
-[[simple:−1 (number)]]
-[[sl:−1 (število)]]
-[[sv:−1 (tal)]]
-[[ta:-1 (எண்)]]
-[[tr:−1 (sayı)]]
-[[uk:-1 (число)]]
-[[vi:−1]]
-[[zh:−1]]