Rage Cage: der Wurf

Modellierungsthema und Zielsetzung

Wie muss der Wurf eines Tischtennisballs sein, um einen erfolgreichen Wurf durchzuführen.

Einführung

Rage Cage ist ein Gesellschaftsspiel, welches man am besten mit einer großen Spieleranzahl spielen soll (ca. 7 Personen). Ziel ist es, das Plastikbecher A Plastikbecher B einholt oder andersrum. Die Plastikbecher befinden sich jeweils auf dem Tisch und gegenüber von einander (bzw. sind diese so platziert dass sie jeweils den höchstmöglichsten Weg zurücklegen müssen um den anderen zu überholen). Ein Plastikbecher kann nur bewegt werden, in dem man einen Tischtennisball auf eine Tischplatte prellt und der Ball danach in die Öffnung des Bechers landet. Falls dies nicht geschieht muss der Spieler es weiter probieren, bis der Tischtennisball durch prellen in den Becher landet. Falls der Tischtennisball durch das prellen in den Becher landet darf der Spieler den Becher den Spieler zu seiner Linken weiterreichen. Falls Plastikbecher A Plastikbecher B eingeholt hat (oder andersrum) und ein Spieler zwei Becher gleichzeitig hätte, muss der einholende Becher in den eingeholten Becher reingesteckt werden und das Ziel des Spiels ist erreicht.

Es gibt zu dem einen "perfekten Wurf". Dies wäre der Fall in dem man beim ersten Versuch den Ball in den Becher befördert. In diesem Fall darf der Spieler mit dem "perfekten Wurf" Plastikbecher beliebig hinstellen (außer direkt in den Plastikbecher B).

IdR. ist der Spielmodus "jeder gegen jeden" bemerkt man jedoch, dass man einen Anfänger im Spiel hat und dieser Probleme hat den Ball in den Becher zu befördern, bilden sich oft kleinere inoffizielle Teams, um dieser Person entweder zu helfen, in dem man ihm moralisch zu spricht oder Teams, welche versuchen mit "perfekten Würfen" den Ball hinter dem Anfänger zu platzieren, sodass er oft eingeholt wird und so mit oft verliert.

In der Regel wird während des Spiels Alkohol konsumiert bzw. der Verlierer muss zur Strafe konsumieren und es gibt kein Scoreboard.

Man kann aber auch alkoholfreie Getränke konsumieren.

Durch das zusammenspielen von mehreren Parteien werden demnach folgende SDG erfüllt:

Zu dem ist es im Leben gesundheitlich von Vorteil eine ausreichende Hand-Augen-Koordination zu besitzen. Dieses Spiel trainiert Timing des Loslassens und die angemessene Wurfkraft des Tischtennisballs, um diese in den Becher zu befördern.

SDG 3: Good Health and Well-bein

Modellierungsthema

In der hier durchgeführten Modellierung sollen die Faktoren eines erfolgreichen Wurfes behandelt werden. Hier wird vor allem der Winkel des abgeworfenen Balls und das ballistische Verhalten des Tischtennisballes analysiert.

Faktoren eines erfolgreichen Wurfes

Geschwindigkeit mit der man den Tischtennisball wirft
Höhe von dem der Tischtennisball abgeworfen wird
Elastizität des Tischtennisballs

Die Gemeinsamkeiten sind in dem Falle der Abwurf und das Verhalten des Balls während dem elastischen Stoß als auch in der Flugphase. Die Unterschiede wäre der Aspekt das der Ball in einen Becher landen muss. Wenn er also in einem bestimmten Winkel den Rand trifft fällt dieser eventuell wieder heraus.

Niveau Überblick

Sek I

- Pythagoras

- Trigonometrie

Sek II

- Kurvendiskussion

- Parabel

- Winkelberechnung

- Parabelschar

Uni-Niveau

- Differential Gleichung

Feste Faktoren

Der Ball

Durchmesser 4 cm

Gewicht 2,7 g

Der Becher

Höhe 10,6 cm

Öffnung Durchmesser 9,6 cm

Abstand vom Spieler zum Becher

Abstand 30 cm

Modellierungszyklen

SEK I

Zyklus 1

Ermittlung des flachsten Einfallswinkels des Balls.

Wir betrachen den Winkel eines direkten Treffers.

Hier nehmen wir die Trigonometrie zur Hilfe.

Man besitzt den Durchmesser des Balls und verwendet diese als eine der Katheten und verwendet die Öffnung des Becher als Hypothenuse.

