Cyfres Taylor

Wrth i raddfa polynomial Taylor godi, mae'n dod yn nes ac yn nes at y ffwythiant cywir. Yn y diagram yma, gwelir fod: sin x a'i frasamcanion Taylor, polynomialau o radd 1, 3, 5, 7, 9, 11 a 13.

Mewn mathemateg, mae cyfres Taylor yn cynrychioli ffwythiant fel swm anfeidraidd o dermau a gyfrifir o werthoedd deilliannau'r ffwythiant (the function's derivatives) ar un pwynt.

Mae'r defnydd cyntaf o gyfres Taylor i'w ganfod yn India, yng ngwaith y mathemategydd Mādhava o Sangamagrāma (c. 1340 – c. 1425), gwaith sydd bellach ar goll. Dyfynnir llawer o'r gwaith gan fathemategwyr Indiaidd eraill, a gan Ysgol Seryddiaeth Kerala, a gwyddom iddo lunio rhywbeth agos iawn at yr hyn a adnabyddir heddiw fel "cyfres Taylor". Roedd ei ddefnydd o'r gyfres yn berthnasol i ffwythiannau trigonometrig sin, cosin, tangiad, a gwrthdangiad.

Lluniwyd y cysyniad modern o gyfres Taylor gan y mathemategydd Albanaidd James Gregory ond a gyflwynwyd yn ffurfiol gan y mathemategydd Saesneg Brook Taylor yn 1715. Os yw cyfres Taylor yn canolbwyntio ar sero, yna gelwir y gyfres honno hefyd yn "gyfres Maclaurin", a enwir ar ôl y mathemategydd Albanaidd Colin Maclaurin, a wnaeth ddefnydd helaeth o'r achos arbennig hwn o gyfres Taylor yn y 18g.

Diffiniad

Yng nghyfres Taylor, y ffwythiant (real a chymhlyg) f (x) sy'n ddifferol anfeidraidd (infinitely differentiable) ar rif real neu rif cymhlyg a yw'r gyfres isradd

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

a ellir ei sgwennu mewn ffurf mwy crynno (nodiant sigma) fel

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},$

lle mae n! yn dynodi ffactorial n a lle mae f⁽ⁿ⁾(a) yn dynodi'r nfed deilliant o f a werthuswyd ar bwynt a. Mae deilliant trefn sero f yn cael ei ddiffinio i fod yn f ei hun ac mae (x − a)⁰ a 0! ill dau yn cael eu diffinio i fod yn 1. Pan fo a = 0, yna gelwir y gyfres yn "gyfres Maclaurin".