1 Einleitung

Synchron-Reluktanzmaschinen (SynRM) haben eine immer größer werdende Bedeutung in der Industrie. Nicht zuletzt der höhere Wirkungsgrad verglichen mit herkömmlichen Asynchronmaschinen (ASM) im Teillast-Bereich bzw. bei geringer Drehzahl erklärt diesen Trend [1,2,3, 11]. Ebenso die einfache und kostengünstige Produktion der Rotoren macht diesen Motortyp attraktiv für den breiten industriellen Einsatz und stellt eine wesentliche wirtschaftliche Konkurrenz zur hoch effizienten Permanentmagnet-erregten Synchronmaschine (PMSM) dar. Um den Wirkungsgrad der SynRM noch weiter zu erhöhen, wäre der Einsatz einer Permanentmagnet unterstützen SynRM denkbar [17]. Dies stellt einen Kompromiss zwischen der kostengünstigen SynRM ohne Permanentmagnete und der hoch effizienten PMSM dar. Ein weiterer wesentlicher Aspekt bei SynRM ist der mögliche lagegeberlose Betrieb [5, 6, 13]. Dieser reduziert zum einen die Anschaffungs- und Wartungskosten, zum anderen wird die Ausfallsicherheit erhöht. Reluktanzmaschinen haben allerdings, je nach Rotortyp, auch gewisse Nachteile. Die Maschine mit Flussbarrieren benötigt beispielsweise einen minimalen Sättigungsstrom um eine Achsigkeit zu erzeugen, welche zum Aufbau eines Drehmoments notwendig ist [8]. Diese minimale Achsigkeit wird auch für einen lagegeberlosen Betrieb benötigt, was ausführlich in [13] behandelt wurde. Eine Maschine mit ausgeprägten Polen hat dieses Problem beispielsweise nicht. Bei diesem Maschinentyp werden allerdings vermehrt harmonische Störgrößen generiert [4], welche sich negativ auf diverse Anwendungen auswirken können. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der gezielten Reduktion einer, durch die Anwendung festgelegten, Störgröße einer Reluktanzmaschine mit ausgeprägten Polen.

2 Mathematische Grundgleichungen der SynRM

Die SynRM lässt sich am einfachsten im rotorfesten Koordinatensystem, dem dq-Koordinatensystem, beschreiben. Die d-Achse ist hierbei jene Achse, welche in die Richtung der kleinst möglichen Reluktanz weißt, wodurch die q-Achse, elektrisch orthogonal darauf stehend, in die Richtung des größten magnetischen Widerstands zeigt (siehe Abb. 1). Die Abweichung der d-Achse von der Symmetrieachse des ausgeprägten Pols kommt daher, dass der Winkel \(\beta _{P}\) zwischen den einzelnen Polen nicht exakt \(90^{\circ}\) beträgt [4]. Mittels räumlicher Fourierreihen-Entwicklung der magnetischen Leitwertsverteilung lässt sich über den Grundschwingungsanteil die d-Achse bestimmen.

Abb. 1.
figure 1

Rotorblechschnitt der SynRM mit ausgeprägten Polen

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Wie bereits in Abschn. 1 erwähnt, handelt es sich bei der untersuchten Maschine um eine SynRM mit ausgeprägten Polen [4]. Dieser Typ von Maschine weist praktisch keinerlei Sättigungseffekte in der q-Richtung auf, wodurch der Ansatz \(l_{q} = \text{konst.}\) gerechtfertigt ist. Bei der Längsinduktivität können Sättigungseffekte in guter Näherung als Funktion des Längsstroms \(i_{d}\) berücksichtigt werden, d.h. es gilt \(l_{d} = l_{d}(i_{d})\). Es lassen sich folglich die Grundwellen-Flussverkettungsgleichungen gemäß (2.1) und (2.2) aufstellen.

$$\begin{aligned} \psi _{d} &= l_{d}(i_{d}) i_{d} \end{aligned}$$
(2.1)
$$\begin{aligned} \psi _{q} &= l_{q} i_{q} \end{aligned}$$
(2.2)

Hierbei repräsentiert \(\underline{\psi} = \psi _{d} + j \psi _{q}\) den komplexen, bezogenen Flussverkettungsraumzeiger, \(\underline{i} = i_{d} + j i_{q}\) den komplexen, bezogenen Stromraumzeiger, \(l_{d}\) die bezogene Längsinduktivität und \(l_{q}\) die bezogene Querinduktivität.