$arcsin({\frac {4}{9,6}})\approx 24,6^{\circ }$

Mithilfe Geogebra wird das Problem visualisiert.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird ermittel wie weit der Ball vom Mittelpunkt des Bechers abweichen darf.

Dies finden wir zunächst raus, indem wir den Radius des Korbes mit dem Radius des Balls subtrahieren.

Also

$9,6cm-4cm=5,6cm$

Wie beinflusst dies nun den Wurf?

Von oben betrachtet kann man eine gerade Linie zwischen dem Werfer und der Bechermitte ziehen. Wir wollen nun bestimmen um wie viel Grad der Wurf von dieser idealen Linie abweichen kann.

Den Abweichungswinkel zur optimalen Linie erhalten wir folglich aus dem Arcus Tanges der beiden Katheteten.

$arctan(5,6/30)\approx 10,57^{\circ }$

Somit kann man mit einer Abweichung von ca 10,57° immer noch den Becher treffen.

Sek II

Vorüberlegung

Gegeben:

Abstand des Bechers 30 cm

Höhe des Bechers 10,6 cm

Aufprallpunkt 10 cm (Zyklus 2 beliebig)

Abwurfhöhe 15 cm

1. Zyklus

Wir besitzen durch die Vorraussetzungen drei Argumente (Position des Bechers, Position des Aufpralls, Eintrittswinkel in den Becher) um die Kurve nach dem Aufprall zu beschreiben.

Danach besitzt man Information zum Austrittswinkel und somit auch den Eintrittswinkel des Balls (wir gehen davon aus das Eintrittswinkel = Austrittswinkel).

Anschließend besitzt man zusätzlich drei Argumente (Eintrittswinkel des Aufpralls, Abwurfposition, Position des Aufpralls) um die Kurve vor dem Aufprall zu beschreiben.

2. Zyklus

Wir berechnen die Winkel und Kurven in Abhängigkeit des Aufprallpunktes

Zyklus 1

Hier geben wir den Abstand (30 cm), die Höhe des Bechers (10,6 cm),den ersten Aufprallpunkt (10 cm), als auch die Abwurfhöhe (15 cm) an.

Des Weiteren übernehmen wir den minimalen Einfallswinkel aus dem vorherigen Modellierungszyklus.

Somit haben wir folgende Bedingungen gegeben um 2 Kurven zu plotten.

Im Allgemeinen gilt $f(x)=ax^{2}+bx+c$ und $f'(x)=2ax+b$

und

Kurve nach dem Aufprall:

- $f(10)=0$

- $f(30)=10,6$

- $f'(30)=-tan(24,6)$

Somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem

$I)f(10)=a*10^{2}+b*10+c=0$

$II)f(30)=a*30^{2}+b*30+c=10,6$

$III)f'(30)=2*a*30+b=-tan(24,6)$

Hier folgt nun

$a={\frac {-4939}{100000}}$

$b={\frac {1566}{625}}$

$c={\frac {-20117}{1000}}$

Somit erhaltet man die Funktionen

$f(x)={\frac {-4939}{100000}}x^{2}+{\frac {1566}{625}}x+{\frac {-20117}{1000}}$

und

$f'(x)=2*{\frac {-4939}{100000}}x+{\frac {1566}{625}}$

Nun müssen wir die Tangente an der Stelle

$f(10)=0$

bestimmen.

Somit gilt

$f'(10)=2*10*{\frac {-4939}{100000}}+{\frac {1566}{625}}\approx 1,52$

Somit beträgt der Abwurfwinkel

$\alpha =arctan(1,52)\approx 56,62^{\circ }$

Kurve vor dem Aufprall

- $f(0)=15$

- $f(10)=0$

- $f'(10)=-1,52$

somit erhaltet man folgendes Gleichungssystem

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=15$

$II)f(10)=a*10^{2}+b*10+c=0$

$III)f'(10)=2*10*a+b=-1,52$

Hier folgt nun

$a={\frac {-1}{500}}$

$b={\frac {-37}{25}}$

$c=15$

Somit erhält man die Funktion

$f(x)={\frac {-1}{500}}x^{2}+{\frac {-37}{25}}x+15$

und

$f'(x)={\frac {-2}{500}}x+{\frac {-37}{25}}$

Nun berechnet man die Steigung an der Stelle

$f(0)=15$

Also

$f'(0)={\frac {-37}{25}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel ca.

