Unió

Per a altres significats, vegeu «Unió (desambiguació)».

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea un conjunt, anomenat conjunt unió, al qual pertanyen tots els elements que pertanyen a qualsevol dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol $\cup$.

Per exemple:

Donat A={a,e,i,s} i B={a,e,f,h}, si definim $C=A\cup B$, llavors C={a,e,i,s,f,h}. $C=A\cup B$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.

$A\cup A=A$

Element neutre

El conjunt buit $\phi \$ és l'element neutre de la unió.

$A\cup \phi =A$

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb que s'uneixen els conjunts.

$A\cup B=B\cup A$

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb que es facin les unions.

$A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt A i el seu complementari ${\overline {A}}$, respecte d'un conjunt R, R és el conjunt unió de A i ${\overline {A}}$.

$A\cup {\overline {A}}=R$

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que $A\supset B$ (A inclou B), llavors $A\cup B=A$

Relacions entre la unió i la intersecció: Propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

$A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

$A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)$ ...