Rentenbarwertfaktor

Der Rentenbarwert ist das errechnete Geldkapital, das erforderlich wäre, um Geld in Form einer Rente in einer spezifischen Höhe bei einer gegebenen Verzinsung über einen bestimmten Zeitraum zu zahlen. Umgekehrt ist der Rentenbarwert die mit einem gegebenen Zins diskontierte Zahlungsreihe gleicher Höhe, die über einen bestimmten Zeitraum fließt, also der Barwert einer Zeitrente.

Der Rentenbarwertfaktor (auch Diskontierungssummenfaktor oder Abzinsungssummenfaktor) ist der Multiplikator, der aus einer gleichförmigen Rentenzahlung in Abhängigkeit von Zinssatz und Zahlungsdauer ihren Barwert berechnet. Er ist ein Teil der Annuitätenmethode der klassischen, dynamischen Investitionsrechnung.

Definition

Der Barwert einer konstanten Rente in Höhe von $Z$, die nachschüssig über einen Zeitraum von $T$ Perioden (meist Jahre) geleistet wird, ergibt sich als Summe der auf den Zeitpunkt $t=0$ abgezinsten Rentenzahlungen. Geht man von einem konstanten Periodenzinssatz $i$ aus, so berechnet er sich als

${\text{Rentenbarwert}}=Z\cdot \sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}$,

also als Produkt der konstanten Rente $Z$ und dem (nachschüssigen) Rentenbarwertfaktor

${\text{RBF}}\left(i,T\right):=\sum _{t=1}^{T}{\frac {1}{(1+i)^{t}}}$.

Im Normalfall ist $i>0$. Dann lässt sich der (nachschüssige) Rentenbarwertfaktor mithilfe der folgenden geschlossenen Formel schreiben:

${{\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}$.

Werden die Zahlungen vorschüssig geleistet, so muss man diesen Faktor nur um eine Periode diskontieren.

Herleitung der Formel für den Rentenbarwertfaktor

Die Gleichung

${\text{RBF}}\left(i,T\right)}={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}$

lässt sich wie folgt herleiten:

${\text{RBF}}\left(i,T\right)=\sum _{t=1}^{T}{1 \over \left(1+i\right)^{t}}=\sum _{t=0}^{T-1}{1 \over \left(1+i\right)^{t+1}}.$

Substitution: $\quad q={1 \over 1+i}\quad {\text{mit }}|q|<1$

${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \ &=\sum _{t=0}^{T-1}q^{t+1}\\&=q\sum _{t=0}^{T-1}q^{t}\\&=q\left({\frac {1-q^{T}}{1-q}}\right)\\&={\frac {q}{1-q}}(1-q^{T})\end{aligned}}$

Betrachte ${\frac {q}{1-q}}$:

${\begin{aligned}{\frac {q}{1-q}}={\frac {\frac {1}{1+i}}{1-{\frac {1}{1+i}}}}={\frac {1}{1+i-1}}={\frac {1}{i}}\end{aligned}}$

Resubstitution:

${\begin{aligned}\quad \quad \quad \quad \quad \quad &={\frac {1}{i}}\left({\frac {(1+i)^{T}}{(1+i)^{T}}}-{\frac {1}{(1+i)^{T}}}\right)\\&={\frac {(1+i)^{T}-1}{(1+i)^{T}\cdot i}}\end{aligned}}$

Dabei wurde die (Partialsummen-)Formel der geometrische Reihe verwendet.

Sonderfälle

Ist der Zinssatz $i$ null, so gilt:

${{\text{RBF}}\left(0,T\right)}=T$

Strebt der Zeitraum $T$ gegen unendlich, so erhält man den nachschüssigen Rentenbarwertfaktor der ewigen Rente:

${{\text{RBF}}\left(i,\infty \right)}={\frac {1}{i}}.$

Ist die Rente um $n$ Perioden aufgeschoben, so erhält man den entsprechenden Rentenbarwertfaktor, indem man den Rentenbarwertfaktor der sofort beginnenden Rente um $n$ Perioden diskontiert:

${{\text{RBF}}\left(i,T,n\right)}={\frac {(1+i)^{T}-(1+i)^{n-1}}{(1+i)^{T+n-1}\cdot i}}$ .

Der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors ergibt den Annuitätsfaktor

${\text{ANF}}\left(i,T\right)={\frac {1}{{\text{RBF}}\left(i,T\right)}}$.

Der Annuitätsfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor oder Kapitalwiedergewinnungsfaktor bezeichnet.

Beispiele

Für eine Rente, welche jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,10\right)}=7{,}722$

Für eine Rente, welche in 5 Jahren(ab dem 01.01. des 6. Jahres) jährlich über einen Zeitraum von 10 Jahren gezahlt werden soll, ergibt sich bei einem Zinssatz von 5 %

${{\text{RBF}}\left(5\,\%,15,6\right)}=6{,}050$

Siehe auch

• Rentenendwertfaktor
• Abzinsung und Aufzinsung