$\alpha =\arctan({\frac {-37}{25}})=-55,95^{\circ }$

Ergebnis
Abwurfwinkel	Eintrittswinkel in Becher	Funktion vor dem Aufprall	Funktion nach dem Aufprall	Eintrittswinkel/Austrittswinkel des Ball zum Zeitpunkt des Aufpralls
$-55,95^{\circ }$	$24,6^{\circ }$	$f(x)={\frac {-1}{500}}x^{2}+{\frac {-37}{25}}x+15$ $x=[0;10]$	$f(x)={\frac {-4939}{100000}}x^{2}+{\frac {1566}{625}}x+{\frac {-20117}{1000}}$ $x=[10;30]$	$56,62^{\circ }$

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus variiert man den Auftreffpunkt des Balls mit. Somit erhält man folgende Informationen.

Abstand zwischen Abwurfpunkt und Becher (30 cm), Höhe des Bechers, den Aufprallpunkt $A=[10;15]cm$ (wurde so gewählt, sodass es noch realistisch wirkt), Abwurfhöhe 15 cm.

Der Eintrittswinkel ist immer noch wie in (SEK I) 24,6°

Zu dem gilt wie oben allg. $f(x)=a*x^{2}+b*x+c$ und $f'(x)=2ax+b$

Daraus ergeben sich folgende Bedingungen

Kurve nach dem Aufprall

- $f(A)=0$

- $f(30)=10,6$

- $f(30)=-tan(24,6)$

somit erhaltet man folgendes Gleichungssystem

$I)f(A)=a*A^{2}+b*A+c=0$

$II)f(30)=a*30^{2}+b*30+c=10,6$

$III)f'(30)=a*60+b=-tan(24,6^{\circ })$

Hier folgt nun

$a={\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}$

$b={\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$

$c={\frac {53*A^{2}-3180*A-150*A^{2}*(-tan(24,6))+4500*A*(-tan(24,6))}{5*A^{2}-300*A+4500}}$

Somit erhält man die Funktion(en)

$f(x)={\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*x^{2}+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}*x+{\frac {53*A^{2}-3180*A-150*A^{2}*(-tan(24,6))+4500*A*(-tan(24,6))}{5*A^{2}-300*A+4500}}$ und

$f'(x)=2*{\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*x+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$

Um den Austrittswinkel zu bestimmen muss man die Steigung an der Stelle A berechnen.

Also

$f'(A)=2*{\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*A+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$ $f'(A)={\frac {-300A*tan(24,6)-5A^{2}*tan(24,6)+10A^{2}*tan(24,6)+4500*tan(24,6)-106*A+3180}{5A^{2}-300A+4500}}$

$f'(A)={\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}$

somit beträgt der Austrittswinkel/Eintrittswinkel

$\alpha =arctan({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$

Kurve nach dem Aufprall

- $f(0)=15$

- $f(A)=0$

- $f'(A)=-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$

somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem (wir ersetzen $-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$ mit Y)

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=15$

$II)f(A)=a*A^{2}+b*A+c=0$

$III)f'(A)=a*2A+b=Y$

Hier folgt nun

$a={\frac {A*Y+15}{A^{2}}}\rightarrow {\frac {A*(-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}))+15}{A^{2}}}\rightarrow {\frac {-5*tan(24,6)*A^{2}+150*tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}$

$b={\frac {-A*Y-30}{A}}\rightarrow {\frac {-A*(-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}))-30}{A}}\rightarrow {\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

$c=15$

Somit lautet die Funktion

$f(x)={\frac {-5*tan(24,6)*A^{2}+150*tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}*x^{2}+{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}+15$

und

$f'(x)=2*{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-31A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}*x+{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man an die Steigung an der Stelle 0 berechnen.

$f'(0)={\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel folgendermaßen

$\alpha =\arctan({\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}})$

Ergebnis
Abwurfwinkel	Eintrittswinkel in Becher	Eintrittswinkel/Austrittswinkel vor und nach dem Aufprall	Aufprallort
$\alpha =\arctan({\frac {5tan(24,6)A^{2}-150tan(24,6)A-256A+4500}{5A(A-30)}})$	$24,6^{\circ }$	$\beta =arctan({\frac {5Atan(24,6)-150tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$	$A=[10;15]$


Funktion vor Aufprall
$f(x)={\frac {-5tan(24,6)A^{2}+150tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}(A-30)}}x^{2}+{\frac {5tan(24,6)A^{2}-150tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}+15$ $x=[0;A]$


