Logarithmen/Koch-Kurve/Aufgabe

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1. Jede Seite wird auf folgende Art ersetzt: Das erste Drittel und das letzte Drittel bleiben so, wie sie sind. Das mittlere Drittel wird durch einen Zacken ersetzt, dessen beide Kanten ein Drittel der ursprünglichen Kante lang sind. Diese Ersetzung wiederholt man unendlich oft und erhält damit eine Art Schneeflocke. Wie lang wird der Umfang der Figur? Wie groß wird ihr Flächeninhalt? Hinweis zur Flächenberechnung: Das ursprüngliche Dreieck hat einen Flächeninhalt von ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$. Welchen Bruchteil dieser Fläche haben die angehängten Zacken? Und: ${}(1+a+a^{2}+a^{3}+\cdots +a^{n})(a-1)=a^{n+1}-1$

Die ersten drei Schritte