Lehekülje Magnetiline monopoolus lähteteksti vaatamine

{{liita|Magnetmonopool}}
[[Pilt:CuttingABarMagnet.svg|pisi|Varrasmagnetist ei ole võimalik saada '''magnetilisi monopoolusi'''. Lõigates varrasmagneti pooleks ei saa me mitte ühte põhja- ja ühte lõunapoolust, vaid mõlemal tükil tekib nii põhja- kui lõunapoolus. Magnetilisi monopoolusi ei ole võimalik moodustada tavaainest – nende näol on tegemist uue [[elementaarosake]]sega]]

'''Magnetiline monopoolus''' on hüpoteetiline [[elementaarosake]] [[osakestefüüsika]]s, mis kujutab endast ühe poolusega eraldiseisvat [[magnet]]it (põhjapoolus ilma lõunapooluseta või vastupidi).<ref name="Hooper" /><ref name="MSWx8" /> Täpsemalt sõnastades võib öelda, et monopoolusel on teatav "magnetiline kogulaeng". Huvi taolise osakese vastu lähtub osakestefüüsika teooriatest, peamiselt [[suur ühendus|suure ühenduse]] ja [[superstringiteooria]]test, mis ennustavad selle olemasolu.<ref name="HTktO" /><ref name="YdeSp" />

[[elektromagnet|Elektro]]- ning [[magnet|varrasmagnetites]] esinev magnetism ei ole seotud magnetiliste monopoolustega. Veelgi enam, tänapäevani ei ole ühtegi määrava kaaluga eksperimentaalset tõestust monopooluste eksistentsist.

Leidub [[kondensaine]] süsteeme, kus esineb [[fundamentaalne vastastikmõju|vastastikmõjus]] olevaid magnetmonopooluselaadseid [[kvaasiosake]]si<ref name="Castelnovo" /> või milles avalduvad nähtused on matemaatiliselt analoogilised magnetiliste monopoolustega.<ref name="Ray" />

== Ajalooline taust ==

=== Enne 20. sajandit ===

Mitmed varajased teadlased põhjendasid [[magnetiit]]ide [[magnetväli|magnetvälja]] olemasolu kahe eri liiki "magnetilise vedelikuga" (effluvia). Ühes otsas oli põhjapooluse-vedelik ning teises lõunapoolusevedelik, mis tõukusid ning tõmbusid analoogselt positiivsete ja negatiivsete [[elektrilaeng]]utega.<ref name="E1WSZ" /><ref name="63ihe" /> 19. sajandil toimunud areng [[elektromagnetism]]i teoorias viisid arusaamani, et magnetiitide magnetismi kirjeldab õigesti [[Ampère'i seadus]], mitte aga magnetilised monopoolus-vedelikud. [[Gaussi magnetismi seadus]], üks [[Maxwelli võrrandid|Maxwelli võrranditest]], iseloomustab matemaatiliselt magnet-monopooluste puudumist. Sellele vaatamata näitas 1894. aastal [[Pierre Curie]], et taolised monopoolused võivad põhimõtteliselt eksisteerida,<ref name="K0aPI" /> kuigi neid ei olnud selleks ajaks katseliselt vaadeldud.

=== 20. sajand ===

Magnetlaengu [[kvantmehaanika|kvantmehaaniline]] käsitlus sai alguse füüsik [[Paul Dirac|Paul A. M. Diraci]] 1931. aastal ilmunud artikliga,<ref name="MJPAt" /> milles Dirac näitas, et kui universumis peaks leiduma mõnigi magnetiline monopoolus, siis peab kogu olemasolev elektrilaeng olema [[kvantiseeritus|kvantiseeritud]].<ref name="littlejohn" /> Elektrilaeng on tõepoolest kvantiseeritud, mis on küll kooskõlas monopooluste olemasoluga, kuid ei ole piisav selle tõestamiseks.<ref name="littlejohn" />
Pärast Diraci artikli avaldamist on läbi viidud mitmeid süstemaatilisi magnetiliste monopooluste otsinguid. 1975.<ref name="PRL-35-487" /> ja 1982.<ref name="PRL-48-1378" /> aastal sooritatud eksperimentides leiti [[sündmus (osakestefüüsika)|sündmusi]], mida tõlgendati monopoolustena, kuid tänapäeval ei peeta neid piisavalt usaldusväärseteks.<ref name="hzXod" /> Seega monopooluste võimalik olemasolu on tänaseni lahtine. Edasine areng teoreetilise osakestefüüsika vallas, eriti areng suure ühenduse ja [[kvantgravitatsioon]]i teooriates on toonud esile veelgi kaalukamaid argumente magnetiliste monopooluste olemasolu kasuks. [[Stringiteooria]]t uuriv Joseph Polchinski on monopooluste eksistentsi iseloomustanud kui "üht kindlaimat kihlvedu, mida võib seninägemata füüsika kohta teha."<ref name="Polchinski" /> Toodud teooriad ei ole eksperimentaalsete tulemustega tingimata vastuolus. Mõne teooria kohaselt on magnetiliste monopooluste leidmine ebatõenäoline, kuna monopooluse mass on liialt suur tema tekitamiseks [[osakestekiirendi]]s ning samuti eksistents universumis liiga haruldane, et neid [[osakeste detektor]]is arvestatava tõenäosusega registreerida.<ref name="Polchinski" />
Mõnedes kondensaine süsteemides luuakse struktuure, mis paistavad vähemalt pinnapealselt magnetiliste monopooluste sarnastena – neid nimetatakse [[vootoru]]deks (''flux tube''). Vootoru otsad moodustavad monopoolused, kuid kuna nende nihutamine on võimalik teineteisest sõltumatult, võib neid tinglikult pidada sõltumatuteks magnetilisteks monopoolus-kvaasiosakesteks. Alates 2009. aastast on mitmed populaarteaduslikud väljaanded<ref name="sciencedaily" />
<ref name="symmetrymagazine" /> taolisi süsteeme ekslikult kirjeldanud kui kauaoodatud magnetiliste monopooluste avastamist, kuid tegu on kahe vaid pinnapealselt võrreldava nähtusega.<ref name="TchernyshyovQuote" /><ref name="GibneyQuote" /> Sellele vaatamata on taoliste kondensaine süsteemide näol tegemist aktiivse uurimissuunaga.

== Poolused ja magnetism tavapärases aines ==

Kogu [[aine (füüsika)|ainel]], mida seni oleme vaadelnud – hõlmates kõiki [[aatom]]eid [[keemiliste elementide perioodilisussüsteem|perioodilisussüsteemis]] ja kõiki osakesi [[osakestefüüsika standardmudel|standardmudelis]] – puudub igasugune magnetmonopoolus-laeng. Tavapärasel magnetismi ja magnetite nähtusel ei ole monopoolustega midagi pistmist. Selle asemel on tavaaines magnetismi tekkeks kaks allikat: esiteks tekivad [[magnetväli|magnetväljad]] [[elektrivool]]ust, vastavalt Ampère'i seadusele ning teiseks on mitmetel elementaarosakestel teatav loomupärane [[magnetmoment]] (näiteks [[elektron]]i [[spinn]]i põhjustatud [[elektroni magnetiline dipoolmoment]]).
Matemaatiliselt kirjeldatakse magnetvälja tihtipeale [[multipoolarendus]]ena, mis esitab välja mitme komponendi summana. Arenduse esimest liiget nimetatakse monopool-liikmeks, teist dipool-liikmeks ning edasi kvadrupool- ja oktapool-liikmed jne. Kui [[elektriväli|elektrivälja]] multipoolarenduses võivad esineda kõik need liikmed, siis magnetvälja korral on monopool-liige alati null (tavaaine korral). Kui magnetiline monopoolus tõepoolest eksisteerib, siis tema tekitatava magnetvälja multipoolarenduse monopool-liige oleks nullist erinev.
Magnetdipooli magnetvälja kirjeldab hea täpsusega multipoolarenduse dipool-liige. Nagu dipooli nimi viitab, on sellel kaks poolust – ühes otsas põhja- ja teises lõunapoolus – mis on analoogne [[dipool|elektridipooliga]] (ühes otsas positiivne ning teises negatiivne [[elektrilaeng]]). Sellele vaatamata on magnetiline ja elektriline dipool olemuslikult erinevad. Tavaainest elektridipooli positiivse laengu moodustavad [[prooton]]id ja negatiivse elektronid, samas kui magnetdipooli kaks poolust ei moodustu kahtedest eri liiki osakestest. Mõlemad magnetpoolused tekivad koos ja samaaegselt ning on põhjustatud kõigist magnetis esinevatest voolust ja sisemistest momentidest tingitud nähtustest. Siit järeldub, et magnetdipooli poolused on alati võrdse ja vastasmärgilise väljatugevusega ning neid on võimatu teineteisest eraldada.