Funktion nach Aufprall
$f(x)={\frac {-5A(-tan(24,6))+150(-tan(24,6))-53}{5A^{2}-300A+4500}}x^{2}+{\frac {A^{2}(-tan(24,6))-900(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60A+900}}x+{\frac {53A^{2}-3180A-150A^{2}(-tan(24,6))+4500A(-tan(24,6))}{5A^{2}-300A+4500}}$ $x=[A;30]$

Uni-Niveau

Ansatz

Mit welchen Winkel und wie fest muss ich den Tischtennisball abwerfen für einen erfolgreichen Wurf?
Je nach Modell werden verschiedene Kräfte angenommen die auf den Tischtennisball einwirken

1. Zyklus Mit welchem Winkel und wie fest muss ich den Tischtennisball abwerfen für einen erfolgreichen Wurf

Wir versuchen zunächst mithilfe von Interpolation einen Graph zu konstruieren, um mit diesem einen Graph zu generieren, welcher die Flugbahn ermittelt. So können wir den Winkel und die Steigung an dem Abwurfpunkt berechnen und so einen möglichen erfolgreichen Wurf darzustellen.

Wir verwenden hier die Newton Interpolation um diese darzustellen.

Newton Interpolation

Wir benötigen zunächst von uns gewählte Punkte um den Graph interpolieren zu lassen.

Wir legen zunächst fest, dass der Abwurfpunkt fest gewählt wird, die Distanz zwischen Becher und Tischkante, den 1. Aufprallpunkt, und die maximale Höhe des ersten Aufpralls. Wir gehen zunächst davon aus, dass wir keine Energie verlieren.

Wieso wissen wir doe Koordinaten des Maximums nach dem ersten Aufprall?

WIr gehen davon aus, dass die Flugkurve nach dem ersten Wurf parabolisch ist (empirische Versuche) und wir besitzen den 1. Aufprallpunkt und den Standpunkt des Bodens vom Becher (Nullpunkte der Parabel). Außerdem gingen wir davon aus, dass der Ball keine Energie verliert, und somit das Maximum die Höhe vom Abwurfpunkt sein kann. Zu dem muss das Maximum höher sein, als die Becherhöhe, weil der Ball sonst an dem Becher abprallt. Also wählen wir eine höhe in der der Ball tatsächlich reinfallen kann.

Um dies zu bestimmen müssen wir zunächst den 1. Aufprallpunkt des Tischtennisballs bestimmen und dann den 2. um die etwaige Distanz zum ersten Aufprall zu ermitteln.

Hierfür werden wir eine Kamera benutzen und stellen so eine Situation nach

Zum einen wird die Höhe festgelegt.

Diese beträgt 20 cm.

Nun wird der Abstand zwischen dem Abwurf und des erstens und zweiten Aufpralls bemessen in dem man eine Reihe von Versuchen durchführt.

Der Versuch könnte wie folgt aussehen:

Datei:Abstand.png

Der Ball wird auf die Höhe von 20 cm hochgelegt (mithilfe von Büchern o.ä.) und erfährt eine konstante Geschwindigkeit. Man nimmt den Versuch auf und misst den Abstand des ersten Aufpralls und dann des zweitens.

Somit kann man das Verhältnis zwischen den des ersten Aufpralls und des zweitens Aufpralls ermitteln und kann bei festen Abstand des Bechers den Abstand des ersten Aufpralls errechnen.

Somit erhält man folgende Rohdaten

Datei:Rohdaten Rage Cage Uni Niveau.png

Somit haben wir das ungefähre Verhältnis zwischen den ersten Aufprall und des zweiten Aufpralls.

Dieser liegt bei 1 : 3

Dh. das der Aufprall des ersten Wurfs bei ca eindrittel des Gesamtabstands zwischen Abwurf und Becher sein muss.

Der Abstand wird hier fest gewählt.

Der liegt bei 30 cm.

Datei:Weite Wurf.png

So können wir nun ein etwaiges Bild erschaffen mit den Stützstellen (A,B,C,D)

Datei:Parabel 3 Piunkte Becher.png

Somit haben wir folgende Punkte

$A=(x_{0};y_{0})=(0;0,2)$ -> Abwurfpunkt

$B=(x_{1};y_{1})=(0,1;0)$ -> erster Aufprall Punkt

$C=(x_{2};y_{2})=(0,2;0,2)$ -> Maximum nach ersten Aufprall

$D=(x_{3};y_{3})=(0,3;0)$ -> Distanz Becher und Tischkante

Datei:Zyklus 1 Punkte .png

Nun können wir mithilfe der Newton-Interpolationformel die Punkte interpolieren lassen.

