Die Hillschen Gleichungen beschreiben Bahnänderungen eines Satelliten innerhalb des mitrotierenden Bezugssystem. Mit ihnen läßt sich berechnen, welchen weiteren Verlauf (Bahn und Geschwindigkeit) ein Satellit nimmt, wenn man seine Geschwindigkeit verändert.
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \ddot x + 2\omega \dot z = b_z }
y
¨
+
ω
2
y
=
b
y
{\displaystyle {\ddot {y}}+\omega ^{2}y=b_{y}}
z
¨
−
2
ω
x
˙
−
3
ω
2
z
=
b
z
{\displaystyle {\ddot {z}}-2\omega {\dot {x}}-3\omega ^{2}z=b_{z}}
Bahngleichungen
x
(
ω
,
t
)
=
(
x
0
−
2
z
˙
0
ω
)
+
2
z
˙
0
ω
cos
ω
t
+
(
6
z
0
+
4
x
˙
0
ω
)
sin
ω
t
−
(
6
z
0
+
3
x
˙
0
ω
)
ω
t
{\displaystyle x(\omega ,t)=\left({x_{0}-2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}}\right)+2{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\cos \omega t+\left({6z_{0}+4{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\sin \omega t-\left({6z_{0}+3{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\omega t}
z
(
ω
,
t
)
=
(
4
x
0
+
2
x
˙
0
ω
)
+
z
˙
0
ω
sin
ω
t
−
(
3
z
0
+
2
x
˙
0
ω
)
cos
ω
t
{\displaystyle z(\omega ,t)=\left({4x_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)+{\frac {{\dot {z}}_{0}}{\omega }}\sin \omega t-\left({3z_{0}+2{\frac {{\dot {x}}_{0}}{\omega }}}\right)\cos \omega t}
Geschwindigkeitsgleichungen
x
˙
(
ω
,
t
)
=
−
3
x
˙
0
−
6
ω
z
0
−
2
z
˙
0
sin
ω
t
+
(
6
ω
z
0
+
4
x
˙
0
)
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {x}}(\omega ,t)=-3{\dot {x}}_{0}-6\omega z_{0}-2{\dot {z}}_{0}\sin \omega t+\left({6\omega z_{0}+4{\dot {x}}_{0}}\right)\cos \omega t}
z
˙
(
ω
,
t
)
=
(
3
ω
z
0
+
2
x
˙
0
)
sin
ω
t
+
z
˙
0
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {z}}(\omega ,t)=\left({3\omega z_{0}+2{\dot {x}}_{0}}\right)\sin \omega t+{\dot {z}}_{0}\cos \omega t}
Beispiele
Bahnänderung eines Satelliten bei radialer Geschwindigkeitsänderung Ein radiales Manöver führt zu einer Ellipse mit dem Verhältnis 1:2 .
Anfangsbedingungen :
(
x
;
z
)
=
(
0
;
0
)
{\displaystyle (x;z)=(0;0)}
(
x
˙
;
z
˙
)
=
(
0
;
Δ
v
)
{\displaystyle ({\dot {x}};{\dot {z}})=(0;\Delta v)}
Bewegungsgleichungen :
x
=
2
Δ
v
ω
(
cos
ω
t
−
1
)
{\displaystyle x=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({\cos \omega t-1}\right)}
z
=
Δ
v
ω
sin
ω
t
{\displaystyle z={\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t}
Bahnänderung eines Satelliten bei tangentialer Geschwindigkeitsänderung Ein tangentiales Manöver führt zu einer Zykloidenförmigen Bahn.
Anfangsbedingungen :
(
x
;
z
)
=
(
0
;
0
)
{\displaystyle (x;z)=(0;0)}
(
x
˙
;
z
˙
)
=
(
Δ
v
;
0
)
{\displaystyle ({\dot {x}};{\dot {z}})=(\Delta v;0)}
Bewegungsgleichungen :
x
=
4
Δ
v
ω
sin
ω
t
−
3
Δ
v
⋅
t
{\displaystyle x=4{\frac {\Delta v}{\omega }}\sin \omega t-3\Delta v\cdot t}
z
=
2
Δ
v
ω
(
1
−
cos
ω
t
)
{\displaystyle z=2{\frac {\Delta v}{\omega }}\left({1-\cos \omega t}\right)}
x
˙
1
=
−
3
x
˙
0
+
4
x
˙
0
cos
ω
t
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}=-3{\dot {x}}_{0}+4{\dot {x}}_{0}\cos \omega t}
Nach einem halben Umlauf bewegt sich der Satellit im mitrotierenden Bezugssystem mit siebenfachen
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
in die Gegenrichtung:
x
˙
1
(
t
=
T
2
)
=
−
3
Δ
v
−
4
Δ
v
=
−
7
Δ
v
{\displaystyle {\dot {x}}_{1}\left({t={\frac {T}{2}}}\right)=-3\Delta v-4\Delta v=-7\Delta v}
