„Faktorisierung“ – Versionsunterschied
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Eine '''Faktorisierung''' ist in der [[Mathematik]] die Zerlegung eines Objekts in mehrere [[Trivialität#Mathematik|nichttriviale]] [[Multiplikation|Faktoren]]. |
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* Die stets eindeutige [[Primfaktorzerlegung]] einer natürlichen Zahl (vgl. die [[Faktorisierungsverfahren]] um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten). |
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* Algebraische Terme lassen sich häufig durch [[Ausklammern]] und die Anwendung [[Binomische Formel|binomischer Formeln]] faktorisieren. |
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch [[Ausklammern]] und die Anwendung [[Binomische Formel|binomischer Formeln]] faktorisieren. |
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* [[Polynom]]e lassen sich [[Faktorisierung von Polynomen|faktorisieren]]. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren. |
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** Eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] mittels [[LR-Zerlegung|Dreieckszerlegung]] (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] gewonnen. |
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* Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der [[Numerik]] ist die [[QR-Zerlegung]], die normalerweise mittels [[Householdertransformation]]en oder [[Givens-Rotation]]en gewonnen werden kann. |
** Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der [[Numerik]] ist die [[QR-Zerlegung]], die normalerweise mittels [[Householdertransformation]]en oder [[Givens-Rotation]]en gewonnen werden kann. |
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** In der [[Datenanalyse]] werden unter anderem die ''non negative matrix factorization'' und die ''binary matrix factorization'' betrachtet, um Matrizen in zwei [[Cluster (Datenanalyse)|Cluster-]] bzw. [[Latent Semantic Analysis|Konzept]]matrizen zu zerlegen. |
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* Die logische Faktorisierung einer [[Logische Aussage|Proposition]] <math>A</math> in Bezug auf eine andere Proposition <math>B</math>:<ref>[[Karl Popper]], David Miller: ''A proof of the impossibility of inductive probability'', in: Nature 302 (1983), 687f.</ref> |
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:<math> A = (B \rightarrow A) \land (A \lor B) </math> |
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* In der [[Graphentheorie]] bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen <math>G</math> in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten <math>x</math> nur eine bestimmte Anzahl <math>a</math> von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als <math>a</math>-Faktoren, z. B. 1-Faktoren. |
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* [http://www.mathe-paradies.de/mathe/faktorisieren/index.htm Online-Tool zum Faktorisieren von Termen] |
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[[fi:Tekijä]] |
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[[he:פירוק לגורמים]] |
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[[it:Fattorizzazione]] |
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[[ja:因数分解]] |
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[[lt:Faktorizavimas]] |
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[[nl:Factorisatie]] |
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[[pl:Faktoryzacja]] |
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[[pt:Fatoração]] |
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[[ru:Факторизация]] |
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[[sl:Faktorizacija]] |
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[[sv:Faktorisering]] |
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[[th:การแยกตัวประกอบ]] |
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[[yi:פאקטאריזאציע]] |
Version vom 5. Februar 2024, 21:38 Uhr
Eine Faktorisierung ist in der Mathematik die Zerlegung eines Objekts in mehrere nichttriviale Faktoren.
Anwendungsbeispiele:
- Die stets eindeutige Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl (vgl. die Faktorisierungsverfahren, um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
- Algebraische Terme lassen sich häufig durch Ausklammern und die Anwendung binomischer Formeln faktorisieren.
- Polynome lassen sich faktorisieren. Über einem algebraisch vollständigen Körper gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
- Anwendung bei Matrizen:
- Eine Matrix kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Dreieckszerlegung (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren gewonnen.
- Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der Numerik ist die QR-Zerlegung, die normalerweise mittels Householdertransformationen oder Givens-Rotationen gewonnen werden kann.
- In der Datenanalyse werden unter anderem die non negative matrix factorization und die binary matrix factorization betrachtet, um Matrizen in zwei Cluster- bzw. Konzeptmatrizen zu zerlegen.
- Abstrakter versucht man die Elemente von Ringen in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch Operator-Ringe sein.
- In der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden, da die charakteristische Funktion einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
- Die statistische Faktorenanalyse nach Spearman.
- Die logische Faktorisierung einer Proposition in Bezug auf eine andere Proposition :[1]
- In der Graphentheorie bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten nur eine bestimmte Anzahl von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als -Faktoren, z. B. 1-Faktoren.
Einzelnachweise
- ↑ Karl Popper, David Miller: A proof of the impossibility of inductive probability, in: Nature 302 (1983), 687f.