== Maxwelli võrrandid ==

Maxwelli võrrandid elektromagnetismis seovad omavahel elektri- ja magnetvälja. Tavapärasel kujul kirjapandult on võrrandeis esindatud küll elektrilaengud, kuid puuduvad magnetlaengud. Kui see välja jätta, on võrrandid elektri- ja magnetväljade vahetamise suhtes sümmeetrilised.<ref name="VNlX9" /> Veelgi enam, Maxwelli võrrandeid saab kirja panna ka juhu jaoks, kus kõik laengud (seega ka elektrivoolud) on nullid. Sel viisil tuletatakse elektromagnetlaine võrrand.
Täielikult sümmeetrilisi Maxwelli võrrandeid on võimalik esitada ka viisil, mis lubab magnetlaengute olemasolu.<ref name="5CTAi" /> Lisades muutuja <math>\rho_m</math>, mis iseloomustab taoliste laengute tihedust, tekib võrranditesse ka magnetvoolutiheduse muutuja, <math>j_m</math>.
Kui magnetlaenguid ei eksisteeri (või kui neid vaadeldavas ruumipiirkonnas parasjagu ei ole), siis vastavad uued muutujad on kõik nullid ning võrrandid taanduvad tavapärasele kujule.<ref name="EP4YL" /><ref name="9pn40" />

{{mitu pilti|kogulaius=650|joondus=keskel|pilt1=em monopoles.svg|pilt2=em dipoles.svg|300|allkiri1='''Vasakul:''' Statsionaarsetest elektri- ja magnetmonopoolustest põhjustatud väljad. '''Paremal:''' Kiirusega '''v''' liikuv elektrilaeng indutseerib magnetvälja '''B''', samas kui liikuv magnetlaeng indutseerib elektrivälja '''E'''|allkiri2='''Üleval:''' elektrilisest dipoolmomendist '''d''' põhjustatud elektriväli '''E'''. '''Vasakul all:''' Kahest magnetilisest monopoolusest moodustunud matemaatilise magnetdipooli magnetväli '''B'''. '''All paremal:''' Tavaaines esineva magnetdipoolmomendi '''m''' põhjustatud magnetväli '''B'''}}

=== CGS-süsteemi ühikutes ===
Täiendatud Maxwelli võrrandid Gaussi [[CGS-süsteem]]i ühikutes esitatuna on järgmised.<ref name="moulin-2001" />

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! scope="col" width="200px" | Nimi
! Ilma monopoolusteta
! Monopoolustega
|-
! [[Gaussi teoreem|Gaussi lause]]
|colspan="2"| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_{\mathrm e} </math>
|-
! [[Maxwelli võrrandid|Gaussi lause magnetvälja kohta]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0 </math>
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 4 \pi \rho_{\mathrm m} </math>
|-
! [[Faraday seadus]]
| <math>-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| <math>-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \frac{4 \pi}{c}\mathbf{j}_{\mathrm m}</math>
|-
! [[Ampère'i seadus]] (Maxwelli täiendusega)
|colspan="2"| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4 \pi}{c} \mathbf{j}_{\mathrm e} </math>
|-
![[Lorentzi jõud]]<ref name="moulin-2001" /><ref name="KCdC6" />
|<math>\mathbf{F}=q_{\mathrm e}\left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}\right) </math>
|<math>\mathbf{F}=q_{\mathrm e}\left(\mathbf{E}+\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{B}\right) + q_{\mathrm m}\left(\mathbf{B}-\frac{\mathbf{v}}{c}\times\mathbf{E}\right)</math>
|-
|}
Neis võrrandeis on <math>\rho_m</math> magnetlaengu tihedus, <math>j_m</math> magnetvoolu tihedus ja <math>q_m</math> katseosakese magnetlaeng, mis kõik on defineeritud analoogiliselt vastavate elektrilaengu ja -voolu suurustega. <math>\mathbf{v}</math> on osakese kiirus ning <math>c</math> on [[valguse kiirus]] vaakumis. Kõik ülejäänud esitatud suurused on toodud [[Maxwelli võrrandid|Maxwelli võrrandite]] lehel.

=== SI-süsteemi ühikutes ===

[[SI-süsteemi ühikud|SI-süsteemi ühikutes]] on magnetlaengu <math>q_m</math> kirjeldamiseks kasutusel kaks vastuolulist ühikut: [[veeber]] (Wb) ja [[amper]] <math>\cdot</math> [[meeter]] (A <math>\cdot</math> m). Kuna 1 Wb = 1 [[Henri|H]] <math>\cdot</math> A = (H <math>\cdot</math> m<sup>−1</sup>) <math>\cdot</math> (A <math>\cdot</math> m), siis teisendus ühest esitusviisist teise on <math>q_m</math> (Wb) = ''μ<sub>0</sub>'' <math>q_m</math> (A <math>\cdot</math> m). Sel juhul omandavad Maxwelli võrrandid järgmise kuju.<ref name="fX4Hc" />

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+
|-
! scope="col" width="200px" | Nimi
! Ilma monopoolusteta
! Veeberi esitusviis
! Amper <math>\cdot</math> meeter esitusviis
|-
!Gaussi lause
|colspan="3"| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm e}}{\epsilon_0}</math>
|-
!Gaussi lause magnetvälja kohta
|| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
|| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = \rho_{\mathrm m}</math>
|| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = \mu_0\rho_{\mathrm m}</math>
|-
!Faraday seadus
|| <math>-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
|| <math>-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \mathbf{j}_{\mathrm m}</math>
|| <math>-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} + \mu_0\mathbf{j}_{\mathrm m}</math>
|-
!Ampère'i seadus (Maxwelli täiendusega)
|colspan="3"| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + \mu_0 \mathbf{j}_{\mathrm e}</math>
|-
!Lorentzi jõud
|| <math>\mathbf{F}=q_{\mathrm e}\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)</math>
|| <math>
\mathbf{F}=q_{\mathrm e}\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)</math>
<math> + \frac{q_{\mathrm m}}{\mu_0}\left(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times \frac{\mathbf{E}}{c^2}\right)
</math>
|| <math>
\mathbf{F}=q_{\mathrm e}\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)</math>
<math> + q_{\mathrm m}\left(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times\frac{\mathbf{E}}{c^2}\right)
</math>
|}

=== Tensoresitus ===

Maxwelli võrrandite esitamine [[tensor]]kujul näitab selgelt [[Lorentzi kovariantsus]]t. Üldistatud võrrandid avalduvad järgmiselt.<ref name="COMlZ" /><ref name="3IXAP" />

:{| class="wikitable"
|-
! Maxwelli võrrandid
! CGS ühikutes
! SI ühikutes (Wb)
! SI ühikutes (A <math>\cdot</math> m)
|-
! Faraday-Gaussi teoreem
| <math>\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = \frac{4\pi}{c}J^\beta_{\mathrm e}</math>
| <math>\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\beta_{\mathrm e}</math>
| <math>\partial_\alpha F^{\alpha\beta} = \mu_0 J^\beta_{\mathrm e}</math>
|-
! Ampère-Gaussi teoreem
| <math>\partial_\alpha {\star F^{\alpha\beta}} = \frac{4\pi}{c} J^\beta_{\mathrm m}</math>
| <math>\partial_\alpha {\star F^{\alpha\beta}} = \frac{\mu_0}{c} J^\beta_{\mathrm m}</math>
| <math>\partial_\alpha {\star F^{\alpha\beta}} = \frac{1}{c} J^\beta_{\mathrm m}</math>
|-
! Lorentzi jõud
| <math>\frac{dp_\alpha}{d\tau} = \frac{1}{c}\left[ q_{\mathrm e} F_{\alpha\beta}v^\beta + q_{\mathrm m} {\star F_{\alpha\beta}}v^\beta \right]</math>
| <math>\frac{dp_\alpha}{d\tau} = q_{\mathrm e} F_{\alpha\beta}v^\beta + q_{\mathrm m} {\star F_{\alpha\beta}}v^\beta </math>
| <math>\frac{dp_\alpha}{d\tau} = q_{\mathrm e} F_{\alpha\beta}v^\beta + \frac{q_{\mathrm m}}{\mu_0} {\star F_{\alpha\beta}v^\beta} </math>
|}
kus
* <math>F</math> on [[elektromagnetvälja tensor]], <math>\star</math> tähistab [[Hodge'i duaalsus]]t (seega <math>\star</math><math>F</math> on <math>F</math>-i duaalne tensor),
* <math>v</math> ja <math>p</math> on elektrilaenguga <math>q_e</math> ja magnetlaenguga <math>q_m</math> osakese kiiruse ja impulsi [[nelivektor]]id,
* <math>J_e</math> = (<math>\rho_e</math>,<math>j_e</math>) on elektrilaengu nelivektor ja <math>J_m</math> = (<math>\rho_m</math>,<math>j_m</math>) magnetlaengu nelivektor.

