Punt d'inflexió

En càlcul diferencial, un punt d'inflexió és un punt d'una curva on aquesta canvia de forma, és a dir, passa de ser còncava a ser convexa o viceversa. Des d'un punt de vista de la segona derivada, un punt d'inflexió compleix que $\,f''(x)=0$ o bé no existeix. A més, en un punt d'inflexió la recta tangent talla la gràfica.

Definicions

Aquí presentarem tres definicions de punt d'inflexió. Una primera definició podria ser:

Són aquells punts d'una corba on la segona derivada canvia de signe.

O el que és equivalent:

Un punt $\,(x,y)$ d'una funció $\,f(x)$ on la primera derivada $\,f'(x)$ es troba en un extrem.

I finalment:

Són aquells punts d'una corba on la recta tangent talla la gràfica.

Trobar punts d'inflexió

Per trobar els punts d'inflexió podem seguir dos mètodes diferents. El primer és més general, però més laboriós, mentre que el segon és menys general però en certes classes de funcions pot ser més simple.

Primer mètode

Trobar punts d'inflexió consisteix en trobar aquells valors de $\,x$ pels quals la funció canvia de forma, és a dir, pels que la segona derivada canvia de signe. Això només pot passar en punts que es troben fora del domini, en punts on la segona derivada val zero i en punts on la segona derivada no existeix. Un cop hem trobat tots aquests punts, hem d'estudiar la forma de la funció en els intervals que es formen. Per tant, el procediment que hem de seguir és el següent:

Trobar el domini de la funció.
Trobar els valors de la segona derivada pels quals aquesta s'anul·la, és a dir, en que $\,f''(x)=0$ .
Trobar els punts de no derivabilitat de la segona derivada.
Estudiar el signe de la segona derivada en cadascun dels intervals.

Exemple 1

Suposem que volem trobar els punts d'inflexió de la funció $\,f(x)=|x^{3}-7x-6|$ . Seguirem el procediment explicat anteriorment.

El domini de la funció és $D=\mathbb {R}$ .
Per trobar la funció derivada de segon ordre, hem de definir la funció a talls. És a dir:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}-x^{3}+7x+6&\mathrm {si} &x\in (-\infty ,-2)\cup (-1,3)\\x^{3}-7x-6&\mathrm {si} &x\in (-2,-1)\cup (3,+\infty )\end{matrix}}\right.\quad \Rightarrow \quad f''(x)=\left\{{\begin{matrix}-6x&\mathrm {si} &x\in (-\infty ,-2)\cup (-1,3)\\6x&\mathrm {si} &x\in (-2,-1)\cup (3,+\infty )\end{matrix}}\right.$

Ara, veiem que per

\,x=0

la segona derivada s'anul·la.

Fixem-nos que en els punts de canvi de definició la funció no és derivable en primer ordre, i per tant tampoc en segon ordre. Aquest punts també hauran de ser tinguts en compte.
Fem intervals per estudiar la forma, i comprovem el signe de la segona derivada:

${\begin{matrix}&(-\infty ,-2)&&+\\&(-2,-1)&&-\\&(-1,0)&f''(x)\rightarrow &+\\&(0,3)&&-\\&(3,+\infty )&&+\end{matrix}}$

Com veiem hi ha punts d'inflexió a

x=-2,-1,0\;\mathrm {i} \;3\,

, ja que en tots ells es produeix un canvi de signe de la segona derivada, és a dir, un canvi de forma a la funció.

Segon mètode

Aquest mètode només és aplicable en funcions on les successives derivades existeixin en tot el domini. A més a més, és poc pràctic si trobar la tercera derivada és complicat.

El procediment es basa en el fet que, considerant els punts on la segona derivada s'anul·la, si la tercera derivada és positiva significa que a la primera derivada hi ha un mínim, i si la tercera derivada és negativa, a la primera hi ha un màxim. Els problemes d'aquest mètode apareixen quan la tercera derivada és igual a zero, ja que llavors sabrem si hi ha un extrem en funció de la quarta derivada, i si aquesta també valgués zero, en la cinquena, i així successivament.

El resum del mètode és el següent:

Trobar la segona derivada $\,f''(x)$ i igualar-la a zero.
Trobar la tercera derivada i estudiar el signe de la funció en introduir-hi els valor que hem trobat anteriorment. El criteri per determinar si hi ha punt d'inflexió és el següent:

Si $\,f'''(x)>0$ , llavors a la primera derivada hi ha un mínim. És a dir, que la funció inicial passa de ser convexa a ser còncava en aquest punt.
Si $\,f'''(x)<0$ , llavors a la primera derivada hi ha un màxim. És a dir, que la funció inicial passa de ser còncava a ser convexa.
Si $\,f'''(x)=0$ , s'han d'anar buscant les successives derivades fins a arribar a una en que s'obtingui un valor diferent de zero. Depenent de l'ordre d'aquesta derivada, el punt serà d'inflexió o no:

Si $f^{(n)}\neq 0,n={\dot {2}}$ ,^[1] llavors no es tracta d'un punt d'inflexió.
Si $f^{(n)}\neq 0,n\neq {\dot {2}}$ , llavors si que es tracta d'un punt d'inflexió.

Exemple 2

Suposem que volem trobar els punts d'inflexió de la següent funció: $\,f(x)=x^{4}-2x^{3}-72x^{2}+4x-5$ . Llavors, la segona i la tercera derivades són:

$\,f''(x)=12x^{2}-12x-72\quad \rightarrow \quad f'''(x)=24x-12$

Els valors pels quals la segona derivada s'anul·la són $\,x=3,\;x=-2$ . Introduint-los a la tercera derivada obtenim

${\begin{aligned}&f'''(-2)=-60\rightarrow \mathrm {Punt\;d'inflexi{\acute {o}}:C{\grave {o}}ncava\to Convexa} \\&f'''(3)=60\rightarrow \mathrm {Punt\;d'inflexi{\acute {o}}:Convexa\to C{\grave {o}}ncava} \end{aligned}}$