Assoziierte Elemente

Zwei Elemente $a,b$ eines Integritätsringes $R$ heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit $\epsilon$ mit $b=a\cdot \epsilon$ existiert. Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich $a$ und $b$ gegenseitig teilen, das heißt $a~|~b~|~a$ erfüllt ist. Man schreibt auch $a\sim b$, oder $a~{\hat {=}}~b$.

Eigenschaften

Assoziiertheit ist in jedem Integritätsring eine Äquivalenzrelation. Sie ist mit der Teilerrelation verträglich, das heißt für assoziierte Elemente $a,b$ sind die Teiler bzw. Vielfachen von $a$ genau die Teiler bzw. Vielfachen von $b$.

Beispiel

Im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen sind $a,b$ genau dann assoziiert, wenn $a=\pm b$ gilt.