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Apotema

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Apotema de un hexágono.

La apotema[1]​ en la figura bidimensional de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados, y siempre es perpendicular a dicho lado.[2]

En la figura tridimensional de una pirámide regular, también se denomina apotema o apotema piramidal al segmento trazado desde el vértice al centro de cualquier lado del polígono que conforma la base; coincide con la altura de cada cara triangular de la pirámide regular.[3]

Apotema y sagita

Apoteema y saagita en un cuadrado inscrito
Apoteema y saagita en un cuadrado inscrito

Dado un polígono inscrito, el radio se divide en dos segmentos: la apotema y la sagita, así que son complementarias.

El diccionario Larousse define sagita como la parte del radio comprendida entre el punto medio de un arco de circunferencia y el de su cuerda.

Principales medidas asociadas a la apotema y a la sagita

Fórmulas de la apotema y de la sagita

Sea una circunferencia de centro , y radio  .

Y sea uno de los lados del polígono regular inscrito

con lados,
con apotema  ,
y con sagita  .

Entonces

el perímetro del polígono es  ,
y su área es  .

Fórmulas

La apotema se calcula como  .

Una vez calculada la apotema, la sagita se obtiene como  .

Por su parte, el lado del polígono regular inscrito puede calcularse como  .

Si se desconocen las longitudes de apotema y sagita, entonces la longitud del lado puede calcularse como:

Arco de una circunferencia

Determinando el radio a partir de una cuerda y un arco

Es posible determinar el radio de un arco de circunferencia si se conoce la longitud de una cuerda y, a la vez, la distancia entre el punto medio de la cuerda y el punto medio del arco determinado por la cuerda. Con la fórmula

 ,

o con la ecuación trigonométrica

 .

Donde (véase imagen)

un lado del polígono es igual a la longitud de la cuerda,
y la sagita es igual a la distancia .

Cálculo de la apotema y de la sagita en diferentes polígonos regulares

Un polígono cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos internos son iguales se llama polígono regular, lo cual implica que la apotema del polígono rectangular subsiguiente no es un valor continuo, sino discreto o «a saltos».

Caso particular

Si consideramos que:

Entonces, podemos hacer el experimento mental donde uno de los ángulos internos del triángulo mida 0°, y los dos restantes midan 90° cada uno. En este caso, uno de los lados del triángulo medirá 0, y los dos restantes medirán el diámetro de la circunferencia. Visualizaremos dos de los lados del triángulo traslapados. Con ello no violamos ninguno de los postulados precedentes.

El segundo teorema de Tales confirma lo anterior: «todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto».

Sea un punto cualquiera de la circunferencia de diámetro , igual o distinto de los puntos A y de B. Entonces, siempre será un triángulo rectángulo.
En otras palabras, el teorema de Tales dice que, si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, donde uno de sus lados siempre es el diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto.
  • El segmento es el diámetro de la circunferencia. Diámetros que, para el triángulo rectángulo inscrito , será la hipotenusa con carácter invariante.
  • Asimismo existe otra constante, según ya lo señalamos, dado que los fasores en el punto siempre tienen , debemos aplicar la ley de los cosenos, donde y son los fasores (véase arco capaz) y es la hipotenusa:

Considerando que , podemos eliminar de la ecuación la parte :

Nota: la longitud de la hipotenusa, para este caso, siempre será igual al diámetro de la circunferencia, y a la vez , de manera que la longitud variable de los fasores y es calculable para cualquiera que sea la ubicación del punto , ya sea con las fórmulas trigonometricas o a través del teorema de Pitágoras:

  • Véanse mayores antecedentes en dilatación del tiempo y contracción de la longitud.
  • Los puntos , y al ser traslapados por el perímetro de la circunferencia, son puntos cocíclicos.
  • Si un nodo es un punto que permanece fijo para un determinado marco de referencia, entonces los puntos y son nodos equidistantes entre sí, que además dividen la circunferencia en dos semicírculos.
  • El punto puede estar en cualquier lugar del perímetro de cualquiera de ambos semicírculo, incluso traslapando al punto o al punto .
  • La longitud de un cateto tiende a cero cuando su ángulo adyacente tiende a cero. Y en contrapartida, la longitud del otro cateto tiende a igualarse a la longitud de la hipotenusa.

Ejercicio

Lo expuesto anteriormente permite calcular la apotema y sagita en este caso particular, aplicando las fórmulas y teniendo en cuenta que el radio de la circunferencia es para todos los ejercicios:

Longitud de cada lado traslapado
Apotema
Sagita

Este caso particular encierra una paradoja, puesto que no se está en presencia de un polígono regular inscrito y, a pesar de su inexistencia, se pudo calcular sin dificultad la sagita y la apotema. ¿La apotema y la sagita serán ajenas a los polígonos regulares inscritos?

Visualícense qué propiedades del polígono regular inscrito se han cumplido y cuáles no:

  1. Todos los vértices del polígono regular inscrito son puntos cocíclicos: se cumple esta propiedad, ya que el perímetro de la circunferencia toca los puntos , y .
  2. El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono: También se cumple esta propiedad, porque el centro del polígono traslapa el centro de la circunferencia que lo inscribe.
  3. Todos los puntos cocíclicos del polígono regular inscrito son equidistantes, y dividen, el perímetro de la circunferencia, en partes iguales: ¿se cumple o no esta propiedad?, el punto traslapa al punto , tienen la misma ubicación, por lo que son equidistantes entre sí; ambos puntos están, entre sí, a una distancia cero, pero la distancia al punto es diferente a cero. Los puntos , y dividen el perímetro de la circunferencia en dos partes iguales, cuando en el hecho tres puntos la debieran dividir en tres porciones.
  4. Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud: no se cumple, dado que uno de los lados del polígono tiene una longitud de 0, y los dos restante tienen por longitud el diámetro de la circunferencia.
  5. Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes: no se cumple, porque uno tiene 0° y los dos restantes 90°.

Disquisiciones

Para calcular la apotema y sagita, parece suficiente con considerar la cantidad de puntos cocíclicos, los cuales pueden ir desde uno hasta infinito. En efecto, será la cantidad de puntos cocíclicos.

Para el caso de tener un solo punto cocíclico:

La longitud, en línea recta, que separa cada punto cocíclico es debido a no tener otros puntos.
Apotema
Sagita

Polígono regular de tres lados (triángulo) inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Polígono regular de cuatro lados (cuadrilátero) inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Polígono regular de seis lados (hexágono) inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Polígono regular de siete lados (heptágono) inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Polígono regular de ocho lados (octógono) inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Polígono regular de 360 lados inscrito

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Gugólgono inscrito

En este caso, la gran cantidad de lados del polígono regular tiende a infinito, y se asemeja más a una circunferencia, por lo que la sagita tiende a cero y la apotema tiende a la longitud del radio.

Longitud de cada lado
Apotema
Sagita

Referencias

  1. Real Academia Española. «Apotema». Diccionario de la lengua española (23.ª edición).  apotema. ‘Perpendicular que va desde el centro de un polígono regular a uno cualquiera de los lados’ y ‘altura de las caras triangulares de una pirámide regular’. Es de género femenino
  2. Ana Helvia Quintero, Nancy Costas (1994). Geometría. La Editorial, UPR. pp. 251 de 512. ISBN 9780847723454. Consultado el 12 de enero de 2022. 
  3. Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997). Programa de diversificación curricular. Área científico-tecnológica. Ediciones de la Torre. pp. 82 de 220. ISBN 9788479601867. Consultado el 12 de enero de 2022. 

Enlaces externos