Abbildung 2 stellt den Verlauf der gemessenen Induktivitäten \(l_{d}\) und \(l_{q}\) bzw. \(l_{d}(45^{\circ})\) und \(l_{q}(45^{\circ})\) als Funktion des jeweiligen Stromes \(i_{d}\) und \(i_{q}\) dar. Die Messung von \(l_{d}(i_{d})\) und \(l_{q}(i_{q})\) wurden mittels reinem q-Strom \(i_{q}\) bzw. reinem d-Strom \(i_{d}\) durch geführt. Dies hat den Effekt, dass die magnetische Kopplung zwischen der d- und der q-Achse keine Rolle spielt (siehe Gl. (4.11) und (4.12)). Analog dazu wurden die Induktivitäten \(l_{d}(45^{\circ})\) und \(l_{q}( 45^{\circ})\) mittels eines Stromraumzeigers gemessen, welcher \(45^{\circ}\) im dq-Koordinatensystem steht. Hierbei würde eine Querkopplung ins Gewicht fallen, da sowohl die d-Stromkomponente als auch die q-Stromkomponente ungleich 0 wären. Aus Abb. 2 ist ersichtlich, dass kaum ein Unterschied zwischen der Messung von \(l_{d}\) und \(l_{d}(45^{\circ})\) bzw. \(l_{q}\) und \(l_{q}(45^{\circ})\) erkennbar ist. In anderen Worten bedeutet dies, dass die magnetische Kopplung zwischen der d- und der q-Achse vernachlässigbar klein ist und der vereinfachte Ansatz (2.1) und (2.2) gerechtfertigt ist.

Abb. 2.
figure 2

Gemessene bezogene Induktivitäten \(l_{d}\) und \(l_{q}\) bzw. \(l_{d}(45^{\circ})\) und \(l_{q}(45^{\circ})\) als Funktion des jeweiligen Stromes \(i_{d}\) und \(i_{q}\)

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Der komplexe, bezogene Statorspannungsraumzeiger \(\underline{u} = u _{d} + j u_{q}\) lässt sich mit (2.1) und (2.2) in einfachster Form über die verkoppelten Differentialgleichungen (2.3) und (2.4) beschreiben.

$$\begin{aligned} u_{d} &= r i_{d} + l_{d}(i_{d}) \frac{di_{d}}{d\tau } - \omega _{m} l_{q} i_{q} \end{aligned}$$
(2.3)
$$\begin{aligned} u_{q} &= r i_{q} + l_{q} \frac{di_{q}}{d\tau } + \omega _{m} l _{d}(i_{d}) i_{d} \end{aligned}$$
(2.4)

Hierbei repräsentiert \(r\) den bezogenen Statorwiderstand und \(\omega _{m}\) die bezogene, elektrische Kreisfrequenz. Schlussendlich kann man aus den bisherigen Gleichungen auf die Gleichung für das bezogene Drehmoment \(m\) (2.5) schließen.

$$\begin{aligned} m = & -\operatorname{Im} \bigl\{ \underline{\psi } \underline{i^{*}} \bigr\} = \bigl( l_{d}( i_{d})-l_{q} \bigr) i_{d} i_{q} \end{aligned}$$
(2.5)

3 Darstellung der Problematik

Durch die Wahl der Rotorgeometrie kann man gezielt diverse Betriebsverhalten einer SynRM optimieren. Beispielsweise kann durch die Wahl einer Maschine mit ausgeprägten Polen der Wirkungsgrad im Vergleich zur Maschine mit Flussbarriere-Rotor erhöht werden [7]. Dies hat allerdings den Nachteil, dass die ungewollten harmonische Größen deutlich stärker ausfallen [4, 8]. Das Ausmaß des Auftretens der Harmonischen wird durch folgende Messungen an der Maschine im herkömmlichen feldorientierten, sensorbehafteten Betrieb analysiert.

