Sherman-Morrison-Woodbury-Formel
Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel (nach Jack Sherman, Winifred J. Morrison und Max A. Woodbury)[1][2][3][4][5] der linearen Algebra gibt eine explizite Darstellung der Inversen einer regulären Matrix nach einer Änderung von niederem Rang. Dies ist beispielsweise bei Quasi-Newton-Verfahren und beim Basiswechsel im Simplex-Verfahren interessant.
In numerischen Verfahren kann die Verwendung der Formel zu Stabilitätsproblemen führen, weswegen Alternativen zu bevorzugen sind.
Änderung vom Rang 1
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Mit zwei Vektoren ist das Produkt eine -Matrix und besitzt den Rang 1.
- Für gilt
wobei mit die Einheitsmatrix gemeint ist. Die Aussage prüft man elementar nach.
Die Formel überträgt sich direkt auf Rang-1-Änderungen einer beliebigen, regulären -Matrix :
- Für gilt
Dabei ergibt sich, dass die Matrix genau dann invertierbar ist, wenn der Nenner in obiger Formel nicht verschwindet.
Änderung vom Rang k
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für zwei -Matrizen verallgemeinert sich die Formel nach der Woodbury-Matrix-Identität in folgender Weise:
- Die -Matrix sei regulär, dann gilt
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Gene H. Golub, Charles F. van Loan: Matrix Computations, Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, 1996.
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to Changes in the Elements of a Given Column or a Given Row of the Original Matrix (abstract). In: Annals of Mathematical Statistics. 20. Jahrgang, 1949, S. 621, doi:10.1214/aoms/1177729959.
- ↑ Jack Sherman, Winifred J. Morrison: Adjustment of an Inverse Matrix Corresponding to a Change in One Element of a Given Matrix. In: Annals of Mathematical Statistics. 21. Jahrgang, Nr. 1, 1950, S. 124–127, doi:10.1214/aoms/1177729893.
- ↑ Max A. Woodbury: Inverting modified matrices. In: Statistical Research Group (Hrsg.): Memorandum Report 42. Princeton University, Princeton, NJ 1950.
- ↑ Max A. Woodbury: The Stability of Out-Input Matrices. Chicago 1949.
- ↑ William W. Hager: Updating the inverse of a matrix. In: SIAM Review. 31. Jahrgang, Nr. 2, 1989, S. 221–239, doi:10.1137/1031049.