Kui osakesel on vaid elektrilaeng, siis saab välja kirjeldada [[elektrivälja potentsiaal]]i nelivektoriga, vastavalt [[klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering|klassikalise elektromagnetismi kovariantsele formuleeringule]]:
:<math>F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\gamma} \,</math>
See võrrand on aga ebapiisav osakese jaoks, millel on nii elektri- kui ka magnetlaeng. Sel juhul tuleb lisada üks lisapotentsiaali kirjeldav liige <math>P</math>.<ref name="Can" /><ref name="Found" />
:<math>F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha} A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\alpha} \ +\partial^{\mu}(\epsilon_{\alpha\beta\mu\nu}P^{\nu}),</math>
Seda väljavõrrandit nimetatakse üldiselt Cabibbo-Ferrari seoseks, kuigi Shanmugadhasan tuli sellega varem välja.<ref name="Found" /> Suurus ε<sup>αβγδ</sup> on [[Levi-Civita sümbol]], mille indekseid tuleb käsitleda vastavalt [[Levi-Civita sümbol#Einsteini kokkulepe|Einsteini summeerimisreeglile]].

=== Duaalne teisendus ===

Üldisel kujul Maxwelli võrranditel on teatav sümmeetria, mida nimetatakse duaalseks teisenemiseks. Valides suvalise reaalse nurga ''ξ'', saab vastavalt allolevatele seostele muuta samaaegselt välju ja laenguid (CGS-süsteemi ühikutes).<ref name="Jackson611" />
:{| class="wikitable"
|-
! Laengud ja voolud
! Väljad
|-
| <math>\begin{pmatrix}
\rho_{\mathrm e} \\
\rho_{\mathrm m}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \xi & -\sin \xi \\
\sin \xi & \cos \xi \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\rho_{\mathrm e}' \\
\rho_{\mathrm m}'
\end{pmatrix}</math>
|<math>\begin{pmatrix}
\mathbf{E} \\
\mathbf{H}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \xi & -\sin \xi \\
\sin \xi & \cos \xi \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{E'} \\
\mathbf{H'}
\end{pmatrix}</math>
|-
| <math>\begin{pmatrix}
\mathbf{J}_{\mathrm e} \\
\mathbf{J}_{\mathrm m}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \xi & -\sin \xi \\
\sin \xi & \cos \xi \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{J}_{\mathrm e}' \\
\mathbf{J}_{\mathrm m}'
\end{pmatrix}</math>
| <math>\begin{pmatrix}
\mathbf{D} \\
\mathbf{B}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\cos \xi & -\sin \xi \\
\sin \xi & \cos \xi \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\mathbf{D'} \\
\mathbf{B'}
\end{pmatrix}</math>
|-
|}
kus priimiga tähistatud suurused vastavad laengutele ja väljadele enne teisendust ja ilma priimita suurused pärast teisendust. Teisendatud väljad ja laengud vastavad ikka Maxwelli võrranditele. Vaadeldav [[maatriks]] on kahemõõtmeline [[pöördmaatriks]].

Duaalse teisenduse tõttu ei ole võimalik vaid osakese käitumist jälgides ning seda Maxwelli võrranditega võrreldes määrata, et osakesel on eranditult elektrilaeng või magnetlaeng või mõlemad. Näiteks on vaid kokkuleppeline, mitte aga Maxwelli võrrandite eeldus, et elektronidel on elektrilaeng, kuid puudub magnetlaeng; Pärast ''ξ'' = π/2 teisendust oleks olukord vastupidine. Võtmelise tähtsusega empiiriliseks faktiks on see, et kõikidel seni vaadeldud osakestel on magnet-ja elektrilaengu suhe sama.<ref name="Jackson611" /> Duaalsete teisendustega saab laengute suhte viia suvalisele väärtusele, kuid see suhe on alati kõigi osakeste jaoks võrdne. Siit järeldub, et magnetlaengu ja elektrilaengu suhte saab vastavalt valitud teisendusega viia nulliks, nii et kõigil osakestel puudub magnetlaeng. See valikuvabadus on kaasaegsete elektri ja magnetismi definitsioonide alustalaks.<ref name="Jackson611" />

== Diraci kvantiseerimine ==

Üks [[Kvantmehaanika]] (KM) suurimaid arenguid tulenes Paul Diraci tööst elektromagnetismi relativistliku kvantteooria väljaarendamisel. Varem sisestati elektrilaengu olemasolu KM võrranditesse ilma matemaatiliste põhjendusteta, kuid Dirac näitas 1931 aastal, et diskreetne laeng tuleneb KM-st küllaltki loomulikult. See tähendab, et magnetlaengud saavad eksisteerida ka Maxwelli võrrandite muutmata kujul.

Võime vaadelda näiteks süsteemi, mis koosneb üksikust statsionaarsest elektrimonopoolusest (nt elektron) ning üksikust statsionaarsest magnetmonopoolusest. Klassikalise füüsika järgi on neid kahte ümbritseva elektromagnetvälja impulsitihedus esitatav [[Poyntingi vektor]]iga, ning välja kogu [[impulsimoment]] on proportsionaalne korrutisega <math>q_e \cdot q_m</math> ning sõltumatu pooluste vahelisest kaugusest.

Kvantmehaanika järgi on aga impulsimoment kvantiseeritud <math>\hbar</math> kordselt. Seega peab ka korrutis <math>q_e \cdot q_m</math> olema kvantiseeritud. Järeldub, et kui vaid ükski magnetiline monopoolus universumis eksisteerib, ning Maxwelli võrrandid kehtivad, siis peavad kõik elektrilaengud olema kvantiseeritud.

Mis ühikutena oleks magnetlaeng kvantiseeritud? Kuigi oleks võimalik integreerida üle kogu ruumi, et leida eeltoodu näitel kogu impulsimoment, kasutad Dirac teist lähenemist. Ta uuris magnetlaenguga [[punktlaeng|punktobjekti]], mille magnetvälja kirjeldab <math>q_m</math>/<math>r</math>², kus väli on raadiuse suunas. Kuna magnetvälja '''B''' [[divergents (matemaatika)|divergents]] on null kõikjal peale magnetmonopooluse asukoha r = 0, saab vektorpotentsiaali defineerida nii, et vektorpotentsiaali '''A''' [[rootor (matemaatika)|rootor]] on võrdne magnetväljaga '''B'''

Kuna aga magnetvälja divergents on asukohas r = 0 võrdeline Diraci [[Diraci deltafunktsioon|deltafunktsiooniga]], ei ole vektorpotentsiaali võimalik kõikjal täpselt defineerida. Selleks tuleb vektorpotentsiaal jagada nii, et sõnastame "põhjapoolkera" (poolruum z > 0 osakese kohal) ja "lõunapoolkera" jaoks eraldi funktsioonid, mis kattuvad ekvaatoril (tasand z = 0 läbi osakese) ning mis erinevad teineteisest [[kalibratsiooniteooria|kalibratsiooniteisenduse]] võrra. Elektriliselt laetud osakese (proovilaengu) tiireldes ümber ekvaatori muutub osakese [[lainefunktsioon]]i faas, sarnaselt [[Aharonov-Bohmi efekt|Aharonovi-Bohmi efektiga]]. Faas on võrdeline proovilaengu elektrilaenguga <math>q_e</math> ja allika magnetlaenguga <math>q_m</math>. Algselt kaalus Dirac elektroni, mille lainefunktsiooni kirjeldab [[Diraci võrrand]].

Pärast täistiiru tegemist ümber ekvaatori naaseb elektron samasse kohta, kust alustas, mistõttu jääb tema lainefunktsiooni ''e<sup>iφ</sup>'' faas ''φ'' muutumatuks. Järeldub, et lainefunktsioonile liidetav faas ''φ'' peab olema 2π-kordne:

:{| class="wikitable"
|-
! Ühikud
! Tingimus
|-
| Gaussi CGS ühikud
|| <math>2 \frac{q_{\mathrm e} q_{\mathrm m}}{\hbar c} \in \mathbb{Z}</math>
|-
| SI ühikud (Veeberi esitusviis)<ref name="0YV3R" />
|| <math>\frac{q_{\mathrm e} q_{\mathrm m}}{2 \pi \hbar} \in \mathbb{Z}</math>
|-
| SI ühikud (Amper <math>\cdot</math> meeter esitusviis)
|| <math>\frac{q_{\mathrm e} q_{\mathrm m}}{2 \pi \epsilon_0 \hbar c^2} \in \mathbb{Z}</math>
|-
|}
kus <math>\epsilon_0</math> on [[elektriline konstant|vaakumi dielektriline läbitavus]], <math>\hbar</math> = <math>h</math>/<math>2 \pi</math> on [[Plancki konstant|Plancki nurkkonstant]], <math>c</math> on valguse kiirus ning <math>\mathbb{Z}</math> täisarvude hulk.