Um diverse Koordinatentransformationen und mathematische Aufbereitungen aus der Messung herauszuhalten, wurde für die Analyse der gemessene Strom bzw. die Spannung der Phase U herangezogen. Diese Größen entsprechen, aufgrund der Sternschaltung der Maschine, dem Strom \(i_{\alpha }\) und der Spannung \(u_{\alpha }\). Das Spektrum des Stromes \(i_{\alpha }\) (siehe Abb. 3) und der Spannung \(u_{\alpha }\) (siehe Abb. 4) wird als Funktion des Betrags des bezogenen Stromraumzeigers \(|\underline{i}_{\alpha \beta }|\) und der elektrischen Rotorwinkelgeschwindigkeit \(\omega _{m}\) dargestellt.

Abb. 3.
figure 3

Strom-Rippel als Funktion der Frequenz \(\omega _{m}\) und des Betrags des Statorstromraumzeigers \(|\underline{i}_{\alpha ,\beta }|\)

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Abb. 4.
figure 4

Spannungs-Rippel als Funktion der Frequenz \(\omega _{m}\) und des Betrags des Statorstromraumzeigers \(|\underline{i}_{\alpha , \beta }|\)

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Aus Abb. 3 und Abb. 4 ist ersichtlich, dass die dominanten harmonischen Rippel bei der 11-ten und 13-ten sowie bei der 5-ten und 7-ten Harmonischen liegen. Dieser Effekt der Erzeugung der harmonischen Störgrößen lässt sich nicht mit dem im Kap. 2 angeführten Modell beschreiben, wodurch das Modell erweitert werden muss.

4 Erweitertes mathematisches Modell

Ein Ansatz zur Lösung des Problems ist die Erweiterung der Längs- und Querinduktivität um eine winkelabhängige Komponente. Der Vollständigkeit halber wird anfänglich das Grundschwinungsmodell noch mit gerechnet, wobei im späteren Verlauf der Herleitung der Fokus auf dem Oberschwingungsmodell liegt. Die zuvor erwähnte Winkelabhängigkeit kann in erster Näherung, bei konstanter Drehzahl, in folgende Zeitabhängigkeit übersetzt werden.

$$\begin{aligned} l_{d}(\tau ) &= l_{d,0} + l_{d,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.1)
$$\begin{aligned} l_{q}(\tau ) &= l_{q,0} + l_{q,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.2)

\(l_{d,0}\) und \(l_{q,0}\) stellen die zeitunabhängigen Anteile gemäß Kap. 2 dar und \(l_{d,k}(\tau )\) und \(l_{q,k}(\tau )\) werden zur Modellierung der k-ten harmonischen Effekte herangezogen. Ebenso lässt sich der komplexe bezogene Strom- und Spannungsraumzeiger in einen Grundschwingungsanteil und einen Anteil der k-ten Harmonischen aufteilen.

$$\begin{aligned} u_{d}(\tau )& = u_{d,0} + u_{d,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.3)
$$\begin{aligned} u_{q}(\tau ) &= u_{q,0} + u_{q,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.4)
$$\begin{aligned} i_{d}(\tau ) &= i_{d,0} + i_{d,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.5)
$$\begin{aligned} i_{q}(\tau ) &= i_{q,0} + i_{q,k}(\tau ) \end{aligned}$$
(4.6)

Durch die zeitlich veränderlichen Induktivitäten muss die Gleichung für den Statorspannungsraumzeiger ebenfalls adaptiert werden, was zu den Gl. (4.7) und (4.8) führt.

