Polígono regular

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Pentágono para representar un polígono regular genérico.

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.

En un polígono regular podemos distinguir:

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
• Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
• Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.

Propiedades

Dadas las características de los polígonos regulares, podemos diferenciar algunas propiedades que se dan siempre, y que son de gran utilidad para determinar sus propiedades, y dimensiones geométricas.

• Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud

• Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes

• El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono

• Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios)

• El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono

• El radio es el segmento que une el centro y cada vértice

Todos los polígonos tienen tres o más lados.

Los ángulos de un polígono regular

Entre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el Ángulo central, Ángulo interior y Ángulo exterior.

Ángulos centrales

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono

$\alpha ={\frac {360}{n}}\;$ en grados

$\alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radianes

Ángulos interiores

• El Ángulo interior, $\beta \,$, de un polígono regular mide:

$\beta =180\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en grados

$\beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$, de un poligono regular es de:

$\sum \beta =180\cdot {(n-2)}\;$ en grados

$\sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;$ en radián

Ángulos exteriores

• El Ángulo exterior, $\gamma \;$, de un polígono regular es de:

$\gamma ={\frac {360}{n}}\;$ en grados

$\gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$, de un polígono regular es:

$\sum \gamma =360\;$ en grados

$\sum \gamma =2\pi \;$ en radianes

Como puede verse la suma de los ángulos exteriores de un polígono, y de un polígono regular en particular, mide una circunferencia completa, independientemente del número de lados.

A esta conclusión se podía llegar percatándose de que:

$\alpha +{\frac {\beta }{2}}+{\frac {\beta }{2}}=180\;$

dado que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, que resulta:

$\alpha +\beta =180\;$

Por otro lado al ser ángulos suplementarios tenemos:

$\gamma +\beta =180\;$

por tanto, en un polígono regular el ángulo central y el exterior miden lo mismo:

$\alpha =\gamma \;$

y habiendo el mismo número de ángulos centrales y exteriores en un polígono, su suma también es la misma:

$\sum \alpha =\sum \gamma =360\;$

que es una circunferencia completa, independientemente del número de lados, esta conclusión es valida también para los polígonos no regulares.

Galería de polígonos regulares

• 
  Triángulo equilátero (Triángulo regular).
• 
  Cuadrado (cuadrilátero regular).
• 
  Pentágono regular.
• 
  Hexágono regular.
• 
  Heptágono regular.
• 
  Octágono regular.
• 
  Eneágono regular.
• 
  Decágono regular.
• 
  Endecágono regular.
• 
  Dodecágono regular.
• 
  Tridecágono regular.
• 
  Tetradecágono regular.

Área de los polígonos regulares

Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido por dos. Lo que se resume como:

$A={\frac {P\cdot a}{2}}$

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema,a , el área de este triángulo, es:

$A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;$

Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono sera:

$A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;$

esto es:

$A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$

Sabiendo que la longitud de un lado,L, por el número,n, de lados es el perímetro,P , tenemos:

$A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;$

Área de un polígono, conociendo el número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L=2r\sin({\delta })\;$

$a=r\cos({\delta })\;$

donde el ángulo central es:

$\alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;$

ordenando tenemos:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;$

sabiendo que:

$2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;$

resulta:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;$

o lo que es lo mismo:

$A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

Área de un polígono en función del lado

Y si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

$A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;$

Sea $\varphi$ el angulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

$\varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

$\tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}$

Despejando la apotema tenemos:

$a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}$

Sustituimos la apotema por su valor:

$\left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)$

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

Diagonales de un poligono regular

Como ya se ha dicho la diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no contiguos, vamos a ver algunas características de estas diagonales.

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

• De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
• Esto es valido para los n vértices del poligono.
• Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

$N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$

Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

$\sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}$

que resulta:

$\sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}$

de donde deducimos que:

$d=2r\sin({\alpha })\,$

Sabiendo el valor del ángulo central:

$d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Véase también

• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas
• Polígono
• Estrella (figura geométrica)
• Regla y compás
• Trigonometría

Enlaces externos

• POLÍGONOS REGULARES
• polígono regular
• POLÍGONO REGULAR
• Los polígonos regulares

Bibliografía

1. Echegaray, José (2001). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
2. .; Equipo: Rosalía de Castro (2000). Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
3. Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4.