Wir besitzen 4 Punkte und können die Aussage tätigen, dass wir ein Polynom 3. Grades besitzen in der Form:

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

Die Newton Interpolationformel lautet in diesem Fall

$P(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+a_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})$

Setzen wir jetzt $x_{j}$ mit $j=[0,1,2]$ aus den gegebenen Punkten ein.

$P(x)=a_{0}+a_{1}(x-0)+a_{2}(x-0)(x-0,1)+a_{3}(x-0)(x-0,1)(x-0,2)$

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}(x^{2}-0,1x)+a_{3}(x^{3}-0,3x^{2}+0,2x)$

$P(x)=a_{0}+(a_{1}x)+(a_{2}x^{2}-0,1a_{2}x)+(a_{3}x^{3}-0,3a_{3}x^{2}+0,2a_{3}x)$

Nun bestimmen wir $a_{i}$ mit $i=[0,1,2,3]$

$y_{0}=a_{0}$

$y_{1}=a_{0}+a_{1}(x_{1}-x_{0})$

$y_{2}=a_{0}+a_{1}(x_{2}-x_{0})+a_{2}(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})$

$y_{3}=a_{0}+a_{1}(x_{3}-x_{0})+a_{2}(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})+a_{3}(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})$

Nun setzen wir die Punkte für $y_{k}$ mit $k=[0,1,2,3]$ und $x_{l}$ mit $l=[0,1,2,3]$

somit folgt

$y_{0}=a_{0}=0,2$

$y_{1}=a_{0}+a_{1}(x_{1}-x_{0})=0,2+a_{1}(0,1-0)=0$

$\Longleftrightarrow$ $a_{1}={\frac {-0,2}{0,1}}=-2$

$y_{2}=a_{0}+a_{1}(x_{2}-x_{0})+a_{2}(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})=0,2+(-2)(0,2-0)+a_{2}(0,2-0)(0,2-0,1)=0,2$

$\Longleftrightarrow$ $a_{2}=20$ $y_{3}=a_{0}+a_{1}(x_{3}-x_{0})+a_{2}(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})+a_{3}(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})=0,2+(-2)(0,3-0)+20(0,3-0)(0,3-0,1)+a_{3}(0,3-0)(0,3-0,1)(0,3-0,2)=0$

$\Longleftrightarrow$ $a_{3}={\frac {-400}{3}}$

Wir setzen die Werte für $a_{i}$ mit $i=[0,1,2,3]$ in die Newton Interpolinationsformel ein.

$P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}(x^{2}-0,1x)+a_{3}(x^{3}-0,3x^{2}+0,2x)$

$P(x)=a_{0}+(a_{1}x)+(a_{2}x^{2}-0,1a_{2}x)+(a_{3}x^{3}-0,3a_{3}x^{2}+0,2a_{3}x)$

$P(x)=0,2+(-2x)+20x^{2}-2x-{\frac {400}{3}}x^{3}+40x^{2}-{\frac {80}{3}}x={\frac {-400}{3}}x^{3}+60x^{2}-6,67x+0,2$

Da wir nun das Polynom besitzen, wird geschaut welche Steigung die Tangente an der Stelle (0;0,2) besitzt, um die Geschwindigkeit in zu ermiteln.

Dafür benötigen wir zunächste die Ableitung von P(x)

$P\prime (x)=-400x^{2}+120x-6,67$

Um nun die Tangente an der Stelle $(0;0,2)$ zu ermitteln benötigen wir die Tangentengleichung.

Sie lautet wie folgt:

$t(x)=f\prime (x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

Wendet man diese hier an folgt

$t(x)=P\prime (0)(x-0)+P(0)=-6,67x+0,2$

Man kann nun aus der Funktiom t(x) interpretieren, dass man den Ball mit -6,67 ${\frac {m}{s}}$ abwerfen muss, da die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz ist.

Den Winkel $(\beta )$ ermittelt man,indem man den Schnittpunkt der Tangentenfunktion mit der x-Achse ermittelt, danach den Winkel ausrechnet und abschließend 180° - 90° - $\alpha =\beta$ rechnet.

$tan(\alpha )=m=-6,67$ $\Longleftrightarrow arctan(-6,67)=-81,47345^{\circ }=\alpha$

Da wir eine negative Steigung besitzen erhalten wir zunächst einen negativen Winkel. Wir nehmen nun den Betrag und können so den gesuchten Winkel $\beta$ errechnen.

