Diferencia entre revisiones de «Factorización»

 

En [[matemáticas]] la '''factorización''' es una [[técnica]] que consiste en la descomposición en factores de una [[expresión algebraica]] (que puede ser un número, una [[suma]] o [[resta]], una [[Matriz (matemáticas)|matriz]], un [[polinomio]], etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los [[Objeto matemático|objetos matemáticos]] estudiados; el objetivo es ''simplificar'' una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de '''factores''', como por ejemplo un número en [[números primos]], o un polinomio en [[polinomio irreducible|polinomios irreducibles]].

 

El [[teorema fundamental de la aritmética]] cubre la [[factorización de enteros|factorización de números enteros]], y para la factorización de polinomios, el [[teorema fundamental del álgebra]]. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de [[algoritmo]]s sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de [[criptografía asimétrica]] como el [[RSA]].

 

== Enteros ==

== Polinomios ==

{{AP|Factorización de polinomios}}

 

Mientras que la noción general de factorización solo significa escribir una expresión como un producto de las expresiones más simples, el término vago "simple" se definirá con mayor precisión para las clases especiales de expresiones. Cuando existe factorización de polinomios, esto significa que los factores son para ser polinomios de grado más pequeño. Así, mientras <math>x^2 - y = (x + \sqrt{y})(x - \sqrt{y})</math> es una factorización de la expresión, no es una '' factorización polinómica '' ya que los factores no son polinomios.<ref>{{harvnb|Fite|1921|p=20}}</ref> Además, la factorización de un término constante, como en <math>3x^2 -6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)</math> no se consideraría una factorización polinómica dado que uno de los factores no tiene un grado menor que la expresión original.<ref>Even if the 3 is thought of as a constant polynomial so that this could be considered a factorization into polynomials.</ref> Otra cuestión se refiere a los coeficientes de los factores. En tratamientos básicos es deseable tener los coeficientes de los factores del mismo tipo que los coeficientes del polinomio original, es decir factorización de polinomios con coeficientes enteros en factores con coeficientes enteros, o factorización de polinomios con coeficientes reales en polinomios con coeficientes reales . No siempre es posible hacer esto, y un polinomio que no puede ser factorizado de esta forma se dice que es irreducible sobre este tipo de coeficiente. Por lo tanto, x² -2 es irreducible sobre los números enteros y x² + 4 es irreducible sobre los [[Número real|números reales]]. En el primer ejemplo, los números enteros 1 y -2 pueden también ser considerados como números reales, y si es así, entonces <math>x^2 -2 = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2})</math> muestra que este polinomio factores sobre los reales (a veces se dice que las divisiones de polinomios sobre los reales). Del mismo modo, ya que los números enteros 1 y 4 pueden ser pensados como números complejos y, por ende, x² + 4 tiene divisiones sobre los números complejos, es decir, <math>x^2 + 4 = (x + 2i)(x - 2i)</math>.