Seda tuntakse '''Diraci kvantiseerimise tingimusena'''. Magnetilise monopooluse hüpoteetiline olemasolu viitab, et elektrilaeng on teatud viisil kvantiseeritud. Samuti, elektrilaengute olemasolu viitab, et monopooluste magnetlaengud, kui nad eksisteerivad, peavad olema kvantiseeritud ühikutes, mis on võrdelised [[elementaarlaeng]]u pöördväärtusega.

Tollal ei olnud selge, kas taoline osake eksisteerib või kas selleks üldse on vajadust. Oli väga võimalik, et ilmneb mõni teine teooria, mis kirjeldab laengu kvantiseeritust, vajamata selleks magnetmonopooluste olemasolu. Sellegipoolest ei ole seni ilmnenud ühtegi teist laialdaselt aktsepteeritud selgitust laengu kvantiseerituse kohta.

"Lõunapoolusel" on vektorpotentsiaal [[Funktsioon (matemaatika)#Funktsiooni pidevus|pidev]] kõikjal peale poollõpmatu joone, mis lähtub allikast ning on "põhjapooluse" sihis. Seda poollõpmatut joont nimetatakse Diraci stringiks ning selle mõju lainefunktsioonile on analoogne [[solenoid]]i mõjule Aharonov-Bohmi efektis. Kvantiseeritus tuleneb nõudest, et Diraci stringi ümbritsevad faasid on triviaalsed, mis tähendab, et Diraci string peab olema mittefüüsikaline. Diraci string on vaid kasutatava koordinaadistiku anomaalia ning seda ei tohiks tõsiselt võtta.

Diraci monopoolus on Maxwelli võrrandite [[singulaarne lahend]] (kuna selle tingimuseks on maailmajoone eraldamine aegruumist). Keerukamates teooriates on see asendatud mõne [[lõpmatult diferentseeruv funktsioon|sileda]] lahendiga nagu [['t Hoofti-Poljakovi monopoolus]].

== Suure ühenduse teooriad ==
1970. aastate alguses tehti suuri samme [[kvantväljateooria]]s ja [[kalibratsiooniteooria]]s, [[elektronõrk teooria|elektronõrga teooria]] ja [[tugev vastastikmõju|tugeva vastastikmõju]] arendamise käigus, mille tulemusel asusid paljud teoreetikud proovima neid ühte teooriasse kombineerida – [[suur ühendus|suure ühenduse teooria]] (SÜT). Pakuti mitmeid SÜT-sid, enamik millest viitasid reaalse magnetilise monopooluse olemasolule. Täpsemalt, need teooriad ennustasid hulka osakesi, mida nimetati [[düüon]]iteks ning mille kõige algsem olek on magnetmonopoolus.

Suurem enamus kvantväljateooriates esinevatest osakestest on ebastabiilsed ning lagunevad teisteks osakesteks mitmetel [[jäävusseadus]]tega kooskõlas olevatel viisidel. Osakesed on stabiilsed, kui neil puudub viis jäävusseadusi rikkumata veel kergemateks osakesteks laguneda. Näiteks elektroni puhul on nii [[leptonlaeng|leptonarv]] kui elektrilaeng võrdsed ühega ning puuduvad veel kergemad osakesed, mille jaoks need suurused on jäävad. Samas näiteks [[müüon]], mis on olemuselt kui raske elektron, võib laguneda elektroniks ja kaheks [[kvant|energiakvandiks]] ning on seetõttu ebastabiilne.

SÜT-des esinevad düüonid on samuti stabiilsed, kuid seda teistel põhjustel. Düüonite teke oli eeldatavasti varajase universumi keskkonna "kinnistumise" ("freeze out") – [[sümmeetria rikkumine|sümmeetria rikkumise]] – kõrvalnähtus. Selle stsenaariumi järgi tekivad düüonid vaakumi teatud konfiguratsiooni korral mingis ruumipiirkonnas, vastavuses algse Diraci teooriaga. Nad on stabiilsed, kuna puuduvad veel lihtsamad [[topoloogia|topoloogilised]] olekud, kuhu neil oleks võimalik laguneda.

Taolise vaakumi konfiguratsiooni ruumimõõdet nimetatakse süsteemi korrelatsioonipikkuseks, mis ei saa olla suurem, kui [[põhjuslikkus]] lubab. Seetõttu peab magnetiliste monopooluste loomiseks vajalik korrelatsioonipikkus olema vähemalt sama suur, kui paisuva universumi [[meetriline tensor|meetrika]] määratud horisondi mõõtmed. Selle loogika järgi peaks eksisteerima iga horisondiruumi kohta vähemalt üks magnetiline monopoolus, nagu see oli siis kui sümmeetria rikkumine aset leidis.

[[Suur Pauk|Suurele Paugule]] vahetult järgnevate sündmuste kosmoloogilised mudelid sisaldavad teatud eeldusi taolise horisondiruumi kohta. Neist eeldustest lähtuvalt on võimalik oletada monopooluste ruumtihedust. Algsed mudelid näitasid tohutusuurt monopooluste hulka, mis oli selges vastuolus katsetest saadud tulemustega.<ref name="h6i6W" /><ref name="mTF3D" /> Seda nimetati "monopooluse probleemiks," mille hiljem laialdaselt aktsepteeritud lahend ei saabunud mitte seetõttu, et muudeti osakestefüüsika arusaama monopoolustest, vaid kuna kohandati algseid kosmoloogilisi mudeleid, millest saame hinnata monopooluste tänapäevast esinemissagedust. Täpsemalt, nüüdisaegsemad [[inflatsioon (kosmoloogia)|kosmoloogilise inflatsiooni]] teooriad vähendavad magnetiliste monopooluste eeldatavat esinemissagedust sel määral, et nende senine eksperimentaalse registreerimise ebaedu ei ole imekspandav.<ref name="K3qPJ" /> Taolist lahendust "monopooluse probleemile" peetakse inflatsiooniteooria võiduks. (Mõistagi, tegu on edulooga vaid juhul, kui osakestefüüsika eeldus magnetilisest monopoolusest peab paika.<ref name="iAZMS" />) Neil põhjustel sai monopoolustest 1970. ja 1980. aastatel suur uurimisvaldkond, paralleelselt teiste SÜT ennustustega, mille vaatlemine võiks olla ka realistlik, nagu näiteks [[prootoni lagunemine]] kergemateks subatomaarseteks osakesteks.

Mitmete teiste SÜT ennustatud osakeste vaatlemine on aga väljaspool teaduse kaasaegset eksperimentaalset võimekust. Näiteks eeldatakse, et elektronõrga ja tugeva vastasmõju omavahelist interaktsiooni vahendab suur osakesteklass, mida nimetatakse [[X- ja Y-boson]]iteks, kuid need osakesed on äärmiselt suure massiga ning nende vaatlemine kindlalt väljaspool ka kõige võimsamate osakestekiirendite võimekust.

== Magnetiliste monopooluste otsingud ==
Monopooluste vaatlemiseks on läbi viidud mitmeid eksperimente. Üks lihtsamaid neist kujutab endast [[ülijuhtivus|ülijuhtiva]] traadi abil ka kõige pisemate magnetiliste allikate otsimist. Seda nimetatakse ülijuhtivaks kvantinterferentsseadeks ehk skviidiks (SQUID). Arvestades monopooluste eeldatavat ruumtihedust, võiksid laborilauale mahtuvad skviidid registreerida keskmiselt ühe sündmuse aastas. Kuigi on vaadeldud ärevusttekitavaid sündmusi, eriti Blas Cabrera poolt 14. veebruaril 1982 registreeritud sündmus (nn valentinipäeva monopoolus<ref name="6QPUS" />), ei ole siiani õnnestunud leida magnetpooluste olemasolu kohta reprodutseeritavaid tõendeid. Taoliste sündmuste puudumine on seadnud monopooluste hulga ligikaudseks piiriks ühe monopooluse 10<sup>29</sup> [[nukleon]]i kohta.

