„Gruppenhomomorphismus“ – Versionsunterschied
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Aus dieser Definition folgt, dass ein Gruppenhomomorphismus das [[Neutrales Element|neutrale Element]] <math>e_G</math> von <math>G</math> auf das neutrale Element <math>e_H</math> von <math>H</math> abbildet:
: <math>\
\phi(e_G) &=& \phi(e_G) \star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& (\phi(e_G) \star \phi(e_G)) \star \phi(e_G)^{-1} & \text{Assoziativität}
\\&=& \phi(e_G * e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(e_G)^{-1} & e_G\text{ neutral}
\\&=& e_H & \text{Def. Inverses in } H.
\end{array}</math>
Weiterhin folgt, dass er [[Inverses Element|Inverse]]
: <math>\begin{array}{rcll}
\phi(g^{-1}) &=& \phi(g^{-1})\star e_H & e_H\text{ neutral}
\\&=& \phi(g^{-1}*g) \star \phi(g)^{-1} & \phi \text{ Homomorphismus}
\\&=& \phi(e_G) \star \phi(g)^{-1} & \text{Def. Inverses in } G
\\&=& e_H \star \phi(g)^{-1} & \phi \text { erhält das neutrale Element}
\\&=& \phi(g)^{-1} & e_H\text{ neutral.}
\end{array}
</math>
== Bild und Kern ==
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*'''[[Isomorphismus]]''', wenn er [[Bijektivität|bijektiv]] ist.
Ist <math>h \colon G \to H</math> ein [[Gruppenisomorphismus]], dann ist auch seine [[Umkehrfunktion]] ein Gruppenisomorphismus, die Gruppen <math>G</math> und <math>H</math> heißen dann zueinander ''isomorph'': Sie unterscheiden sich nur in der Bezeichnung ihrer Elemente und stimmen für fast alle Zwecke überein.
Ist <math>h \colon G \to G</math> ein Gruppenhomomorphismus einer Gruppe in sich selbst, dann heißt er Gruppenendomorphismus. Ist er darüber hinaus bijektiv, dann wird er [[Gruppenautomorphismus]] genannt. Die Menge aller Gruppenendomorphismen von <math>G</math> bildet mit der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] einen [[Monoid]]. Die Menge aller Gruppenautomorphismen einer Gruppe <math>G</math> bildet mit der Komposition eine Gruppe, die Automorphismengruppe <math>\operatorname{Aut}(G)</math> von <math>G</math>.
Zeile 86 ⟶ 96:
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=Gerd Fischer, Boris Andre Michael Springborn |Titel=Lineare Algebra: eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=19., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin [Heidelberg] |Datum=2020 |Reihe=Grundkurs Mathematik |ISBN=978-3-662-61644-4 }}
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
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