Rentenbarwertfaktor

Der Rentenbarwert ist das errechnete Geldkapital, das erforderlich wäre, um Geld in Form einer Rente in einer spezifischen Höhe bei einer gegebenen Verzinsung über einen bestimmten Zeitraum zu zahlen. Umgekehrt ist der Rentenbarwert die mit einem gegebenen Zins diskontierte Zahlungsreihe gleicher Höhe, die über einen bestimmten Zeitraum fließt, also der Barwert einer Zeitrente.

Der Rentenbarwertfaktor (auch Diskontierungssummenfaktor oder Abzinsungssummenfaktor) ist der Multiplikator, der aus einer gleichförmigen Rentenzahlung in Abhängigkeit von Zinssatz und Zahlungsdauer ihren Barwert berechnet. Er ist ein Teil der Annuitätenmethode der klassischen, dynamischen Investitionsrechnung.

Definitionen

Der Barwert einer konstanten Rente in Höhe von $Z$, die nachschüssig über einen Zeitraum von $T$ Perioden (meist Jahre) geleistet wird, ergibt sich als Summe der auf den Zeitpunkt $t=0$ abgezinsten Rentenzahlungen. Geht man von einem konstanten Periodenzinssatz $i$ aus, so berechnet er sich als

${\text{Rentenbarwert}}=Z\cdot \sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}$,

also als Produkt der konstanten Rente $Z$ und dem (nachschüssigen) Rentenbarwertfaktor

${\text{RBF}}\left(i,T\right):=\sum _{t=1}^{T}{\frac {1}{(1+i)^{t}}}$.

Die Auswertung der Summe liefert für $i>0$ eine geschlossene Formel für den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor:

${{\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}$.

Werden die Zahlungen vorschüssig, d. h. zu den Zeitpunkten $0,1,\ldots ,T-1$ geleistet, so erhält man für $i>0$ den vorschüssigen Rentenbarwertfaktor

${{\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T+1}\cdot i}}$.

Herleitung der Formel für den Rentenbarwertfaktor

Die Gleichung

${\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}$

lässt sich wie folgt herleiten:

${\text{RBF}}\left(i,T\right)=\sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}=\sum _{t=0}^{T-1}{1 \over \left(1+i\right)^{t+1}}.$

Substitution: $\quad q={1 \over 1+i}\quad {\text{mit }}|q|<1$

${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ &=\sum _{t=0}^{T-1}q^{t+1}\\&=q\sum _{t=0}^{T-1}q^{t}\\&=q\left({\frac {1-q^{T}}{1-q}}\right)\\&={\frac {q}{1-q}}(1-q^{T})\end{aligned}}$

Betrachte ${\frac {q}{1-q}}$:

${\begin{aligned}{\frac {q}{1-q}}={\frac {\frac {1}{1+i}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}={\frac {1}{1+i-1}}={\frac {1}{i}}\end{aligned}}$

Resubstitution:

${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad &={\frac {1}{i}}\left({\frac {(1+i)^{T}}{(1+i)^{T}}}-{\frac {1}{(1+i)^{T}}}\right)\\&={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}\end{aligned}}$

Dabei wurde die (Partialsummen-)Formel der geometrische Reihe verwendet.

Den vorschüssigen Rentenbarwertfaktor erhält man aus dem nachschüssigen Rentenbarwertfaktor durch Diskontierung um eine Periode.

Sonderfälle

Ist der Zinssatz $i$ null, so gilt:

${{\text{RBF}}\left(0,T\right)}=T$

Strebt der Zeitraum $T$ gegen unendlich, ergibt sich:

${{\text{RBF}}\left(i,\infty \right)}={\frac {1}{i}}.$

Ist der Zeitpunkt, in der die Erste der konstanten Zahlungen fließt, nicht $t=1$, sondern, $t=n$, so bestimmt man den Rentenbarwertfaktor zur Berechnung des Barwertes der Zahlungen zum Zeitpunkt $t=0$ mittels:

${{\text{RBF}}\left(i,T,n\right)}={\frac {(1+i)^{T}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{T+n-1}\cdot i}}$

Der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors ergibt den Annuitätsfaktor

${\text{ANF}}\left(i,T\right)={\frac {1}{{\text{RBF}}\left(i,T\right)}}$.

Der Annuitätsfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet.

Beispiele

Für eine Rente, welche jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,10\right)}=7{,}722$

Für eine Rente, welche in 5 Jahren(ab dem 01.01. des 6. Jahres) jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,15,6\right)}=6{,}050$

Siehe auch

• Rentenendwertfaktor
• Abzinsung und Aufzinsung