Χρωματισμός γράφου

Χρωματισμός γράφου με χρώματα $C=\{{\color {red}{\rm {K}}},{\color {blue}{\rm {M}}},{\color {green}{\rm {\Pi }}}\}$, που αντιστοιχεί στο $f=\{(1,{\color {red}{\rm {K}}}),(2,{\color {blue}{\rm {M}}}),(3,{\color {green}{\rm {\Pi }}}),(4,{\color {green}{\rm {\Pi }}}),(5,{\color {blue}{\rm {M}}})\}.$ Παρατηρήστε ότι δεν υπάρχουν δύο γειτονικοί κόμβοι με το ίδιο χρώμα.

Στην θεωρία γράφων, για έναν γράφο $G=(V,E)$ και ένα σύνολο χρωμάτων $C$, λέμε ότι η συνάρτηση $f:V\rightarrow C$ είναι χρωματισμός του $G$ όταν

$\forall (u,v)\in V.~f(u)\not =f(v)$,

δηλαδή όταν θέτει χρώματα στους κόμβους του $G$ έτσι ώστε κάθε δύο συνδεμένοι κόμβοι να έχουν διαφορετικό χρώμα.

Αν το $C$ έχει $k$ διακεκριμένα στοιχεία και ο χρωματισμός $f$ είναι επί, τότε ονομάζεται $k$-χρωματισμός. Κάθε χρωματισμός διαμερίζει το $V$ σε κλάσεις κόμβων οι οποίοι έχουν κοινό χρώμα. Οι κλάσεις αυτές ονομάζονται χρωματικές κλάσεις.

Παραδείγματα δύο χρωματισμών και ενός μη έγκυρου χρωματισμού για τον ίδιο γράφο.

3-χρωματισμός γράφου

4-χρωματισμός γράφου

Μη-έγκυρος χρωματισμός γράφου

Χρωματικός αριθμός

Ο γράφος $G=(\{1,2\},\{(1,2)\})$ δεν μπορεί να χρωματιστεί με ένα χρώμα.

Για έναν δοσμένο γράφο $G=(V,E)$ και δοσμένα χρώματα $C$ δεν υπάρχει πάντα απεικόνιση $f$ που να είναι χρωματισμός του $G$. Συγκεκριμένα η ύπαρξη χρωματισμού εξαρτάται από το πλήθος των στοιχείων (πληθάριθμος) του C. Για παράδειγμα, για τον γράφο $G$ του σχήματος που αποτελείται από μόνο μία ακμή, και έχοντας μόνο ένα διαθέσιμο χρώμα, $C=\{{\color {red}{\rm {K}}}\}$, δεν μπορούμε να χρωματίσουμε τους δύο κόμβους διαφορετικά, καθώς χρειαζόμαστε τουλάχιστον ένα ακόμη χρώμα.

Ο ελάχιστος πληθάριθμος $k$ του συνόλου $C$, για τον οποίο υπάρχει $k$-χρωματισμός του $G$ ονομάζεται χρωματικός αριθμός του $G$ και συμβολίζεται με $\chi (G)$, και ο γράφος λέγεται $k$-χρωματικός.

Ιδιότητες

Μερικές από τις ιδιότητες που ικανοποιεί ο χρωματικός αριθμός είναι οι παρακάτω:

1. Για κάθε γράφο $G$ με $n$ κόμβους, έχουμε ότι $\chi (G)\leq n$, καθώς μπορούμε να αντιστοιχίσουμε κάθε κόμβο σε διαφορετικό χρώμα.
   Σημείωση: Η ισότητα ισχύει για τον πλήρη γράφο $K_{n}$, όπου κάθε κόμβος χρειάζεται το δικό του χρώμα, καθώς συνδέεται με κάθε άλλον.
2. Για κάθε πλήρη γράφο $K_{n}$ με $n$ κόμβους και $e$ μία οποιαδήποτε ακμή του, ισχύει ότι $\chi (K_{n}-e)=n-1$.
3. Για κάθε διμερή γράφο $K_{m,n}$, ισχύει ότι $\chi (K_{m,n})=2$.
   Σημείωση: Για κάθε δέντρο $T$, ισχύει ότι $\chi (T)=2$.
4. Για κάθε κύκλο με άρτιο αριθμό κόμβων είναι $\chi (C_{2m})$, αφού εναλλάξ μπορούμε να αλλάζουμε χρώμα από κόμβο σε κόμβο, ενώ για τους περιττούς κύκλους ισχύει ανάλογα $\chi (C_{2m+1})=3$.
   

