Rektifikace kružnice

Rektifikace kružnice je jeden ze známých matematických problémů starověku (společně s kvadraturou kruhu, trisekcí úhlu a zdvojením krychle). Je to úloha matematicky ekvivalentní ke kvadratuře kruhu. Úkolem je sestrojit ke kružnici úsečku o stejné délce (tedy obvod kruhu se bude rovnat délce úsečky) pomocí tzv. eukleidovské konstrukce, tedy pouze pravítkem a kružítkem.

K úplnému důkazu o nemožnosti řešení těchto matematických problémů se dospělo až v 18. a 19. století zásluhou francouzských a německých matematiků (Pierre Laurenta Wantzela, Johanna Heinricha Lamberta a Ferdinanda Lindemanna).

Ekvivalence s kvadraturou kruhu

Problém rektifikace kružnice je problém totožný ke kvadratuře kruhu (narýsování čtverce ke kruhu se stejným obsahem pomocí eukleidovské konstrukce), ačkoliv se tak k němu napříč historií nepřistupovalo.

Důvod, proč se jedná o ekvivalentní úlohu, je zřejmý:

Mějme kružnici o poloměru $r$. Taková kružnice má potom obvod $O$ a obsah $S$:

$O=2\pi r$

$S=\pi r^{2}$

Dosadíme-li z prvního vztahu do druhého, získáme rovnici:

$S={\frac {1}{2}}Or$

Z ní vyplývá, že obsah kruhu je stejný, jako obsah trojúhelníku o straně $O$ a výšce $r$. K takovému trojúhelníku lze ale narýsovat obdélník, potažmo čtverec o stejném obsahu – pomocí rektifikace kružnice se podařilo získat čtverec o stejném obsahu jako daná kružnice.

Konkrétní postupy

Přibližné postupy pro rektifikaci kružnice nebo její části se v matematice (a především v technickém kreslení) často používají. Vzdálenosti jsou ovšem samozřejmě zkreslené, v konkrétních případech ale mohou být tyto metody poměrně přesné. Pro oba dva následující příklady platí, že zobrazená délka je vždy kratší než skutečná délka kružnice, resp. oblouku.

Kochaňského rektifikace

Podrobnější informace naleznete v článku Kochaňského konstrukce.

Tato rektifikace, pojmenovaná podle polského matematika Adama Adamandy Kochańského, je konstrukce používaná pro narýsování úsečky o délce půlkružnice, popřípadě celé kružnice.

Kochaňského rektifikace. Červeně je vyznačena přenesená délka tučného oblouku. Délka je touto metodou samozřejmě zkreslená – je menší, než skutečná délka

Sobotkova rektifikace

Sobotkova rektifikace se používá pro rektifikaci kruhových oblouků, pro jejichž středový úhel platí, že $\varphi \lneq 60^{\circ }$. Je nazvána podle českého matematika Jana Sobotky.

Sobotkova rektifikace. Červeně je vyznačena přenesená délka tučného oblouku. Tato metoda se používá pro oblouky s menším středovým úhlem. Délka je touto metodou samozřejmě zkreslená – je menší, než skutečná délka

Odkazy

Související články

• Kochaňského konstrukce
• Eukleidovská konstrukce