„Faktorisierung“ – Versionsunterschied

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Eine '''Faktorisierung''' ist in der [[Mathematik]] die Zerlegung eines Objekts in mehrere [[Trivialität#Fachsprachliche Verwendung|nichttriviale]] Faktoren.
Eine '''Faktorisierung''' ist in der [[Mathematik]] die Zerlegung eines Objekts in mehrere [[Trivialität#Mathematik|nichttriviale]] [[Multiplikation|Faktoren]].


Anwendungsbeispiele:
Anwendungsbeispiele:
* Die stets eindeutige [[Primfaktorzerlegung]] einer natürlichen Zahl (vgl. die [[Faktorisierungsverfahren]] um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
* Die stets eindeutige [[Primfaktorzerlegung]] einer natürlichen Zahl (vgl. die [[Faktorisierungsverfahren]], um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch [[Ausklammern]] und die Anwendung [[Binomische Formel|binomischer Formeln]] faktorisieren.
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch [[Ausklammern]] und die Anwendung [[Binomische Formel|binomischer Formeln]] faktorisieren.
* [[Polynom|Polynome]] lassen sich [[Faktorisierung von Polynomen|faktorisieren]]. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
* [[Polynom]]e lassen sich [[Faktorisierung von Polynomen|faktorisieren]]. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
* Anwendung bei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]:
* Eine [[Matrix_%28Mathematik%29|Matrix]] kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung [[Lineares_Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] mittels [[LR-Zerlegung|Dreieckszerlegung]] (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem [[Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahrens]] gewonnen.
** Eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] mittels [[LR-Zerlegung|Dreieckszerlegung]] (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] gewonnen.
* Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der [[Numerik]] ist die [[QR-Zerlegung]], die normalerweise mittels [[Householdertransformation]]en oder [[Givens-Rotation]]en gewonnen werden kann.
** Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der [[Numerik]] ist die [[QR-Zerlegung]], die normalerweise mittels [[Householdertransformation]]en oder [[Givens-Rotation]]en gewonnen werden kann.
* Abstrakter versucht man die Elemente von [[Ring_%28Mathematik%29|Ringen]] in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix- können das auch [[Linearer_Operator|Operator]]-Ringe sein.
** In der [[Datenanalyse]] werden unter anderem die ''non negative matrix factorization'' und die ''binary matrix factorization'' betrachtet, um Matrizen in zwei [[Cluster (Datenanalyse)|Cluster-]] bzw. [[Latent Semantic Analysis|Konzept]]matrizen zu zerlegen.
* In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] bezeichnet man die Zerlegung von [[Zufallsvariable]]n in [[Stochastische Unabhängigkeit|unabhängige]] Summanden als Faktorisierung, da die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
* Abstrakter versucht man die Elemente von [[Ring (Algebra)|Ringen]] in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch [[Linearer Operator|Operator]]-Ringe sein.
* Die [[Faktorenanalyse]] nach Spearman.
* In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer [[Zufallsvariable]]n in [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] Summanden, da die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
* Die statistische [[Faktorenanalyse]] nach Spearman.
* Die logische Faktorisierung einer [[Logische Aussage|Proposition]] <math>A</math> in Bezug auf eine andere Proposition <math>B</math>:<ref>[[Karl Popper]], David Miller: ''A proof of the impossibility of inductive probability'', in: Nature 302 (1983), 687f.</ref>
:<math> A = (B \rightarrow A) \land (A \lor B) </math>
* In der [[Graphentheorie]] bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen <math>G</math> in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten <math>x</math> nur eine bestimmte Anzahl <math>a</math> von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als <math>a</math>-Faktoren, z.&nbsp;B. 1-Faktoren.


== Weblinks ==
== Einzelnachweise ==
<references />
* [http://www.mathe-paradies.de/mathe/faktorisieren/index.htm Online-Tool zum Faktorisieren von Termen]


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]

[[ca:Factorització]]
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[[yi:פאקטאריזאציע]]

Version vom 5. Februar 2024, 21:38 Uhr

Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren.

Anwendungsbeispiele:

  • In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten nur eine bestimmte Anzahl von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als -Faktoren, z. B. 1-Faktoren.

Einzelnachweise

  1. Karl Popper, David Miller: A proof of the impossibility of inductive probability, in: Nature 302 (1983), 687f.