$$\begin{aligned} u_{d} &= r i_{d} + \frac{d\psi _{d}}{d\tau } - \omega _{m} l_{q} i_{q} \\ &= r i_{d} + \frac{d l_{d}(i_{d})}{d \tau } i_{d} + l_{d}(i _{d}) \frac{di_{d}}{d\tau } - \omega _{m} l_{q} i_{q} \end{aligned}$$
(4.7)
$$\begin{aligned} u_{q} &= r i_{q} + \frac{d\psi _{q}}{d\tau } + \omega _{m} l_{d}(i _{d}) i_{d} \\ &= r i_{q} + \frac{d l_{q}}{d \tau } i_{q} + l_{q} \frac{di _{q}}{d\tau } + \omega _{m} l_{d}(i_{d}) i_{d} \end{aligned}$$
(4.8)

Um das System möglichst einfach zu halten, wurde die Stromabhängigkeit der Längsinduktivität unabhängig vom Rippelstrom \(i_{d,k}\) gewählt. Es gilt somit näherungsweise \(l_{d}(i_{d}) \approx l_{d}(i_{d,0}) = l_{d}\).

Unter Verwendung von Gl. (4.3)–(4.8) und der Annahme konstanter Drehzahl lässt sich die Statorspannungsgleichung der \(d\)-Richtung (4.9) und \(q\)-Richtung (4.10) wie folgt angeben.

$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] u_{d,0} + u_{d,k}(\tau ) &= r ( i_{d,0} + i_{d,k} ) + \frac{d l_{d,k}}{d \tau } ( i_{d,0} + i_{d,k} ) \\ &\quad{}+ (l_{d,0} + l_{d,k} ) \frac{d i_{d,k}}{d\tau } - \omega _{m} (l_{q,0} + l_{q,k} ) ( i_{q,0} + i _{q,k} ) \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.9)
$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] u_{q,0} + u_{q,k}(\tau ) &= r ( i_{q,0} + i_{q,k} ) + \frac{d l_{q,k}}{d \tau } ( i_{q,0} + i_{q,k} ) \\ &\quad{}+ ( l_{q,0} + l_{q,k} ) \frac{d i_{q,k}}{d\tau } + \omega _{m} (l_{d,0} + l_{d,k} ) ( i_{d,0} + i _{d,k} ) \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.10)

Durch Separation und Umformung der Grundschwingungsanteile aus Gl. (4.9) und (4.10) erhält man eine Gleichung für die Grundschwingungsinduktivität in d-Richtung (4.11) und q-Richtung (4.12).

$$\begin{aligned} l_{d,0} &= \frac{u_{q,0} - r i_{q,0}}{\omega _{m} i_{d,0}} \end{aligned}$$
(4.11)
$$\begin{aligned} l_{q,0} &= -\frac{u_{d,0} - r i_{d,0}}{\omega _{m} i_{q,0}} \end{aligned}$$
(4.12)

Aus den übrigen Termen lässt sich ein nichtlineares Differentialgleichungssystem (4.13) und (4.14) aufstellen, welches sich durch folgende Linearisierung um den Arbeitspunkt vereinfachen lässt.

$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] 0 &= ( i_{d,0} + i_{d,k} ) \cdot \frac{d l_{d,k}}{d \tau } + \biggl( \frac{d i_{d,k}}{d\tau } \biggr) \cdot l_{d,k} \\ &\quad{}- \bigl( \omega _{m} ( i_{q,0} + i_{q,k} ) \bigr) \cdot l_{q,k} \\ &\quad{}+ \biggl( r i_{d,k} - u_{d,k} + l_{d,0} \frac{d i_{d,k}}{d \tau } - \omega _{m} l_{q,0} i_{q,k} \biggr) \\ &\approx i_{d,0} \cdot \frac{d l_{d,k}}{d\tau } + \frac{d i _{d,k}}{d\tau } \cdot l_{d,0} - \omega _{m} i_{q,0} \cdot l_{q,k} \\ &\quad{}+ r i_{d,k} - u_{d,k} - \omega _{m} l_{q,0} i_{q,k} \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.13)
$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] 0 &= ( i_{q,0} + i_{q,k} ) \cdot \frac{d l_{q,k}}{d \tau } + \biggl( \frac{d i_{q,k}}{d\tau } \biggr) \cdot l_{q,k} \\ &\quad{}+ \bigl( \omega _{m} ( i_{d,0} + i_{d,k} ) \bigr) \cdot l_{d,k} \\ &\quad{}+ \biggl( r i_{q,k} - u_{q,k} + l_{q,0} \frac{d i_{q,k}}{d \tau } + \omega _{m} l_{d,0} i_{d,k} \biggr) \\ &\approx i_{q,0} \cdot \frac{d l_{q,k}}{d\tau } + \frac{d i _{q,k}}{d\tau } \cdot l_{q,0} + \omega _{m} i_{d,0} \cdot l_{d,k} \\ &\quad{}+ r i_{q,k} - u_{q,k} + \omega _{m} l_{d,0} i_{d,k} \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.14)

