Getränkepong

Zielsetzung

Wie muss ein Tischtennisball geworfen werfen um einen Becher zu treffen

Einführung

GetränkePong spielt man am besten mit 4 Personen (2 gegen2).

Hier Ist das Ziel mit einem Tischtennisball gegnerische Becher im gegnerischen Feld zu treffen. Diese Becher sind mit Getränke gefüllt. Trifft ein Team ein Becher des gegnerischen Teams, so muss dieses Team den Becher austrinken. Ziel ist es alle Becher von Gegner zu treffen.

In der Regel wird während des Spiels Alkohol konsumiert bzw. der Verlierer muss zur Strafe konsumieren und es gibt kein Scoreboard.

Man kann aber auch alkoholfreie Getränke konsumieren.

Durch das zusammenspielen von mehreren Parteien werden demnach folgende SDG erfüllt:

• SDG 5: Gender Equality
• SDG 10: Reduced Inequalities
• SDG 17: Partnerships for the Goals

Zu dem ist es im Leben gesundheitlich von Vorteil eine ausreichende Hand-Augen-Koordination zu besitzen. Dieses Spiel trainiert Timing des Loslassens und die angemessene Wurfkraft des Tischtennisballs, um diese in den Becher zu befördern.

• SDG 3: Good Health and Well-bein

Modellierungsthema

In der hier durchgeführten Modellierung sollen die Faktoren eines erfolgreichen Wurfes behandelt werden. Hier wird vor allem der Winkel des abgeworfenen Balls und das ballistische Verhalten des Tischtennisballes analysiert.

Für die Modellierung wird der Becher an der gegenüberliegenden Kante gestellt.

Faktoren eines erfolgreichen Wurfes

• Geschwindigkeit mit der man den Tischtennisball wirft
• Höhe von dem der Tischtennisball abgeworfen wird
• Elastizität des Tischtennisballs

Niveau Überblick

Sek I

- Pythagoras

- Trigonometrie

Sek II

- Kurvendiskussion

- Parabel

- Winkelberechnung

- Parabelschar

Uni-Niveau

- Differential Gleichung

- Äußere Faktoren

Feste Faktoren

Der Tisch

Länge 240 cm

Breite 60 cm

Höhe 70 cm

Der Ball

Durchmesser 4 cm

Gewicht 2,7 g

Der Becher

Höhe 10,6 cm

Öffnung Durchmesser 9,6 cm

Modellierungszyklen

Sek I

Zyklus 1

Ermittlung des flachsten Einfallswinkels des Balls.

Wir betrachen den Winkel eines direkten Treffers.

Hier nehmen wir die Trigonometrie zur Hilfe.

Man besitzt den Durchmesser des Balls und verwendet diese als eine der Katheten und verwendet die Öffnung des Becher als Hypothenuse.

$arc({\frac {4}{9,6}})\approx 24^{\circ }$

Mithilfe Geogebra wird das Problem visualisiert.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird ermittel wie weit der Ballem vom Mittelpunkt des Bechers abweichen darf.

Dies finden wir zunächst raus, indem wir den Radius des Korbes mit dem Radius des Balls subtrahieren.

Also

$9,6cm-4cm=5,6cm$

Wie beinflusst dies nun den Wurf?

Von oben betrachtet kann man eine gerade Linie zwischen dem Werfer und der Korbmitte ziehen. Wir wollen nun bestimmen um wie viel Grad der Wurf von dieser idealen Linie abweichen kann.

Den Abweichungswinkel zur optimalen Linie erhalten wir folglich aus dem Arcus Tanges der beiden Katheteten.

$arctan(5,6cm/240cm)=1,337^{\circ }$

Somit kann man mit einer Abweichung von ca 1,337° immer noch den Becher treffen.

Sek II

Zyklus 1

Im ersten Zyklus behandeln wir den Positionswurf des Balls mit minimalem Kraftaufwand und den dazugehörigen Abwurfwinkel.

Hier geben wir den Abstand (240 cm) die Höhe des Bechers (10,6 cm) also auch die Abwurfhöhe (100 cm) an.

Des Weiteren übernehmen wir den minimalen Einfallswinkel aus dem vorherigen Modellierungszyklus.

Die Abwurfhöhe ergibt sich aus der Subtraktion der Spielergröße und der Tischhöhe.

Somit haben wir folgende Bedingungen gegeben:

-Polynom 2. Grades

-$f(0)=100$

-$f(240)=10,6$

-$f'(240)=-tan(24)$

mit

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

und

$f'(x)=2ax+b$

somit folgt das kommende Gleichungssystem:

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=100$

$II)f(240)=a*240^{2}+b*240+c=10,6$

$III)f'(240)=2a*240+b=-tan(24)$

Hier folgt nun

$a={\frac {-31}{96000}}$

$b={\frac {-59}{200}}$

$c=100$

Somit erhalten wir die folgende Funktion:

$f(x)={\frac {-31}{96000}}x^{2}*{\frac {-59}{200}}x+100$

$f'(x)={\frac {-62}{96000}}x*{\frac {-59}{200}}$

Nun müssen wir nur noch die Tangente an der Stelle

$f(0)=100$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man die Steigung an der Stellle 0 bestimmen.

Also

$f'(0)={\frac {-59}{200}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel ca.