1975. aastal P. Buford Price'i juhitud tiimi eksperimendi järel kuulutati liikuva magnetilise monopooluse avastamist [[kosmiline kiirgus|kosmilisest kiirgusest]].<ref name="PRL-35-487" /> Hiljem aga võttis Price oma väite tagasi ning võimaliku alternatiivse selgituse käis välja [[Luis Walter Alvarez|Luis W. Alvarez]].<ref name="e0JRt" /> Alvarez demonstreeris oma artiklis, et registreeritud kosmilise kiirguse sündmuse trajektoori, mille väidetavalt jättis magnetiline monopoolus, võib reprodutseerida [[plaatina]] tuumaga, mis laguneb esmalt [[osmium]]iks ning seejärel [[tantaal]]iks.

Osa eksperimente lähtuvad teadmisest, et monopoolused, nagu ka kõik elektriliselt laetud osakesed on [[elektromagnetiline vastastikmõju|vastastikmõjus]] [[footon]]itega. Footonite vahetamisega seotud eksperimentides osakestekiirendites peaks põhimõtteliselt tekkima arvestatav hulk monopoolused, mida siis detekteeritakse mõõtes nende mõju footonite hajumisele. Taolises eksperimendis osakese tekitamise tõenäosus on võrdeline tema massiga – suurema massiga osakene tekib väiksema tõenäosusega – seega saab eksperimentide tulemustest lähtuvalt seada võimalikud piirid magnetiliste monopooluste massile. Üks viimaseid eksperimente näitas, et alla 600 [[elektronvolt|GeV]]/c² massiga monopoolusi ei eksisteeri. Massi ülemise piiri seab universum – kui monopooluse mass oleks suurem kui 10<sup>17</sup> GeV/c², siis oleks universum kollapseerunud.

[[Suur Hadronite Põrguti|LHC]]-s on üles seatud [[MoEDAL]]-i eksperiment, mille eesmärgiks on otsida magnetilisi monopoolusi ja suuri supersümmeetrilisi osakesi, kasutades selleks mitmeid [[LHCb]] eksperimendi VELO detektorit ümbritsevatele seintele kinnitatud erilisi plastikkihte. Otsitavad osakesed kahjustavad oma teel neid kihte, jättes seeläbi mitmeid analüüsitavaid jälgesid.

Vene astrofüüsik [[Igor Novikov]] viitab võimalusele, et magnetilistest monopoolustest moodustuvad makroskoopiliste [[must auk|mustade aukude]] magnetväljad, mis on seeläbi [[Schwarzschildi must auk|Einstein–Roseni silla]] alguseks.<ref name="Q6ThF" />

== "Monopoolused" kondensainesüsteemides ==
Alates aastast 2003 on mitmed [[kondensaine]]füüsika töörühmad kasutanud "magnetilise monopooluse" mõistet kirjeldamaks üht teist põhimõtteliselt erinevat nähtust.<ref name="TchernyshyovQuote" /><ref name="GibneyQuote" />

Tõelise monopooluse näol oleks tegemist uue elementaarosakesega, mis rikuks [[Maxwelli võrrandid|Gaussi lauset magnetväljade kohta <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>]]. Sedalaadi osakest, mis aitaks selgitada 1931. aastal Paul Diraci sõnastatud laengu kvantiseeritust,<ref name="BWZMw" /> ei ole tänapäevani vaadeldud.<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>. Sedalaadi osakest, mis aitaks selgitada 1931. aastal Paul Diraci sõnastatud laengu kvantiseeritust,<ref name="BWZMw" /> ei ole tänapäevani vaadeldud.

Kondensaine töörühmade uuritavatel monopoolustel need omadused puuduvad. Tegu ei ole uue elementaarosakesega, vaid pigem igapäevaste osakeste ([[prooton]]id, [[neutron]]id, [[elektron]]id, [[footon]]id) koosmõjul esineva nähtusega. Teisisõnu, tegemist on [[kvaasiosake]]stega. Nad ei ole [[magnetväli|magnetvälja]] allikaks (ei riku <math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math> seadust), vaid hoopis allikaks teistele väljadele, nagu [[magnetväli|H-väli]]<ref name="Castelnovo" /> või B*-väli, mis on seotud [[ülivoolavus|ülivoolava]] vedeliku kvantiseeritud keeristega.<ref name="Ray" /> Neil puudub arvestatav seos [[Suur Ühendus|Suure Ühenduse teooriatega]] või ka osakestefüüsika muude aspektidega ega aita selgitada laengu kvantiseeritust – välja arvatud see, et analoogiliste olukordade uurimise abil on võimalik kinnitada matemaatiliste alustalade õigsust.<ref name="Gibney" />

Kondensainefüüsikast on mitmeid näiteid, kus osakeste kollektiivsete mõjude tulemusel ilmnevad magnetmonopooluste-sarnased nähtused,<ref name="symmetrymagazine" /><ref name="H2OpH" /><ref name="Gpxgw" /><ref name="X5ViD" /> peamiselt [[spinn-jää]] materjalides.<ref name="Castelnovo" /><ref name="Bramwell" /> Kuigi neid ei tohi kindlasti segamini ajada hüpoteetiliselt vaakumis eksisteerivate magnetmonopoolus-osakestega, on neil sellegipoolest sarnaseid omadusi ja neid võib uurida sarnaste võtete abil.

Mitmed uurijad kasutavad monopoolus-kvaasiosakeste spinn-jääs käsitlemisele mõeldes terminit magnekter (magnet-elekter, ingl k ''magnetricity''),<ref name="Bramwell" /><ref name="Giblin" /> analoogselt sõnaga "elekter."

Üks näide taoliste kvaasiosakeste uurimusest on [[Science (ajakiri)|Science]] ajakirjas aastal 2009 avaldatud artikkel, milles J. Morris ja A. Tennant [[Helmholtz-Zentrum Berlin|Helmholtz-Zentrum Berlin für Materialien und Energie]] uurimuskeskusest, S. Grigera Vedelike ja Bioloogiliste Süsteemide Füüsika Instituudist Argentinas ning teised teadlased [[Dresdeni Tehnikaülikool]]ist, [[Saint Andrewsi Ülikool]]ist ja [[Oxfordi Ülikool]]ist kirjeldasid monopooluselaadsete kvaasiosakeste vaatlemist. Katse käigus viidi [[düsproosiumtitanaat|düsproosium-titanaadist]] spinn-jää kristall temperatuurini 0,6–2,0 [[kelvin]]it. Neutronite hajumise jälgimisel täheldati, et magnetmomendid liituvad tubulaarsete kimpudena, mis meenutavad Diraci stringe. Iga taolise torukese otsa moodustub kristallograafiline defekt, mida ümbritsev magnetväli meenutab magnetilise monopooluse välja. Välise magnetvälja abil rikuti süsteemi sümmeetria, mis võimaldas uurijatel varieerida kimpude tihedust ja orientatsiooni. Töös uuriti ka kvaasiosakeste, mida võis vaadelda kui pilve või teatud gaasina, mõju süsteemi soojusmahtuvusele.<ref name="sciencedaily" />
<ref name="cMJN0" />

Selle uurimuse eest saadi 2012 aastal auhind Europhysics Prize for condensed matter physics

Teiseks näiteks on 2011 veebruaris Nature Physics ajakirjas ilmunud artikkel, mis kirjeldab pikema elueaga magnetmonopoolus-kvaasiosakeste voolude teket ja mõõtmist spinn-jääs. 0.36 K temperatuuril düsproosiumtitanaadist kristallile rakendati impulssrežiimis magnetväli, millega saavutati relakseeruv magnetvool, mis säilis mitmeid minuteid. Vool mõõdeti [[solenoid]]is indutseeritud [[elektromotoorjõud|elektromotoorjõu]] kaudu ning selle kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutati Onsageri-Wieni laengukandjate dislokatsiooni ja rekombinatsiooni mehhanismile alluvate punktlaengute keemilis-kineetilist mudelit. Seeläbi tuletati spinn-jääs monopooluste liikumisi iseloomustavad mikroskoopilised parameetrid ning fikseeriti vabade ja seotud magnetlaengute rollid.<ref name="Giblin" />

[[Ülivoolavus|Ülivoolavates]] vedelikes avaldub '''B*'''-väli, mida seostatakse ülivoolates vedelikes tekkivate kvantiseeritud keeristega (superfluid vorticity) ning mis on matemaatiliselt analoogilised magnetväljaga '''B'''. Selle sarnasuse tõttu nimetatakse '''B*'''-välja "sünteetiliseks magnetväljaks." 2014 jaanuaris anti teada, et [[spiinor]]ruumi Bose-Einsteini kondensaadis loodi ja uuriti '''B*'''-välja monopooluselisi kvaasiosakesi.<ref name="Ray" /> Selle näol on tegemist esimese juhuga, kus magnetilist monopoolust vaadeldi kvantväljateooriaga kooskõlalises süsteemis.<ref name="Gibney" />

