Μετασχηματισμοί Λόρεντς

Οι Μετασχηματισμοί Λόρεντς, οι οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν του Ολλανδού φυσικού και μαθηματικού Χέντρικ Λόρεντς (Hendrik Antoon Lorentz) (1853-1928) και αποτελούν τη βάση της Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας, η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του ηλεκτρομαγνητισμού και της Κλασικής Μηχανικής.

Γενικά

Κάτω από τους μετασχηματισμούς αυτούς, η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει η ειδική σχετικότητα. Μολονότι οι εξισώσεις συνδέονται με την ειδική σχετικότητα, διατυπώθηκαν πριν την ειδική σχετικότητα και προτάθηκαν από τον Λόρεντς το 1904 ως εξήγηση του πειράματος Μάικελσον-Μόρλεϋ (Michelson-Morley), μέσω της συστολής του μήκους. Οι μετασχηματισμοί έρχονται σε αντίθεση με τους περισσότερο διαισθητικούς μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου, που δίνουν καλά αποτελέσματα σε μη-σχετικιστικές (χαμηλές) ταχύτητες.

Μπορούν για παράδειγμα να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουμε πώς φαίνεται η τροχιά ενός σωματιδίου από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς που κινείται με σταθερή ταχύτητα (σε σχέση με το αρχικό "ακίνητο" σύστημα αναφοράς). Αντικαθιστούν τους προγενέστερους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. Η ταχύτητα του φωτός c υπεισέρχεται ως παράμετρος στους μετασχηματισμούς Λόρεντς. Αν η ταχύτητα υ είναι επαρκώς μικρή σε σχέση με την c, τότε $v/c\to 0$ και ανακτούμε οριακά τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.

Εξισώσεις

Οι μετασχηματισμοί Λόρεντς αποτελούν μια ομάδα μετασχηματισμών, που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα οποιοδήποτε τετραδιάνυσμα) από ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, $S$, σε ένα άλλο, $S'$, όπου το $S'$ κινείται με σχετική ταχύτητα ${\upsilon }$ ως προς το $S$ κατά μήκος του χ-άξονα. Αν ένα γεγονός έχει χωρο-χρονικές συντεταγμένες $(t,x,y,z)$ στο $S$ και $(t',x',y',z')$ στο $S'$, τότε αυτές συσχετίζονται με βάση τους μετασχηματισμούς Λόρεντς με τον ακόλουθο τρόπο:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)$, (διαστολή του χρόνου)

$x'=\gamma \left(x-vt\right)$, (συστολή του μήκους)

$y'=y\,$

$z'=z\,$

όπου το

$\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

καλείται παράγοντας Λόρεντς και $c$ είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό.

Οι Μετασχηματισμοί σε μορφή πινάκων

Οι παραπάνω τέσσερις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή πίνακα ως εξής

${\begin{bmatrix}t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c^{2}}}\gamma &0&0\\-v\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$

ή εναλλακτικά ως

${\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {v}{c}}\gamma &0&0\\-{\frac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}.$

Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου στο όριο $\upsilon /c\to 0$. Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του χωροχρονικού μήκους $ds^{2}=(cdt)^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$, που είναι μια θεμελιώδης αναλλοίωτη ποσότητα της ειδικής σχετικότητας.

Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα ${\upsilon }$ βρίσκεται κατά μήκος του χ-άξονα. του συστήματος $S$. Σε περιπτώσεις όπου η ${\upsilon }$ δε δείχνει κατά μήκος του χ-άξονα του $S$, είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την ${\upsilon }$ κατά μήκος του χ-άξονα του $S$, παρά να μπλέξουμε με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Λόρεντς.

Για μια προώθηση (boost) σε τυχαία κατεύθυνση είναι βολικό να αναλύσουμε το χωρικό διάνυσμα $\mathbf {x}$ σε συνιστώσες κάθετες και παράλληλες προς την ταχύτητα $\mathbf {\upsilon }$: $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\perp }+\mathbf {x} _{\|}$. Μόνο η συνιστώσα $\mathbf {x} _{\|}$ στην κατεύθυνση της $\mathbf {\upsilon }$ μεταβάλλεται κατά τον παράγοντα $\gamma$:

$t'=\gamma \left(t-{\frac {\upsilon x_{\|}}{c^{2}}}\right)$

$\mathbf {x} '=\mathbf {x} _{\perp }+\gamma \left(\mathbf {x} _{\|}-\mathbf {\upsilon } t\right)$

Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν σε μορφή πίνακα ως

${\begin{bmatrix}ct'\\\\\mathbf {x} '\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\frac {\mathbf {\upsilon ^{T}} }{c}}\gamma \\\\-{\frac {\mathbf {\upsilon } }{c}}\gamma &\mathbf {1} +{\frac {\mathbf {\upsilon } \cdot \mathbf {\upsilon ^{T}} }{\upsilon ^{2}}}(\gamma -1)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\\\\mathbf {x} \end{bmatrix}}$.

Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας του παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι η "αρχή" των αξόνων των δύο συστημάτων πρέπει να συμπίπτει για $t=t'=0$. Αυτό σημαίνει ότι το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ στο σύστημα $S$ πρέπει να είναι το ίδιο με το "γεγονός" με συντεταγμένες $(0,0,0,0)$ στο $S'$. Μια γενίκευση των μετασχηματισμών Λόρεντς που χαλαρώνει αυτή την απαίτηση είναι οι μετασχηματισμοί Πουανκαρέ.

Γενικότερα, αν Λ είναι οποιοσδήποτε 4x4 πίνακας τ.ω. Λ^TgΛ=g, όπου T είναι ο ανάστροφος του πίνακα και

$g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

και X είναι το 4-άνυσμα που περιγράφει τις χωροχρονικές μετατοπίσεις, τότε ο $X\rightarrow \Lambda X$ είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός Λόρεντς. Οι ορισμένοι με αυτό τον τρόπο πίνακες Λ αποτελούν μια αναπαράσταση της ομάδας SO(3,1), γνωστή επίσης και ως ομάδα Λόρεντς.

Ιστορία

Ο Λόρεντς ανακάλυψε το 1900 ότι οι μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις εξισώσεις του Μάξουελ (Maxwell). Ωστόσο ο Λόρεντς δεχόταν την υπόθεση του αιθέρα. Ήταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν που πρώτος ανέπτυξε τη Θεωρία της Σχετικότητας και θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σε στέρεο φυσικό υπόβαθρο. Παρά το γεγονός αυτό, θεωρούσε ουσιαστικά το Λόρεντς "πατέρα" της Σχετικότητας.

Οι μετασχηματισμοί Λόρεντς δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το 1904, αλλά ο φορμαλισμός τους ήταν προς το παρόν ατελής. Ο Ανρί Πουανκαρέ (Henri Poincaré), Γάλλος μαθηματικός, αναθεώρησε το φορμαλισμό του Λόρεντς για να κάνει τις τέσσερις εξισώσεις ένα συνεκτικό αυτοσυνεπές σύνολο, όπως τις ξέρουμε σήμερα.

Σύνδεσμοι

• https://web.archive.org/web/20100126101153/http://www.newtonphysics.on.ca/lorentz/index.html