Durch diese Vereinfachung kann das nichtlineare Differentialgleichungssystem in ein lineares überführt werden, wodurch die Anwendung der Laplace-Transformation (4.15) und (4.16) möglich ist. Die Laplace-Transformation ermöglicht die Einführung der Rippel-Komponente der Statorinduktivität bzw. im Bildbereich.

(4.15)
(4.16)

Durch Umformung auf die gesuchten Induktivitäten und erhält man die Gl. (4.17) und (4.18) im Bildbereich.

(4.17)
(4.18)

Zur Modellierung des Rippelstroms \(i_{d,k}\) und \(i_{q,k}\) und der Rippelspannung \(u_{d,k}\) und \(u_{q,k}\) wird die Messung, dargestellt in Abb. 5, herangezogen.

Abb. 5.
figure 5

Messung der bezogenen Statorspannung und des bezogenen Strangstroms im dq-Koordinatensystem im stromgeregelten Betrieb bei 600 U min−1

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Der bezogenen Rippelstrom- \({\underline{i}_{k} = i_{d,k} + j i_{q,k}}\) und Rippelspannungsraumzeiger \(\underline{u}_{k} = u_{d,k} + j u_{q,k}\) lassen sich gemäß Gl. (4.19) bis (4.22) bestimmen.

$$\begin{aligned} i_{d} &= i_{d,0} + \hat{i}_{d,k} \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned}$$
(4.19)
$$\begin{aligned} i_{q} &= i_{q,0} + \hat{i}_{q,k} \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned}$$
(4.20)
$$\begin{aligned} u_{d} &= u_{d,0} - \hat{u}_{d,k} \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned}$$
(4.21)
$$\begin{aligned} u_{q} &= u_{q,0} - \hat{u}_{q,k} \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned}$$
(4.22)

Gleichungen (4.19) bis (4.22) Laplace transformiert, in Gl. (4.17) und (4.18) eingesetzt und Partialbruch zerlegt ergibt den Rippelanteil der Induktivitäten im Bildbereich (4.23) und (4.24).

(4.23)
(4.24)

Nach der Rücktransformation ergibt sich für die zwölfte Harmonische \(k = 12\), d.h. \(k^{2}\gg 1\), die vereinfachten Induktivitäten zu (4.25) und (4.26).

$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] l_{d,k} \approx \frac{\hat{u}_{d,k} + r \hat{i}_{d,k}}{k \omega _{m} \frac{1}{i_{d,0}}} \cdot \sin (k \omega _{m} \tau ) + l_{d,0} \frac{\hat{i}_{d,k}}{i_{d,0}} \cdot \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.25)
$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] l_{q,k} \approx \frac{\hat{u}_{q,k} + r \hat{i}_{q,k}}{k \omega _{m} \frac{1}{i_{q,0}}} \cdot \sin (k \omega _{m} \tau ) + l_{q,0} \frac{\hat{i}_{q,k}}{i_{q,0}} \cdot \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{aligned} \end{aligned}$$
(4.26)

Diese zuvor getroffene Vereinfachung würde beispielsweise im Fall der sechsten Harmonischen \(k=6\) zwar einen etwas größeren Fehler nach sich ziehen als für \(k = 12\). Die so entstandenen Abweichungen des Modells zur Realität wären allerdings immer noch hinreichend gering und können vernachlässigt werden.