$\alpha =arctan({\frac {-59}{200}})\approx -16,4^{\circ }$

Ergebnis

Abwurfwinkel	Eintrittswinkel	Funktion	Abwurfhöhe vom Boden (Höhe ab dem Tisch)
$-16,4^{\circ }$	$24^{\circ }$	$f(x)={\frac {-31}{96000}}x^{2}*{\frac {-59}{200}}x+100$	$170cm$ $(100cm)$

Zyklus 2

Da nun nicht jeder Mensch gleichgroß ist, werden wir die Abwurfhöhe variieren und den dazugehörigen Abwurfwinkel ermitteln.

Zu dem stellt sich nicht jeder Spieler extakt mittig des Spieltisches, sondern bewegt sich auch gerne nach links oder nach rechts.

Der Eintrittswinkel in den Becher bleibt wie oben gleich.

Um die Distanz zwischen Spieler und Becher ermitteln wendet man hier den Pythagoras an.

Wir besitzen folgende Bedingung:

- w Distanz zwischen Spieler und Becher

- a Distanz der gegenüberliegenden Mittelpunkte

- b varriernde Position des Spielers = [0,30]

$w^{2}=a^{2}+b^{2}$

$w={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$w={\sqrt {240^{2}+b^{2}}}$

somit kommen bekommen wir folgende Daten

Für die Abwurfhöhe bzw. der Weite besitzen wir folgende Bedingungen:

- Polynom 2. Grades

-$f(0)=h$

$h=[80,120]$

-$f(w)=10,6$

-$f'(w)=-tan(24)$

mit

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

und

$f'(x)=2ax+b$

somit folgt das kommende Gleichung

$I)f(0)=a*0^{2}++b*0+c=h$

$II)f(w)=a*w^{2}+b*w+c=10,6$

$III)f'(w)=2a*w+b=-tan(24)$

Nun folgt hier

$a={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}$

$b={\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

$c=h$

Somit erhalten wir folgende Funktionenscharen

$f(x)={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x^{2}+{\frac {10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}x+h$

$f'(x)=2*{\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x+{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man die die Steigung an der Stelle 0 berechnen

$f'(x)={\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel folgendermaßen

$\alpha =arctan{\biggl (}{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}{\biggr )}$

Ergbnis

Abwurfwinkel	Eintrittswinkel	Funktion	Abwurfhöhe (Höhe ab dem Tisch)	Distanz zwischen Werfer und Becher
$\alpha =arctan{\biggl (}{\frac {-10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}{\biggr )}$	$24^{\circ }$	$f(x)={\frac {5h-5*[tan(24)]w-53}{5w^{2}}}x^{2}+{\frac {10h+5*[tan(24)]w+106}{5w}}x+h$	$70cm+h$ $h=[80,120]$ $(70cm)$	$w={\sqrt {240^{2}+b^{2}}}$ $b=[0,30]$

Universitäts-Niveau

Zyklus 1

Wie verändert sich die Strecke, wenn man den Luftwiderstand betrachtet?

Wir verwenden das Modell der Newtonischen Reibung um die Luftwiderstandskraft zu ermitteln.

Diese Kraft wirkt immer entgegen der Bewegungsrichtung des Tischtennisballs. Desweiteren wirkt die Gravitationskraft stets senkrecht nach unten.

Somit besitzen wir folgende Bedingungen:

Gravitationskraft

$F_{G}=m*g$

$F_{G}=0,0027g*9,81{\frac {m}{s^{2}}}=0,026N$

m: Masse des Tischtennisballs g: Erdbeschleunigung

Luftwiderstandskraft

$F_{L}={\frac {c_{W}*A*p*v^{2}}{2}}$

$F_{L}={\frac {0,2*0,001m^{2}*1,2{\frac {kg}{m^{3}}}*v}{2}}$

$c_{W}:$Widerstandsbeiwert A: Querschnittsfläche p: Dichte der Luft v: Geschwindigkeit des Balls

Die Luftwiderstandskraft wirkt in x- als auch y-Richtung.

Wir betrachten die Kräfte nun in beide Richtungen.

$m*a_{x}=-F_{Lx}$

$m*ay=-F_{Ly}-F_{G}$

Bekannt aus der Physik ist, dass die Beschleunigung die Stammfunktion der Geschwindigkeit ist so folgt

$m*{\frac {dv_{x}}{dt}}=-F_{L}*cos(\alpha )$

$m*{\frac {dv_{y}}{dt}}=-F_{L}*sin(\alpha )-F_{G}$

Mit $sin(\alpha )={\frac {v_{y}}{v}}$ und $cos(\alpha )={\frac {v_{x}}{v}}$setzen wir in die Kräfte-Gleichung ein.

Zu wird die Konstante ${\frac {c_{w}*A*p}{2}}=k$ ersetzt.

Dann folgt:

$m*{\frac {dv_{x}}{dt}}=-k*v^{2}*{\frac {v_{x}}{v}}=-k*v*v_{x}$

$m*{\frac {dv_{y}}{v}}=-k*v^{2}*{\frac {v_{y}}{v}}-m*g=-k*v*v_{y}-m*g$

Die Geschwindigkeit ist hier der Zeit abhängig.

Zu dem setzen wir für $v(t)={\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}$

$m*{\frac {d}{dt}}v_{x}(t)=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{x}(t)$

$m*{\frac {d}{v}}v_{y}(t)=-k*{\sqrt {v_{x}(t)^{2}+v_{y}(t)^{2}}}*v_{y}(t)-m*g$