Potenciación

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n},$

Por ejemplo: $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$.

• cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

$a^{-p}={\frac {1}{a^{p}}}$

• cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

$a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0⁰ que, en principio, es una indefinición (ver cero).

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades de la potenciación

Potencia de exponente 0

Cualquier número $a\in \mathbb {R} \,$ elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

$a^{0}=1\,$

El caso especial $0^{0}$ se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que $0^{0}$ es el igual al valor del límite

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}$

y como $x^{0}=1$ para $x\neq 0$, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

$\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}$

y como $0^{x}=0$ para $x\neq 0$, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma $0^{0}$ puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma $0^{0}$ tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 0⁰=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri​​ publicó un argumento para asignar 1 como valor de 0⁰ y August Möbius​ lo apoyó afirmando erróneamente que

$\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1\,$ siempre que $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0.$

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

${(e^{-1/t})}^{t}$

cuyo límite cuando $t\to 0^{+}$ es $1/e$, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 0⁰ debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).​

En la actualidad, suele considerarse la forma $0^{0}$ como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido. ​ ​​

Para calcular límites cuyo valor aparente es $0^{0}$ suele usarse la Regla de L'Hopital.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^{1}=a\,$

ejemplo:

$54^{1}=54\,$

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

ejemplos:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponente = a (cero)col

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a+b)^{m}\neq a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}\neq a^{m}-b^{m}$

no cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

$a^{b}\neq b^{a}$

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}$

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

$10^{0}=1\,$

$10^{1}=10\,$

$10^{2}=100\,$

$10^{3}=1.000\,$

$10^{4}=10.000\,$

$10^{5}=100.000\,$

$10^{6}=1.000.000\,$

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d\,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Representación gráfica

gráfico de $y=x^{2}\,$

gráfico de $y=x^{3}\,$

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su vértice se sitúa en el punto (0, 0) y su crecimiento es positivo en sentido del eje Y (en el primero y segundo cuadrantes).

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola. Su vértice es el punto (0, 0), pero una rama crece en la dirección del eje Y (en el primer cuadrante) y la otra decrece (en el tercer cuadrante).

Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

Véase también

• Raíz cuadrada
• Radicación
• Exponenciación

Enlaces externos

• Potenciación en escolar.com
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español