$180^{\circ }-90^{\circ }-81,47^{\circ }=\beta =8,53^{\circ }$

Mann kann nun herauslesen, dass man mit dem Winkel 8,53° den Tischtennisball abwerfen muss.

Nun können wir mithilfe Geogebra die Funktion den Winkel plotten

Datei:Polynominterpolation zyklus 1.png

Weitere Vorgehensweisen

Man kann ebenfalls die Lagrange-Interpolation verenden um das Polynom zu interpolieren.

Mithilfe wxMaxima können wir ebenalls die Punkte interpolieren lassen und den Graph plotten.

Problematik

Wir sehen hier, dass der Graph in den negativen y-Bereich wandert (dadurch wird Winkel $\beta$ spitzer, die Geschwindigkeit erhöht sich), unser vermeintliches Maximum überschritten wird und unser Graph zwischen den Punkten A und B einen Linkskurve besitzt, wodurch diese SImulation dem realen Leben fernbleibt.

WIr müssen nun also einen anderen Weg einschlagen, um die optimale Kurve zu plotten.

Analytische Herangehensweise

In diesem Fall wird der Luftwiderstand vernachlässigt.

Der schräge Wurf

Der schräge Wurf ist eine Kombination aus einer gleichförmigen Bewegung in X-Richtung und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Y-Richtung. Man kann daher den Bewegungsverlauf (Bahnkurve) in einem -Diagramm darstellen

Datei:Schwrägerwurf 1 .png

V lässt sich daher in zwei Teilrichtungen aufteilen. Einmal in $v_{x}$ und einmal in $v_{y}$

Datei:Schräger wurf 2.png

Die Anfangsgeschwindigkeit teilt sich je nach Abwurfwinkel auf ihre Komponenten und auf:

$v={\sqrt {(v_{x})^{2}+(v_{y})^{2}}}$ mit

$v_{x}(t)=cos(\alpha )*v$

und

$v_{y}(t)=sin(\alpha )*v-g*t$

Um die Bahngleichung herzuleiten benötigt man zunächst die Ort-Zeit-Gesetz der beiden Bewegungskomponenten.

$x(t)=v*cos(\alpha )*t$

und

$y(t)={\frac {g}{2}}*t^{2}+v*sin(\alpha )*t+y_{0}$

Die x- Komponente wird nun nach t aufgelöst und in y(t) eingesetzt.

$x(t)=v*cos(\alpha )*t\Rightarrow t={\frac {x}{v*cos(\alpha )}}$

also

$y(t)={\frac {g}{2v^{2}*[cos(\alpha )]^{2}}}*x^{2}+x*tan(\alpha )+y_{0}$

da wir nun auch wissen wollen wie fest wir den Ball werfen möchten stellen wir die Formel einfach nach v um:

$v={\sqrt {\frac {gx}{2*cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )-{\frac {y-y_{0}}{x}})}}}$

um einen realistischen Wurf zu modellieren werden Winkel zwischen

0° und -30° berechnet.

Um weitere Rohwerte zu ermitteln werden weitere Daten benötigt:

Zum einen wird die Höhe festgelegt.

Diese beträgt 20 cm.

Nun wird der Abstand zwischen dem Abwurf und des erstens und zweiten Aufpralls bemessen in dem man eine Reihe von Versuchen durchführt.

Der Versuch könnte wie folgt aussehen:

Datei:Abstand.png

Der Ball wird auf die Höhe von 20 cm hochgelegt (mithilfe von Büchern o.ä.) und erfährt eine konstante Geschwindigkeit. Man nimmt den Versuch auf und misst den Abstand des ersten Aufpralls und dann des zweitens.

Somit kann man das Verhältnis zwischen den des ersten Aufpralls und des zweitens Aufpralls ermitteln und kann bei festen Abstand des Bechers den Abstand des ersten Aufpralls errechnen.

Somit erhält man folgende Rohdaten

Datei:Rohdaten Rage Cage Uni Niveau.png

Somit haben wir das ungefähre Verhältnis zwischen den ersten Aufprall und des zweiten Aufpralls.

Dieser liegt bei 1 : 3

Dh. das der Aufprall des ersten Wurfs bei ca eindrittel des Gesamtabstands zwischen Abwurf und Becher sein muss.

Der Abstand wird hier fest gewählt.

Der liegt bei 30 cm.

Datei:Weite Wurf.png

Der Winkel wird hier zwischen 0° und 30° gewählt, um ein realistisches Modell darzustellen.