Abbildung 6 zeigt die mittels Gl. (4.25) und (4.26), sowie den Messungen (4.19) bis (4.22) bestimmten Induktivitäten \(l_{d}( \tau )\) und \(l_{q}(\tau )\). Dies zeigt, dass der anfänglich getroffene Ansatz einer winkel- bzw. (bei konstanter Drehzahl) zeitabhängiger Induktivität gerechtfertigt ist. Die Unterschiede der Amplitude der Oberschwinungsinduktivitäten \(l_{d,k}\) und \(l_{q,k}\) lässt sich auf die Unterschiedlich stark ausgeprägten Luftspalte der d- und der q-Richtung zurückführen (siehe Abb. 1)

Abb. 6.
figure 6

Berechnung des Verlaufs von \(l_{d}(\tau )\) und \(l_{q}( \tau )\) bei 600 U min−1

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5 Regelkonzept

Die in Kap. 3 auftretenden Harmonischen lassen sich nur durch eine Regelung unterdrücken, welche explizit die auftretenden Harmonischen berücksichtigt. Hierbei muss man grundsätzlich unterscheiden zwischen Rippelgrößen, die durch die PWM erzeugt werden [12] und Rippelgrößen, die durch die Maschinengeometrie hervorgerufen werden. Bei der vorliegenden Arbeit handelt es sich um den zweiten Fall, damit würde die naheliegendste Lösung sein, das Maschinendesign auf einen möglichst geringen Anteil an Oberschwingungen hin zu optimieren. Diese Optimierung wird allerdings durch Einbußen in der Performance erkauft [8].

Alternativ bzw. zusätzlich dazu kann die harmonische Störung im Sinne der Störgrößen-Vorsteuerung aufgeschaltet werden. Hier bleibt jedoch noch zu klären, wie die Störgröße gemessen bzw. bestimmt werden kann. Eine Variante ist die iterative Bestimmung der aufzuschalteten Größe, was allerdings einen Verzicht auf Determinismus nach sich zieht [10]. Eine weitere Variante ist das Anlegen eines Referenzsignals, welches empirisch oder mittels exakter motorspezifischer Modellierung offline ermittelt und in einer Tabelle abgespeichert wird [14, 16]. Nachteilig hierbei ist die Verringerung der Robustheit der Regelung bezüglich Parameterschwankungen bzw. der große Aufwand der notwendigen Anpassungen an einen Motortyp.

Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode der Bestimmung der Störgröße basiert auf dem Prinzip des Synchrondemodulators [9]. Sie hat den Vorteil, dass lediglich die Ordnung der störenden Harmonischen und die aktuelle Geschwindigkeit bzw. Frequenz bekannt sein muss. Dies macht das Verfahren universell einsetzbar und robust gegen Parameterschwankungen der Maschine. Abbildung 7 zeigt das Blockschaltbild des Synchrondemodulators , welcher über Gleichung (5.1) beschrieben werden kann.

$$\begin{aligned} \begin{aligned}[b] c(\tau ) &= \begin{pmatrix} \sin (k \omega _{m} \tau ) & \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) \\ \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) \end{pmatrix} \\ &\quad{}\cdot \varepsilon \int \begin{pmatrix} \sin (k \omega _{m} \tau ) \\ \cos (k \omega _{m} \tau ) \end{pmatrix} w(\tau ) d\tau \end{aligned} \end{aligned}$$
(5.1)
Abb. 7.
figure 7

Phasenunabhängiger Synchrondemodulator, Eingang \(w(\tau )\), Ausgang \(c(\tau )\)

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Mittels Laplace Transformation lässt sich die Übertragungsfunktion des phasenunabhängigen Synchrondemodulators, wie in (5.2) angegeben, bestimmen.

(5.2)

Abbildung 8 und 9 zeigen die Auswirkung der Variablen \(\varepsilon \) und \(\alpha \) auf den Betragsfrequenzgang des Filters. \(\varepsilon \) definiert die Schärfe des Bandpassfilters, wobei \(\alpha \) als Tuning-Parameter zur Stabilitätsanalyse herangezogen werden kann.

