Quelltext der Seite Äquivalenzrelation/Äquivalenzklassen und Repräsentanten in Beispielen/Bemerkung

{{
Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}}
|Text=
Wir betrachten in einigen Beispielen von 
{{
Definitionslink
|Äquivalenzrelationen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
die 
{{
Definitionslink
|Äquivalenzklassen|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
Wenn die Äquivalenzrelation die Gleichheit ist, so sind alle Äquivalenzklassen einelementig und die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} ist einfach die einelementige Menge
{{
Vergleichskette 
| [x]
|| \{x\}
||
||
||
|SZ=.
}}
Im anderen Extremfall, wenn alle Elemente zueinander äquivalent sind, so gibt es nur eine einzige Äquivalenzklasse, nämlich die Gesamtmenge {{math|term= M |SZ=.}} 

Bei der Äquivalenzrelation auf der Menge der Bruchterme, die durch die Wertegleichheit in {{math|term= \Q |SZ=}} gegeben ist, besteht die Äquivalenzklasse zu {{mathl|term=  {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} aus allen anderen Bruchdarstellungen dieser Zahl, also beispielsweise aus {{mathl|term=  {{op:Bruch|a|b}}, {{op:Bruch|2a|2b}}, {{op:Bruch|3a|3b}}, \ldots|SZ=.}} Ein Repräsentantensystem liegt in der Menge aller gekürzten Brüche vor.

Wenn eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M |SZ=}} durch eine Abbildung
{{
Abbildung
|name=f
|M|N
||
|SZ=
}}
im Sinne von
{{
Faktlink
|Faktseitenname=
Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt
|Nr=
|SZ=
}}
festgelegt ist, so sind die Äquivalenzklassen die nichtleeren Fasern der Abbildung. Die Äquivalenzklasse zu 
{{
Vergleichskette
|x
|\in|M
||
||
||
|SZ=
}}
besteht aus dem Urbild von {{mathl|term= f(x) |SZ=,}} ist also gleich
{{
Vergleichskette/display
| f^{-1} (f(x))
|| {{Mengebed|y \in M|f(y) {{=}} f(x) }} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Um ein Repräsentantensystem zu erhalten, muss man aus jeder Faser ein Element auswählen. Im Allgemeinen gibt es hier kein besonders einfaches Repräsentantensystem.

In
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Äquivalenzrelation/Abbildung/Gleichwertig/Quadrat und Betrag/Beispiel
|Nr=
|SZ=
}}
besteht die Äquivalenzklasse zu
{{
Vergleichskette
|x
|\in|K
||
||
||
|SZ=
}}
aus {{mathl|term= \{x,-x\} |SZ=}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=wobei diese beiden Zahlen nicht unbedingt, wie etwa bei
{{
Vergleichskette/k
|x
||0
||
||
||
|SZ=,
}}
verschieden sein müssen|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Wenn {{math|term= K |SZ=}} angeordnet ist, so kann man die nichtnegativen Elemente {{math|term= K_{\geq 0} |SZ=}} als ein übersichtliches 
{{
Definitionslink
|Repräsentantensystem|
|Kontext=Äquivalenzrelation|
|SZ=
}}
heranziehen.

In
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Äquivalenzrelation durch Abbildung/Archimedisch angeordnet/Vorkommazahl und Nachkommazahl/Beispiel
|Nr=
|SZ=
}}
bei der durch die Gaußklammer gegebenen Äquivalenzrelation besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus dem halboffenen Intervall
{{
Vergleichskette/display
|[ {{op:Gaußklammer|x|}} , {{op:Gaußklammer|x|}} +1 [
|| {{Mengebed|y \in K| y \geq x \text{ und }y <x+1}} 
||
||
||
|SZ=.
}}
Ein besonders einfaches Repräsentantensystem ist durch die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} gegeben.

Bei der durch das Betrachten des Bruchanteils 
{{
Zusatz/Klammer
|text=der Nachkommazahl|
|ISZ=|ESZ=
}}
gegebenen Äquivalenzrelation auf {{math|term= K |SZ=}} besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus der Menge {{mathl|term= x + \Z|SZ=,}} also aus allen Zahlen, die man von {{math|term= x |SZ=}} aus mit einem ganzzahligen Schritt erreichen kann. Die Menge der Zahlen zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
einschließlich der {{math|term= 0 |SZ=}} und ausschließlich der {{math|term= 1 |SZ=}}, also der Zahlen aus dem 
{{
Definitionslink
|halboffenen Intervall|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{mathl|term= [0,1[|SZ=,}} ist ein Repräsentantensystem.

In
{{
Beispiellink
|Beispielseitenname=
Äquivalenzrelation/Symmetrische Erreichbarkeitsrelation/2/Beispiel
|Nr=
|SZ=,
}}
der Erreichbarkeitsrelation auf dem Landweg, besteht die Äquivalenzklasse zu {{math|term= x |SZ=}} aus der Insel bzw. dem Kontinent, auf der bzw. dem der Punkt {{math|term= x |SZ=}} liegt.
|Textart=Bemerkung 
|Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}