   

   Χρωματισμός κύκλων με 5 και 6 κόμβους αντίστοιχα.
5. Εύκολα φαίνεται ότι

   $\chi (G)=1\Leftrightarrow E(G)=\emptyset$,

   δηλαδή ότι ένα χρώμα αρκεί για να χρωματίσουμε έναν γράφο αν και μόνο αν αυτό είναι πλήρως ασυνδετικός.
6. Θεώρημα του Κένιχ: Ένας γράφος έχει έναν 2-χρωματισμό αν και μόνον αν δεν περιέχει περιττούς κύκλους

   $\chi (G)=2\Leftrightarrow \forall m.~C_{2m+1}\not \subseteq G$.

7. Για κάθε γράφο $G$ με $\Delta (G)$ να είναι ο μεγαλύτερος βαθμός που αντιστοιχεί σε κάποιον από τους κόμβους του $G$, δηλαδή
   $\Delta (G)=\max _{u_{i}\in V}\delta (u_{i})$,
   ισχύει ότι

   $\chi (G)\leq 1+\Delta (G)$.

8. Θεώρημα του Brooks: Για κάθε συννεκτικό γράφο που δεν είναι ούτε πλήρης ούτε περιττός κύκλος, ισχύει ότι
   $\chi (G)\leq \Delta (G)$.
9. Κάθε γράφος $G$ με $m$ ακμές ικανοποιεί
   $\chi (G)\leq {\frac {1}{2}}+{\sqrt {2m+{\frac {1}{4}}}}$.
   Απόδειξη  

   Για κάθε ένα από τα ${\textstyle {\binom {\chi (G)}{2}}}$ διαφορετικά ζεύγη χρωμάτων πρέπει να υπάρχει μία ακμή μεταξύ τους, διαφορετικά θα μπορούσαμε να αντικαταστήσουμε τα δύο χρώματα με ένα. Επομένως,

   $m\geq {\binom {\chi (G)}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \chi (G)\cdot (\chi (G)-1).$

   Λύνοντας το τριώνυμο, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα.

10. Θεώρημα των πέντε χρωμάτων: Για κάθε επίπεδο γράφο $G$ αρκούν το πολύ πέντε χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή $\chi (G)\leq 5$.
    Απόδειξη  

    Έστω ότι ο $G$ έχει $n$ κόμβους. Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της (ισχυρής) μαθηματικής επαγωγής.

    Αν $n\leq 5$, τότε το θεώρημα ισχύει από την ιδιότητα 1. Υποθέτουμε λοιπόν ότι το θεώρημα ισχύει για $n$ κόμβους.

    Αν ο $G$ έχει $n+1$ κόμβους, με $n\geq 5$, αποδεικνύεται ότι θα περιέχει οπωσδήποτε έναν κόμβο $v$ με βαθμό $\delta (v)\leq 5$. Από την επαγωγική υπόθεση έχουμε επίσης $X(G-v)\leq 5$, μια και ο γράφος $G-v$ έχει $n$ κόμβους.

    

    Έστω τώρα ότι οι πέντε κόμβοι που συνδέονται με τον $v$ θα χρωματιστούν με τα χρώματα $a,b,c,d,e$, μέσω χρωματισμού $f$. Αν κάποια από τα χρώματα αυτά συμπίπτουν ή αν ο βαθμός του $v$ είναι μικρότερος από 5, τότε το θεώρημα ισχύει. Αν αντίθετα τα χρώματα είναι διακεκριμένα και $\delta (v)=5$, τότε έχουμε την περίπτωση του σχήματος 2. Αρκεί να δείξουμε ότι ο $v$ μπορεί να χρωματιστεί με κάποιο από τα $a,b,c,d,e$. Θεωρούμε τον υπογράφο $G_{a,c}\subset G-v$, που ορίζεται ως εξής:

    $G_{a,c}=\{u\in V(G-v):f(u)=a\ {\dot {\eta }}\ f(u)=c\}$,

    δηλαδή που αποτελείται από τους κόμβους που έχουν χρώμα $a$ ή $b$. Αν οι $v_{1}$, $v_{3}$ ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του $G_{a,b}$, τότε αλλάζουμε τα χρώματα στον παράγοντα του $v_{1}$ και θέτουμε f(v) = a, χρωματίζουμε δηλαδή τον v με a. (Θα μπορούσαμε αντί για αυτό να αλλάξουμε χρώματα στον παράγοντα που βρίσκεται ο $v_{3}$ και να χρωματίζαμε τον v με b.) Αν οι $v_{1}$, $v_{3}$ ανήκουν στον ίδιο παράγοντα, τότε θα υπάρχει ένα μονοπάτι στο $G_{a,b}$ από τον έναν στον άλλο, δηλαδή ένα μονοπάτι στο G που είναι χρωματισμένο μόνο με a και c και που δεν περιέχει τις $v_{2}$, $v_{4}$, $v_{5}$. Ο κύκλος που σχηματίζει το μονοπάτι $v_{1}\cdots v3$ με το μονοπάτι $v_{3}\cdots v_{1}$, θα περικυκλώνει είτε τoν κόμβο $v_{2}$ είτε τους κόμβους $v_{4}$, $v_{5}$, μιας και ο $G$ είναι επίπεδος γράφος. Όπως και να έχει, οι $v_{2}$, $v_{4}$ θα ανήκουν σε διαφορετικούς παράγοντες του υπογράφου $G_{b,d}$ (ορίζεται όπως το $G_{a,b}$), οπότε, όμοια με προηγούμενα, αλλάζοντας τα χρώματα είτε στον παράγοντα του $v_{2}$ είτε στου $v_{4}$ χρωματίζουμε ανάλογα τον v με b ή d. Αποδείξαμε δηλαδή σε κάθε περίπτωση, ότι το θεώρημα ισχύει και για p + 1 κόμβους και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.

11. Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων: Για κάθε επίπεδο γράφο $G$ αρκούν το πολύ τέσσερα χρώματα για να χρωματιστεί, δηλαδή $\chi (G)\leq 4$.
12. Κάθε επίπεδος γράφος $G$ που δεν περιέχει ένα τρίγωνο έχει $\chi (G)\leq 3$.

Αλγόριθμοι χρωματισμού

Οι αλγόριθμοι χρωματισμού αποσκοπούν να προσδιορίσουν το χρωματικό αριθμό ενός δοσμένου γράφου. Οι επόμενοι δύο αλγόριθμοι βασίζονται στην μέθοδο branch & bound, σε απαρίθμηση δηλαδή περιπτώσεων υπό περιορισμούς.

Αλγόριθμος ανεξάρτητων συνόλων κορυφών

Καλούμε ανεξάρτητο σύνολο κόμβων ενός γράφου $G=(V,E)$ κάθε υποσύνολο του $V$ που έχει πλήρως ασυνδετικό φέρον γράφημα (spanning graph). Κάθε τέτοιο σύνολο εκπροσωπεί και μία χρωματική κλάση. Αν $U_{1},\ldots ,U_{r}$ είναι ανεξάρτητα σύνολα κόμβων τέτοια ώστε $\forall i\not =i'.~U_{i}\not \subseteq U_{i'}$, και υπάρχει ελάχιστος s το πολύ ίσος με τον r, για τον οποίο ${\textstyle \bigcup _{j=1}^{r}U_{i_{j}}=V}$, τότε $\chi (G)=s$.

Συγκεκριμένα, ο αλγόριθμος εκτελείται σε δύο φάσεις:

1. Εύρεση όλων των ανεξάρτητων συνόλων κόμβων που πληρούν τα παραπάνω.
2. Εύρεση του μικρότερου μήκους ένωσης που αποδίδει το $V$.

Αλγόριθμος του Χριστοφίδη

Ο αλγόριθμος συνίσταται στα εξής βήματα:

1. Διατάσουμε τους κόμβους του γράφου σε φθίνουσα σειρά βαθμών, $x_{1},\ldots ,x_{n}$.
2. Θέτουμε $f(x_{1})=1$.
3. Ελέγχουμε τον $x_{i}$, όταν ήδη έχουν δοθεί $k$ χρώματα. Αν δεν συνδέεται άμεσα με ήδη ελεγμένους κόμβους και $x_{j}$, με $j<i$, είναι ο αρχύτερος από αυτούς, τότε θέτουμε $f(x_{i})=f(x_{j})$. Διαφορετικά, θέτουμε $f(x_{i})=k+1$.

Δείτε επίσης

• Θεωρία γράφων