== Täiendavad kirjeldused osakestefüüsikas ==
Füüsikas viitab "magnetilise monopooluse" mõiste üldiselt [[Yangi-Millsi teooria|Yangi-Millsi potentsiaalile]] ''A'' ning [[Higgsi boson|Higgsi väljale]] ''ϕ'', mille [[liikumisvõrrand]]id määrab Yangi-Millsi [[mõjufunktsioon]]
:<math>\int (F_A,F_A)+(D_A \phi,D_A \phi) - \lambda(1 - \| \phi \|^2 )^2.</math>
Matemaatikas tähistab see mõiste üldiselt ülaltoodud võrrandi statsionaarset lahendit Bogomolny–Parasad–Sommerfeldi piiril ''λ → ϕ'', mille kaudu realiseerub järgneva [[funktsionaal]]i globaalne miinimum:
:<math>\int_{R^3} (F_A,F_A)+(D_A \phi,D_A \phi).</math>
See tähendab, et tegu on vektorkimbu ühendusega (''connection'') ''A'' printsipaal-G-ühendusel hulgas <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup> ning [[Lie algebra]] vastava kõrvalkimbu lõiguga ''ϕ''. Kõver ''F<sub>A</sub>'' ja kovariantne tuletis ''D<sub>A</sub>ϕ'' peavad rahuldama [[Bogomolny võrrandid|Bogomolny võrrandeid]]
:<math>F_A = * D_A \phi</math>
ja [[ääretingimused|ääretingimusi]]
:<math>\| \phi \| = 1- \frac{m}{r} + \theta(r^2), \quad \| D_A \phi \| = \mathcal{O} (r^2)</math>
Alates 1980. aastatest on magnetiliste monopooluste teooria matemaatiliste edasiarenduste aluseks tihtipeale olnud füüsikalise motiiviga probleemid.

Võrrandid on invariantsed kalibratsiooniteisenduste ja orientatsiooni hoidvate sümmeetriateisenduste suhtes. Suure <math>\gamma</math> korral määrab <math>\phi / \|\phi\|</math> raadiusega <math>\gamma\in \mathbb{R}</math> 2-sfääri kujutise vastavale orbiidile <math>G/k</math> ning selle kujutise [[homotoopia|homotoopset klassi]] nimetatakse magnetlaenguks. Suurem osa tööd on tehtud juhu G = SU(2) jaoks, kus laenguks on positiivne täisarv ''k''. Funktsionaali globaalne miinimumväärtus on sel juhul ''8πk'' ning <math>\phi / \|\phi\|</math> [[asümptootiline arendus|asümptootilises arenduses]] esinev liige ''m'' on väärtusega ''k / 2''.

Esimese SU(2) lahenduse tuletasid E. B. Bogomolny, J. K. Parasad ja C. M. Sommerfeld aastal 1975.
:<math>A = \left( \frac{1}{\sinh{\gamma}} - \frac{1}{\gamma} \right) \ \epsilon_{ijk} \frac{x_j}{\gamma} \sigma_k \, dx_i, </math>
:<math>\phi = \left( \frac{1}{\tanh{\gamma}} - \frac{1}{\gamma} \right) \ \frac{x_j}{\gamma} \sigma_i </math>
1980. aastal näitas C. H. Taubes<ref name="4PJdg" /> ''gluing'' konstruktsiooni kasutades, et eksisteerivad lahendused kõigi suurte ''k''-de jaoks ning peagi tuletati täpsed telgsümmeetrilised lahendid. Üldjuhu jaoks leidis esimese täpse lahendi 1981. aastal R. S. Ward ''k'' = 2 korral.

Bogomolny võrrandite lahendamiseks on 2 võimalust. Esimene neist rakendab [[twisteri teooria|twisteri meetodeid]]. N. J. Hitchini sõnastuses<ref name="cXLwp" /> vastab suvaline lahend [[homomorfism|homomorfsele]] vektorkimbule üle [[Enriques–Kodaira klassifikatsioon|komplekspinna]] <math>TP</math><sup>1</sup>, mis on projektsioonijoone pinnasihiline kimp. Lahend on loomupäraselt isomorfne orienteeritud sirglõikude ruumiga <math>\mathbb{R}</math><sup>3</sup>-s.

Ääretingimusest ilmneb, et vaadeldav holomorfne kimp on pikenduseks joonkimpudele, mis on määratud (k-1)² sugulusega (''genus'') [[algebralise joonega]] <math>TP</math><sup>1</sup>-s.

Teise meetodi tuletas W. Nahm<ref name="wdwAn" /> ning see kujutab endast seotud [[Diraci operaator]]i [[omaväärtus]]probleemi lahendamist ning võrrandite ja vastavate ääretingimuste [[harilik diferentsiaalvõrrand|harilike diferentsiaalvõrrandite süsteemi]] teisendamist, saades sel viisil [[Nahmi võrrandid]]
:<math>\frac{dT_1}{ds}=[T_2,T_3],\ \ \frac{dT_2}{ds}=[T_3,T_1],\ \ \frac{dT_3}{ds}=[T_1,T_2]</math>
kus <math>T_i</math><math>(s)</math> on ''k × k'' maatriksfunktsioon kohal (0,2).

Mõlema konstruktsiooni aluseks on analoogsed lahenduskäigud [[instatonide]] jaoks, kus konstruktsioonide tuletusviisidele mõeldes tähtsamaid tähelepanekuid oli N. S. Mantoni rakendatud [[Yang-Millsi võrrandid]] ruumis <math>\mathbb{R}</math><sup>4</sup>.

Meetodite ekvivalentsus SU(2) jaoks ning nende põhimõtteline korrektsus määrati töös<ref name="Zs1nj" /> (vt ka<ref name="N.J.Hitchin 1999" />). Täpseid valemeid ''A'' ja ''ϕ'' jaoks on kummagi meetodi abil keeruline leida, kuigi on olemas mõned täpsed lahendid Nahmi võrrandite jaoks sümmeetrilistel tingimustel.<ref name="kaBNf" />

Üldisema Lie grupi <math>G</math> juhtu, kus ''ϕ'' stabiliseerimiseks lõpmatuses kasutatakse maksimaalset toroidi, uuris M. K. Murray,<ref name="NZ7AB" /> lähenedes probleemile twisteri meetodil, kus SU(2) monopooluse üksik spektraalkõver asendatakse joonte kogumiga, mis on nummerdatud vastava Lie grupi [[Dynkini diagramm]]i keeriste järgi. Sellele vastava Nahmi esituse tuletasid J. Hustubise ja Murray.<ref name="hhExU" />

Taubes<ref name="FRz18" /> näitas, et Laenguga ''k'' SU(2) monopooluste mooduliruum on sile mittekompaktne ''4k – 1'' mõõtmeline [[muutkond]]. Jättes välja kalibratsiooniteisendused, kus ühendus lõpmatuses ei säili, jääb alles ''4k''-mõõtmeline muutkond <math>M_k</math>, mis on tõelise mooduliruumi kohal olev ringkimp ning millel on loomupärane täielik hüper-Kähleri meetrika<ref name="M.F.Atiyah, N.J.Hitchin 1988" /> (vt [[Einsteini muutkond|Kähleri-Einsteini muutkond]]).

Seda meetrikat käsitletakse twisterina<ref name="M.F.Atiyah, N.J.Hitchin 1988" /> ning selle [[Kähleri potentsiaal]]i saab kirja panna kasutades spektraalkõvera Riemanni [[teetafunktsioon]]e,<ref name="N.J.Hitchin 1999" /> kuid vaid k = 2 juht on üldlevinud ja kasutataval kujul teada<ref name="M.F.Atiyah, N.J.Hitchin 1988" /> (alates aastast 2000). See Atiyah–Hitchini muutkond, Einsteini Taub-NUT meetrika ning <math>\mathbb{R}</math><sup>4</sup> on ainsad neljamõõtmelised täielikud hüper-Kähler muutkonnad, millel on mittetriholomorfne SU(2) mõjufunktsioon.

