„Gruppenhomomorphismus“ – Versionsunterschied
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Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das [[Neutrales Element|neutrale Element]] <math>e_G</math> von <math>G</math> auf das neutrale Element <math>e_H</math> von <math>H</math> abbildet:
: <math>\
\phi(e_G) &=& \phi(e_G) \star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& (\phi(e_G) \star \phi(e_G)) \star \phi(e_G)^{-1} & \text{Assoziativität}
\\&=& \phi(e_G * e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & e_G\text{ neutral}
\\&=& e_H & \text{Def. Inverses in } H.
\end{array}</math>
Weiterhin folgt, dass er [[Inverses Element|Inverse]]
: <math>\begin{array}{rcll}
\phi(g^{-1}) &=& \phi(g^{-1})\star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& \phi(g^{-1}*g) \star \phi(g)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(g)^{-1} & \text{Def. Inverses in } G
\\&=& e_H \star \phi(g)^{-1} & \phi \text { erhält das neutrale Element}
\\&=& \phi(g)^{-1} & e_H\text{ neutral.}
\end{array}
</math>
== Bild und Kern ==
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:<math>f(G)=\operatorname{Bild}(f)=\operatorname{im}(f)\colon=\left\{f(u) \mid u\in G \right\}</math>
Der [[Kern (
:<math>f^{-1}(e_H)=\operatorname{Kern}(f)=\operatorname{ker}(f)\colon = \left\{ u \in G \mid f(u) = e_H\right\}</math>
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== Beispiele ==
'''Triviale Beispiele'''
* Sind <math>G</math> und <math>H</math> beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung <math>h \colon G \to H</math>, die jedes Element auf das neutrale Element von <math>H</math> abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz <math>G</math>.▼
* Für jede Gruppe <math>G</math> ist die [[identische Abbildung]] <math>\operatorname{id} \colon G \to G,\ \operatorname{id}(x) = x</math>, ein [[Bijektivität|bijektiver]] Gruppenhomomorphismus.▼
* Ist <math>H</math> eine Untergruppe der Gruppe <math>G</math>, so ist die [[Inklusionsabbildung]] <math>i\colon H\hookrightarrow G</math> ein injektiver Gruppenhomomorphismus von <math>H</math> in <math>G</math>.
'''Nichttriviale Beispiele'''
* Betrachte die additive Gruppe <math>(\Z, +)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] und die [[Faktorgruppe]] <math>(\Z/3\Z, +) = \{0 + 3\Z, 1 + 3\Z, 2 + 3\Z\}</math>. Die Abbildung <math>p\colon \Z \to \Z/3\Z,\ p(z) = z \,\bmod\, 3 = z + 3\Z</math> (siehe [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenz]] und [[Restklassenring]]), ist ein Gruppenhomomorphismus. Er ist [[Surjektivität|surjektiv]] und sein Kern besteht aus der Menge <math>3\Z</math> aller durch 3 teilbaren ganzen Zahlen. Dieser Homomorphismus wird ''kanonische Projektion'' genannt.
* Die [[Exponentialfunktion]] ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen der additiven Gruppe <math>(\R, +)</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und der multiplikativen Gruppe <math>\left(\R^*, \cdot\right)</math> der reellen Zahlen ungleich 0, denn <math>\operatorname{exp}(x+y) = \operatorname{exp}(x)\cdot \operatorname{exp}(y)</math>. Diese Abbildung ist injektiv, und ihr Bild ist die Menge der positiven reellen Zahlen.
* Die komplexe Exponentialfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus zwischen den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\
* Die Abbildung, die jeder invertierbaren <math>n \times n</math>-Matrix ihre [[Determinante]] zuordnet, ist ein Homomorphismus <math>GL(n,\mathbb{R})\to (\mathbb{R},\, \cdot)</math>
▲* Sind <math>G</math> und <math>H</math> beliebige Gruppen, dann ist die Abbildung <math>h \colon G \to H</math>, die jedes Element auf das neutrale Element von <math>H</math> abbildet, ein Gruppenhomomorphismus. Sein Kern ist ganz <math>G</math>.
* Die Abbildung, die jeder Permutation ihr [[Vorzeichen (Permutation)|Vorzeichen]] zuordnet, ist ein Homomorphismus <math>S_n\to(\{\pm 1\},\, \cdot)</math>
▲* Für jede Gruppe <math>G</math> ist die [[identische Abbildung]] <math>\operatorname{id} \colon G \to G, \operatorname{id}(x) = x</math>, ein [[Bijektivität|bijektiver]] Gruppenhomomorphismus.
== Verkettung von Gruppenhomomorphismen ==
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*'''[[Isomorphismus]]''', wenn er [[Bijektivität|bijektiv]] ist.
Ist <math>h \colon G \to H</math> ein [[Gruppenisomorphismus]], dann ist auch seine [[Umkehrfunktion]] ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen <math>G</math> und <math>H</math> heißen dann zueinander ''isomorph'': Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.
Ist <math>h \colon G \to G</math> ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er [[Gruppenautomorphismus]] genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von <math>G</math> bildet mit der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] einen [[Monoid]]. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe <math>G</math> bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe <math>\operatorname{Aut}(G)</math> von <math>G</math>.
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== Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen ==
Sind
: <math>\left(h + k\right)\left(x\right) \colon = h\left(x\right)+ k\left(x\right)</math> für alle <math>x \in G</math>.
Die [[Kommutativgesetz|Kommutativität]] von
Die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe
Die Addition von Homomorphismen ist in folgendem Sinne verträglich mit der Komposition: Sind
: <math>\left(h + k\right)\circ f = \left(h \circ f\right) + \left(k \circ f\right)</math> und <math>g \circ\left(h + k\right) = \left(g \circ h\right) + \left(g \circ k\right)</math>.
Dies zeigt, dass die Endomorphismengruppe <math>End(
Zum Beispiel ist der Endomorphismenring der [[Kleinsche Vierergruppe|Kleinschen Vierergruppe]] isomorph zum [[Matrizenring|Ring der 2×2-Matrizen]] über dem [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>.
== Siehe auch ==
* [[Homomorphe Verschlüsselung]]
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Gerd Fischer, Boris Andre Michael Springborn |Titel=Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=19., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin [Heidelberg] |Datum=2020 |Reihe=Grundkurs Mathematik |ISBN=978-3-662-61644-4 }}
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
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