Abb. 8.
figure 8

Betragsfrequenzgang als Funktion von \(\varepsilon \)

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Abb. 9.
figure 9

Betragsfrequenzgang als Funktion von \(\alpha \)

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Es ist aus dem Betragsfrequenzgang ersichtlich, dass ein bestimmter Frequenzbereich aus dem Spektrum herausgefiltert wird, welcher anschließend entsprechend der Störgrößen-Aufschaltung auf das System wirkt. Die konkreten Aufschaltungsvarianten werden näher in Kap. 6 und 7 erläutert.

Es wird ein Dämpfungsgrad gemäß (5.3) definiert:

$$\begin{aligned} \xi = & \frac{-\kappa }{\sqrt{\kappa ^{2}+\mu ^{2}}}, \quad\text{wobei } \lambda _{i}=\kappa \pm j \mu \end{aligned}$$
(5.3)

Bezüglich der Stabilität des Reglerkonzepts wurde das in Kap. 4 vorgestellte erweiterte Modell linearisiert und der Dämpfungsgrad \(\xi \) (5.3) der konjugiert komplexen Nullstelle \(\lambda _{i}\) als Maß der Stabilität herangezogen.

6 Analyse des Rippels des Strangstroms

Den nachstehenden Messungen ist der folgende Messaufbau zugrunde gelegt. Der Motor wird mit einem Spannungszwischenkreisumrichter mit einer PWM-Spannung (16 kHz) gespeist, welcher mittels galvanisch getrennten Stromwandlern den ist-Zustand der Phasenströme misst. Für die benötigen Phasenspannungen werden die Soll-Spannungen des Stromreglers herangezogen.

Um den Rippel im Strangstrom zu reduzieren, wird sowohl für die d-Richtung als auch für die q-Richtung ein separates Filter bzw. verwendet. Abbildung 10 zeigt strichliert gezeichnet die verwendete Reglerstruktur.

Abb. 10.
figure 10

Reglerstruktur zur Reduktion des Stromrippels (strichliert) bzw. des Spannungsrippels (strich-punktiert)

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Beispielsweise für die d-Richtung wird die Regelabweichung \(i_{d,soll}-i_{d,ist}\) dem Filter zugeführt, welches die k-te Harmonische phasenrichtig herausfiltert. Diese bestimmte Störgröße wird anschließend direkt auf die Soll-Spannung \(u_{d,soll}\) aufgeschaltet, was die Reduktion des Stromrippels in der d-Richtung nach sich zieht. Analoges gilt ebenfalls für die q-Strom Komponente.

Für die Stabilitäts-Analyse wird, wie in Abschn. 5 erwähnt, das in Abb. 10 dargestellte System linearisiert und die Stabilität mittels des Dämpfungsgrads \(\xi _{d}\) bzw. \(\xi _{q}\) bewertet (siehe Abb. 11). Es ist somit ersichtlich, dass sich der optimale Parametersatz für eine robuste Stromrippel-Reduktion zu (6.1) ergibt.

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \alpha _{Strom} &= 90^{\circ} \\ \varepsilon _{Strom} &\propto \omega _{m} \end{aligned} \end{aligned}$$
(6.1)
Abb. 11.
figure 11

Stromrippel Reduktion: Dämpfungsgrad \(\xi _{d}\) und \(\xi _{q}\) als Funktion von \(\alpha \) und der bezogenen Drehzahl \(\omega _{m}\)

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Abbildung 12 veranschaulicht die Reduktion des Stromrippels, wobei aus Tab. 1 die gemessene Reduktion des Stromrippels bei unterschiedlichen Drehzahlen zu entnehmen ist. Die Auswirkungen des Kompensationsalgorithmuses auf die anderen verbleibenden Harmonischen im Stromrippel sind hierbei vernachlässigbar gering.