Datei:Winkel Ball.png

Nun besitzen wir genug Daten und lassen es mit Tabellenkalkulation die Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels ermessen.

$g=9,81{\frac {m}{s^{2}}}$

$x=0,1m$

$\alpha =[0^{\circ },-30^{\circ }]$

$y_{0}=0,2m$

Datei:Rohdaten wurf 2 .png

Nun wissen wir mit welcher Geschwindigkeit wir den Ball abwerfen müssen, um genau den ersten Aufprallpunkt zu bestimmen.

Es stellt sich von da an die Frage ob der Ball nach dem ersten Aufprall immer noch in den Becher fliegt oder nicht.

Wir gehen davon aus, dass der Ball nach dem 1. Aufprall mit der selben Geschwindigkeit und dem gleichen Austrittswinkel wie der Eintrittswinkel wieder nach oben springt.

Wir müssen also als erstes für alle Winkel zwischen 0° und -30° die Geschwindigkeit kurz vor dem 1. Aufprallpunkt ermitteln.

Die Geschwindigkeit $v$ wird mithilfe des Pythagoras zunächst ermittelt.

Datei:Aufprall winkel ball 1 .png

Die Geschwindigkeit auf der x-Achse ist für uns bekannt. Diesen können wir aus der Abbildung oben rauslesen bei 0°.

Die Geschwindigkeit des Balls ist auch klar da wir diese ausgerechnet haben.

Wir benötigen den Zeitpunkt, vom ersten Aufprall.

Diesen können wir mithilfe des Orts-Weg-Gesetzes in y-Richtung für alle Winkel zwischen 0° und -30° bestimmen.

$y(t)={\frac {g}{2}}*t^{2}+v_{0}*sin(\alpha )*t+y_{0}$

mit

$g=9,81$

$y_{0}=0,2$

$v_{0}$ aus Tabelle

$\alpha =[0^{\circ },-30^{\circ }]$

Mithilfe der A-B-C-Formel können wir die Zeit nun ausrechnen die der Ball benötigt um den Tisch zuberühren und erhalten folgende Werte.

Datei:Zeit Aufprall Ball.png

Nun können wir mithilfe des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Geschwindigkeit in y-Richtung berechnen. $v_{yNeu}=v_{0}*sin(\alpha )-g*t$

Datei:V y berechnet.png

Nun besitzen wir $v_{x}$ und $v_{yNeu}$ und können mit den beiden Komponenten $v$ aus der Abbildung berechnen mithilfe des Pythagoras.

Datei:V-Neu-Gesamt.png

Aus diesen Daten können wir nun den Winkel des Aufprallpunkte bestimmen mithilfe des $arcsin(\beta )$ .

Datei:Eintrittswinkel Ball.png

Wir gehen zunächst davon aus das wir keine Energie verlieren und wir gehen davon aus, dass der Ball sich wie bei der Lichtreflektion verhällt, somit den selben Einfallswinkel besitzt als auch der Ausfallswinkel. Zu dem gehen wir davon aus dass der Ball keine Geschwindigkeit nach dem Aufprall verliert.

Somit haben wir wieder einen Schrägen-Wurf und können dies in die Wurfparabel einsetzen.

mit

$\beta =$ aus Tabelle

$v=$ aus Tabelle

$g=9,81{\frac {m}{s^{2}}}$

und haben für jeden Winkel, Geschwindigkeit eine eigene Wurfparabel, mit der wir ermitteln können, ob bei festen Standort der Ball in den Becher fliegt.

Ich habe nun den größten bzw. den kleinsten Winkel geplottet um zu schauen wie sich die Parabell verhält.

Datei:Zweiter aufprall punkt .png

Die Strecke g,j soll den Durchmesser der Öffnung darstellen.

Mithilfe von GeoGebra können können wir die Flugkurve nach dem ersten Aufprall simulieren.

Laut der Simulation sollte der Ball in jedem Fall in den Becher fallen.

Zyklus 2. Verhalten des Balls nach dem ersten Aufprall

Nach empirischen Versuchen verhällt sich der Ball nicht optimal wie ein Lichtstrahl und verliert an Höhe nach dem ersten Aufprall.

Durch empirische Versuche verliert der Ball bei geringeren Höhen ca 10% an Höhe.

Wir gehen davon aus, dass der Austrittswinkel nicht dem Eintrittswinkel gleicht.

Die Geschwindigkeit in x-Richtung ist stehts die selbe.