Tsükliline k-kordne <math>M_k</math> jaotuste rõngas on isomeetriliselt <math>\tilde{M_k}\times S^1\times \mathbb{R}^3</math> saadus, kus <math>\tilde{M_k}</math> on tugevalt keskpunkti surutud monopooluste ruum. See ruum esineb ka teoreetilises füüsikas [[S-duaalsus]]e ühes rakenduses ning töös<ref name="468pW" /> uurisid G. B. Segal ja A. Selby selle topoloogiat ja sellel defineeritud ''L²'' harmoonilisi vorme, seeläbi osaliselt füüsikalisi ennustusi kinnitades.

Magnetilist monopoolust hüperboolsel kolmruumil uuris twisteri meetodil M. F. Atiyah<ref name="9e94Q" /> (asendades komplekspinna TP<sup>1</sup> P<sup>1</sup>×P<sup>1</sup> antidiagonaali täiendiga (complement)) ning diskreetsete Nahmi võrrandite meetodil Murray ja M. A. Singer.<ref name="3KMqi" />

== Vaata ka ==
{{veergude loend|laius=22em|
* [[Wu-Yangi monopoolus]]
* [[Diraci string]]
* [[Soliton]]
* [[Instaton]]
* [[Meron]]
* [[Topoloogiline defekt]]
* [[Felix Ehrenhaft]]
* [[Bogomolny võrrandid]]
* [[Düüon]]
* [['t Hoofti-Poljakovi monopoolus]]
}}