Abb. 12.
figure 12

Stromrippel im Strom \(i_{\alpha }\) ohne Kompensation (oben) und mit Kompensation (unten)

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Tab. 1. Gemessene Verstärkung der Rippelgrößen nach Anwendung der Störgrößen-Aufschaltung zur Stromrippel Reduktion
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Durch die Reduktion des Stromrippels lassen sich die Verluste der Maschine deutlich reduzieren [15].

7 Analyse des Rippels der Strangspannung

Analog zur Rippelstrom-Reduktion in Abschn. 6 wird auch im Fall der Spannungsrippel-Reduktion die d- als auch die q-Richtung einzeln behandelt. Die Regler-Struktur ist aus Abb. 10 strich-punktiert gezeichnet zu entnehmen.

Im Fall der d-Richtung wird die Regelabweichung \(i_{d,soll}-i_{d,ist}\) dem Filter zugeführt, welches die k-te Harmonische phasenrichtig herausfiltert. Die so bestimmte reine Oberschwingung wird vom Messsignal wieder abgezogen, wodurch die Messung „blind“ bezüglich dieser Frequenz gemacht wird. Durch das Ausblenden der k-ten Harmonischen reagiert der Stromregler nicht auf den Rippel, wodurch auch keine entsprechende Soll-Spannungkomponente \(u_{d,soll}\) erzeugt wird.

Bezüglich der Stabilitäts-Analyse wird ebenfalls das System linearisiert und die Stabilität mittels des Dämpfungsgrads \(\xi _{d}\) bzw. \(\xi _{q}\) bewertet (siehe Abb. 13). Der optimale Parametersatz für eine robuste Spannungsrippel-Reduktion ergibt sich somit zu (7.1).

$$\begin{aligned} \begin{aligned} \alpha _{Spannung} &= 342^{\circ} \\ \varepsilon _{Spannung} &\propto \omega _{m} \end{aligned} \end{aligned}$$
(7.1)
Abb. 13.
figure 13

Spannungsrippel Reduktion: Dämpfungsgrad \(\xi _{d}\) und \(\xi _{q}\) als Funktion von \(\alpha \) und der bezogenen Drehzahl \(\omega _{m}\)

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Abbildung 14 veranschaulicht die Reduktion des Spannungsrippels, wobei die Tab. 2 die gemessene Reduktion des Spannungsrippels bei unterschiedlichen Drehzahlen auflistet. Auch hier sind die Auswirkungen des Kompensationsalgorithmuses auf die anderen verbleibenden Harmonischen im Spannungsrippel vernachlässigbar.

Abb. 14.
figure 14

Spannungsrippel in der Spannung \(u_{\alpha }\) ohne Kompensation (oben) und mit Kompensation (unten)

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Tab. 2. Gemessene Verstärkung der Rippelgrößen nach Anwendung der Störgrößen-Aufschaltung zur Spannungsrippel Reduktion
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Durch die Reduktion des Rippels in der Strangspannung kann man näher an die Spannungsgrenze des Antriebssystems heranrücken, wodurch der Feldschwäch-Bereich erweitert wird.

8 Zusammenfassung

Der Einsatz von Einzelpol-SynRM birgt neben den vielen erwähnten Vorteilen den Nachteil, dass vermehrt unerwünschte Harmonische im Strom als auch in der Spannung angeregt werden. Durch das vorgestellte modifizierte mathematische Modell kann das Auftreten der Harmonischen beschrieben und eine Reglerstruktur gefunden werden, welche durch minimales notwendiges Systemwissen die Harmonischen dämpfen bzw. herausregeln kann. Die Reglerstrukturen wurden sowohl für die Unterdrückung des Stromrippels, als auch für die Spannungsrippel-Unterdrückung ausgelegt, am Prototyp getestet und die Performance verifiziert. In zukünftigen Untersuchungen werden die Auswirkungen auf den Wirkungsgrad bzw. auf die Erweiterung des Feldschwächbereichs quantifiziert. Weiters wird dieses Konzept auf die Reduktion von Rippel im Drehmomenten bzw. in der Wirkleistung erweitert. Außerdem soll die Reduktion mehrerer Harmonischer im Sinne der Modalen Regelung untersucht werden.