Die Geschwindigkeit in y-Richtung veringert sich jedoch, wodurch sich die Höhe nach dem ersten Aufprall verkleinert.

Datei:Zyklus 1 Verlust Höhe.png

Somit besitzen wir neue Austritts-Geschwindigkeiten mit $v_{2}$ und $v_{y2}$ und einen neuen Austrittswinkel $\beta _{2}$ , welche wir durch Tabellenkalkulation plotten können.

Datei:Zyklus 2 Verlust austrittsgeschwindigkeit .png

Somit können wir mithilfe von Geogebra eine neue Kurve plotten.

Nach dieser Simulation trifft nun nur noch ein Bruchteil die Kurve.

Hier wären die Winkel mit erfolgreichem Wurf zwischen [0°,-6°]

3. Zyklus Die einwirkenden Kräfte

Gravitationskraft

Die Gravitationskraft $F_{G}$ wirkt stets senkreckt zum Boden zum Erdmittelpunkt hin mit folgender Formel:

$F_{G}=m*g$ mit

$F_{G}$ => Gravitationskraft

$m=2,7g$ => Masse

$g:=9,81{\frac {m}{s^{2}}}$ => Erdbeschleunigung

Luftwiderstand

Der Luftwiderstand $F_{L}$ wirkt stets entgegen die Bewegungsrichtung des Tischtennisballs. Um diese Kraft zu bestimmen wird hier das Modell der Newtonische Reibgung verwendet mit folgender Formel:

$F_{L}={\frac {c_{W}*A*p*v^{2}}{2}}$ mit

$F_{L}$ => Luftwiderstand

$c_{W}=0,45$ => Widerstandsbeiwert

$A\approx 0.0012566m^{2}$ => Querschnittsfläche

$p\approx 1,2041{\frac {kg}{m^{3}}}$ => Dichte der Luft

$v$ => Geschwindigkeit

Also läge der Luftwiderstand in Abnhänigkeit der Geschwindigkeit bei folgenden Werten.

$F_{L}=0,003{\frac {kg}{m}}*v$

Somit können wir für jeden Winkel den Luftwiderstand berechnen indem wir den Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des schrägen Wurf in betracht ziehen.

Wir haben es oben kurz angedeutet.

$v_{x}=v_{0}*cos(\alpha )$ Geschwindigkeit in x-Richtung (konstant)

$v_{y}=v_{0}*sin(\alpha )-g*t$ Geschwindigkeit in y-Richtung (beschleunigt)

Momentane Geschwindigkeit mithilfe des Satz des Pythagoras

$v(t)={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$

$v(t)={\sqrt {(v_{0}*cos(\alpha ))^{2}+(v_{0}*sin(\alpha )-g*t)^{2}}}$

$v(t)={\sqrt {v_{0}^{2}*cos(\alpha )^{2}+v_{0}^{2}*sin(\alpha )^{2}-2v_{0}*sin(\alpha )*g*t+g^{2}t^{2}}}$ (beachte im nächsten Schritt $cos(\alpha )^{2}+sin(\alpha )^{2}=1$ )

$v(t)={\sqrt {v_{0}^{2}+g^{2}*t^{2}-2*v_{0}*sin(\alpha )*g*t}}$

Nun können wir die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der Zeit berechnen.

Wir werden nun als Beispiel die Winkel 0°,-15°,-30° wählen und haben anschließend folgende Werte.

Datei:Winkelzeitesetz zyklus 3.png

Nun können wir jede Geschwindigkeit in Abhängigkeit des Winkels bzw. der Zeit in unsere Luftwiderstandformel anwenden und können somit den Luftwiderstand in jeder Sekunde bzw Geschwindigkeit berechnen.

Datei:Luftwiderstand zyklus 3.png

Weitere Faktoren könnte man beachten

Magnus-Effekt

Beim Magnus-Effekt wird der Drall des Balls mitberücksichtigt,da dieser die Flugkurve verändern kann.

Durchmesser des Balls

Der Durchmesser des Balls wurde hier nicht berücksichtigt. Man ginge in der Simulation davon aus, dass der Ball ein Punkt ist. Jedoch hat der einen Durchmesser den man mitbeachten müsste.

Beschaffenheit des Tisches

Nicht jeder Tisch ist gleich! Es kann sein das Kunststofftische anderes federn als Stein oder Holztische. Man könnte das Verhalten des Balls anhand Versuchen auf mehreren Medien simulieren und das Verhalten dokumentieren.