== Viited ==
{{viited|allikad=
<ref name="Hooper">[http://books.google.com/books?id=tGBUvLpgmUMC&pg=PA192 Dark Cosmos: In Search of Our Universe's Missing Mass and Energy, by Dan Hooper, p192]</ref>
<ref name="Castelnovo">{{cite journal |doi=10.1038/nature06433 |title=Magnetic monopoles in spin ice |authors=C. Castelnovo, R. Moessner and S. L. Sondhi |journal=Nature |volume=451 |pages=42–45 |date=3. jaan 2008|arxiv = 0710.5515 |bibcode = 2008Natur.451...42C}}</ref>
<ref name="Ray">{{cite journal|last1=Ray|first1=M.W.|last2=Ruokokoski|first2=E.|last3=Kandel|first3=S.|last4=Möttönen|first4=M.|last5=Hall|first5=D. S.|title=Observation of Dirac monopoles in a synthetic magnetic field|journal=Nature|volume=505|issue=7485|year=2014|pages=657–660|issn=0028-0836|doi=10.1038/nature12954|bibcode = 2014Natur.505..657R |arxiv = 1408.3133}}</ref>
<ref name="MSWx8">[http://pdg.lbl.gov/2004/listings/s028.pdf Particle Data Group summary of magnetic monopole search]</ref>
<ref name="littlejohn">[https://web.archive.org/web/20110719150138/http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/lectures/Lecture.2007.10.11.pdf Lecture notes by Robert Littlejohn], University of California, Berkeley, 2007–8</ref>
<ref name="HTktO">Wen, Xiao-Gang; Witten, Edward, ''Electric and magnetic charges in superstring models'', Nuclear Physics B, Volume 261, p. 651–677</ref>
<ref name="PRL-35-487">{{cite journal|title=Evidence for Detection of a Moving Magnetic Monopole|author=P. B. Price|author2=E. K. Shirk |author3=W. Z. Osborne |author4= L. S. Pinsky |journal=Physical Review Letters|volume=35|issue=8|pages=487–490|date=25. aug 1975|doi=10.1103/PhysRevLett.35.487|publisher=American Physical Society|bibcode=1975PhRvL..35..487P}}</ref>
<ref name="YdeSp">S. Coleman, ''The Magnetic Monopole 50 years Later'', reprinted in ''Aspects of Symmetry''</ref>
<ref name="PRL-48-1378">{{cite journal|author=Blas Cabrera|title=First Results from a Superconductive Detector for Moving Magnetic Monopoles|journal=Physical Review Letters|volume=48|issue=20|pages=1378–1381|date=17. mai 1982|doi=10.1103/PhysRevLett.48.1378|publisher=American Physical Society|bibcode=1982PhRvL..48.1378C}}</ref>
<ref name="E1WSZ">[http://books.google.com/books?id=N1YEAAAAYAAJ&pg=PA352 The encyclopædia britannica, Volume 17, p352]</ref>
<ref name="Polchinski">[http://arxiv.org/abs/hep-th/0304042 Polchinski, arXiv 2003]</ref>
<ref name="63ihe">[http://books.google.com/books?id=6rYXAAAAIAAJ&pg=PA424 Principles of Physics by William Francis Magie, p424]</ref>
<ref name="sciencedaily">{{cite web |url=http://www.sciencedaily.com/releases/2009/09/090903163725.htm |title=Magnetic Monopoles Detected in a Real Magnet for the First Time |publisher=Science Daily |date=4. sept 2009 |accessdate=4. sept 2009}}</ref>
<ref name="K0aPI">[[Pierre Curie]], ''Sur la possibilité d'existence de la conductibilité magnétique et du magnétisme libre'' (''On the possible existence of magnetic conductivity and free magnetism''), Séances de la Société Française de Physique (Paris), p76 (1894). [http://www.archive.org/stream/sancesdelasocit19physgoog Free access online copy].</ref>
<ref name="symmetrymagazine">[http://www.symmetrymagazine.org/breaking/2009/01/29/making-magnetic-monopoles-and-other-exotica-in-the-lab/ Making magnetic monopoles, and other exotica, in the lab], 29. jaan 2009. Retrieved 31. jaan 2009.</ref>
<ref name="MJPAt">[[Paul Dirac]], "Quantised Singularities in the Electromagnetic Field". Proc. Roy. Soc. (London) '''A 133''', 60 (1931). [http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/dirac1931.pdf Free web link].</ref>
<ref name="TchernyshyovQuote">[http://physicsworld.com/cws/article/news/40302 Magnetic monopoles spotted in spin ices], September 3, 2009. "Oleg Tchernyshyov at Johns Hopkins University [a researcher in this field] cautions that the theory and experiments are specific to spin ices, and are not likely to shed light on magnetic monopoles as predicted by Dirac."</ref>
<ref name="hzXod">[[#References|Milton]] p.60</ref>
<ref name="GibneyQuote">{{cite journal |doi=10.1038/nature.2014.14612 |author=Elizabeth Gibney |journal=Nature (news section) |date=29. jaan 2014 |title=Quantum cloud simulates magnetic monopole}} "This is not the first time that physicists have created monopole analogues. In 2009, physicists observed magnetic monopoles in a crystalline material called spin ice, which, when cooled to near-absolute zero, seems to fill with atom-sized, classical monopoles. These are magnetic in a true sense, but cannot be studied individually. Similar analogues have also been seen in other materials, such as in superfluid helium.... Steven Bramwell, a physicist at University College London who pioneered work on monopoles in spin ices, says that the [2014 experiment led by David Hall] is impressive, but that what it observed is not a Dirac monopole in the way many people might understand it. "There's a mathematical analogy here, a neat and beautiful one. But they're not magnetic monopoles."</ref>
<ref name="VNlX9">The fact that the electric and magnetic fields can be written in a symmetric way is specific to the fact that space is three-dimensional. When the equations of electromagnetism are extrapolated to other dimensions, the magnetic field is described as being a rank-two [[antisümmeetriline seos|antisymmetric tensor]], whereas the electric field remains a true vector. In dimensions other than three, these two mathematical objects do not have the same number of components.</ref>
<ref name="moulin-2001">{{cite journal |title=Magnetic monopoles and Lorentz force |author=F. Moulin |volume=116 |issue=8 |pages=869–877 |year=2001 |arxiv=math-ph/0203043|journal=Nuovo Cimento B |bibcode = 2001NCimB.116..869M}}</ref>
<ref name="5CTAi">{{Netiviide |url=http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/STARS:Maxwell%27s_Equations |pealkiri=Arhiivikoopia |vaadatud=2015-01-08 |arhiivimisaeg=2014-10-16 |arhiivimisurl=https://web.archive.org/web/20141016161119/http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/STARS:Maxwell%27s_Equations |url-olek=ei tööta }}</ref>
<ref name="Can">Shanmugadhasan, S. "The Dynamical Theory of Magnetic Monopoles", ''Canadian Journal of Physics'' Vol. 30, p. 218. (1952).</ref>
<ref name="EP4YL">{{cite book |title=McGraw-Hill Encyclopaedia of Physics |first1=C.B. |last1= Parker|edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |year=1994|isbn=0-07-051400-3}}</ref>
<ref name="Found">Fryberger, D. "[http://www.slac.stanford.edu/pubs/slacpubs/4000/slac-pub-4237.pdf On Generalized Electromagnetism and Dirac Algebra]", ''Foundations of Physics'' Vol. 19, p. 125 (1989).</ref>
<ref name="9pn40">{{cite book |author= M. Mansfield, C. O'Sullivan|title= Understanding Physics|edition= 4th |year= 2011|publisher= John Wiley & Sons|isbn=978-0-47-0746370}}</ref>
<ref name="Jackson611">[[#References|Jackson 1999]], section 6.11.</ref>
<ref name="KCdC6">{{cite journal |title=Relativity and electromagnetism: The force on a magnetic monopole |author=Wolfgang Rindler |publisher=American Journal of Physics |date=november 1989 |volume=57 |issue=11 |pages=993–994 |doi=10.1119/1.15782 |journal=American Journal of Physics |bibcode = 1989AmJPh..57..993R}}</ref>
<ref name="Gibney">{{cite journal |doi=10.1038/nature.2014.14612 |author=Elizabeth Gibney |journal=Nature (news section) |date=29. jaan 2014 |title=Quantum cloud simulates magnetic monopole}}</ref>
<ref name="fX4Hc">For the convention where magnetic charge has units of webers, see [[#References|Jackson 1999]]. In particular, for Maxwell's equations, see section 6.11, equation (6.150), page 273, and for the Lorentz force law, see page 290, exercise 6.17(a). For the convention where magnetic charge has units of ampere-meters, see (for example) [http://arxiv.org/abs/physics/0508099v1 arXiv:physics/0508099v1], eqn (4).</ref>
<ref name="Bramwell">{{cite journal |authors=S. T. Bramwell, S. R. Giblin, S. Calder, R. Aldus, D. Prabhakaran, T. Fennell |title=Measurement of the charge and current of magnetic monopoles in spin ice |journal=Nature |volume=461 |pages=956–959 |date=15. okt 2009 |doi=10.1038/nature08500 |url=http://www.nature.com/nature/journal/v461/n7266/abs/nature08500.html|arxiv = 0907.0956 |bibcode = 2009Natur.461..956B}}</ref>
<ref name="COMlZ">{{cite journal | author = J.A. Heras, G. Baez | year = 2009 | title = The covariant formulation of Maxwell's equations expressed in a form independent of specific units | eprint = 0901.0194}}</ref>
<ref name="Giblin">{{cite journal |doi=10.1038/nphys1896 |url=http://www.nature.com/nphys/journal/v7/n3/full/nphys1896.html |title=Creation and measurement of long-lived magnetic monopole currents in spin ice |author=S. R. Giblin, S. T. Bramwell, P. C. W. Holdsworth, D. Prabhakaran & I. Terry |publisher=Nature Physics |date=13. veebr 2011 |accessdate=28. veebr 2011 |bibcode = 2011NatPh...7..252G |volume=7 |issue=3}}</ref>
<ref name="3IXAP">{{cite journal | author = F. Moulin | year = 2002 | title = Magnetic monopoles and Lorentz force | eprint = math-ph/0203043}}</ref>
<ref name="N.J.Hitchin 1999">{{cite book |author=N.J. Hitchin |title=Integrable sustems in Riemannian geometry |publisher= C-L.Terng (ed.) |edition= K.Uhlenbeck |year=1999 |isbn=}}</ref>
<ref name="0YV3R">[[#References|Jackson 1999]], section 6.11, equation (6.153), page 275</ref>
<ref name="M.F.Atiyah, N.J.Hitchin 1988">{{cite book |author=M.F. Atiyah; N.J. Hitchin |title=The geometry and dynamics of magnetic monopoles |publisher=Princeton Univ.Press |year=1988 |isbn=}}</ref>
<ref name="h6i6W">{{Cite journal|title=On the concentration of relic monopoles in the universe|first=Ya.|last=Zel'dovich|first2=M. Yu.|last2=Khlopov|year=1978|journal=Phys. Lett.|volume=B79|pages=239–41|bibcode=1978PhLB...79..239Z|doi=10.1016/0370-2693(78)90232-0|issue=3}}</ref>
<ref name="mTF3D">{{Cite journal|title=Cosmological production of superheavy magnetic monopoles | doi = 10.1103/PhysRevLett.43.1365|year=1979|journal=Phys. Rev. Lett.|volume=43|issue=19|pages=1365|first=John|last=Preskill|bibcode = 1979PhRvL..43.1365P}}</ref>
<ref name="K3qPJ">{{Cite journal|title=Magnetic Monopoles | doi = 10.1146/annurev.ns.34.120184.002333|year=1984|journal=Ann. Rev. Nucl. Part. Sci.|volume=34|pages=461|first=John|last=Preskill|bibcode = 1984ARNPS..34..461P}}</ref>
<ref name="iAZMS">Rees, Martin. (1998). ''Before the Beginning'' (New York: Basic Books) p. 185 ISBN 0-201-15142-1</ref>
<ref name="6QPUS">http://www.nature.com/nature/journal/v429/n6987/full/429010a.html</ref>
<ref name="e0JRt">{{cite conference|first=Luis W|last=Alvarez|title=Analysis of a Reported Magnetic Monopole|editor=Kirk, W. T.|conference=International symposium on lepton and photon interactions at high energies, Aug 21, 1975|book-title=Proceedings of the 1975 international symposium on lepton and photon interactions at high energies|pages=967|url=http://usparc.ihep.su/spires/find/hep/www?key=93726|access-date=2015-01-09|archive-date=2009-02-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20090204005403/http://usparc.ihep.su/spires/find/hep/www?key=93726|url-status=dead}}</ref>
<ref name="Q6ThF">''"If the structures of the magnetic fields appear to be magnetic monopoles, that are macroscopic in size, then this is a wormhole."'' Taken from All About Space, issue No. 24, April 2014, item "Could wormholes really exist?"</ref>
<ref name="BWZMw">"[http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/dirac1931.pdf Quantised Singularities in the Electromagnetic Field]" [[Paul Dirac]], ''Proceedings of the Royal Society'', May 29, 1931. Retrieved February 1, 2014.</ref>
<ref name="H2OpH">Zhong, Fang; Naoto Nagosa, Mei S. Takahashi, Atsushi Asamitsu, Roland Mathieu, Takeshi Ogasawara, Hiroyuki Yamada, Masashi Kawasaki, Yoshinori Tokura, Kiyoyuki Terakura (3. okt 2003). "The Anomalous Hall Effect and Magnetic Monopoles in Momentum Space". ''Science'' 302 (5642) 92–95. doi:10.1126/science.1089408. ISSN 1095-9203. http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/302/5642/92. Retrieved 2. aug 2007.</ref>
<ref name="Gpxgw">[http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/1167747 Inducing a Magnetic Monopole with Topological Surface States], American Association for the Advancement of Science (AAAS) ''Science Express'' magazine, Xiao-Liang Qi, Rundong Li, Jiadong Zang, Shou-Cheng Zhang, January 29, 2009. Retrieved January 31, 2009.</ref>
<ref name="X5ViD">[http://www.sciencedaily.com/releases/2013/05/130531103910.htm '' Artificial Magnetic Monopoles Discovered '']</ref>
<ref name="cMJN0">{{cite journal |doi=10.1126/science.1178868 |title=Dirac Strings and Magnetic Monopoles in Spin Ice Dy<sub>2</sub>Ti<sub>2</sub>O<sub>7</sub> |author=D.J.P. Morris, D.A. Tennant, S.A. Grigera, B. Klemke, C. Castelnovo, R. Moessner, C. Czter-nasty, M. Meissner, K.C. Rule, J.-U. Hoffmann, K. Kiefer, S. Gerischer, D. Slobinsky, and R.S. Perry |journal=Science |origyear=2009-07-09 |date=3. sept 2009 |bibcode = 2009Sci...326..411M |volume=326 |issue=5951 |pages=411–4}}</ref>
<ref name="4PJdg">{{cite book |author=A.Jaffe, C.H.Taubes| title=Vortices and monopoles| publisher= |edition= | year=1980| isbn=}}</ref>
<ref name="cXLwp">{{cite book |author=N.J. Hitchin | title=Monopoles and geodesics |publisher= | year=1982| isbn=}}</ref>
<ref name="wdwAn">{{cite book |author=W.Nahm| title=The construction of all self-dual monopoles by the ADHM method| publisher= |edition= | year=1982 |isbn=}}</ref>
<ref name="Zs1nj">{{cite book |author=N.J. Hitchin |title=On the construction of monopoles |publisher= |year=1983 |isbn=}}</ref>
<ref name="kaBNf">{{cite book |author=N.J. Hitchin, N.S. Manton, M.K. Murray |title=Symmetric Monopoles |publisher= |year=1995 |isbn=}}</ref>
<ref name="NZ7AB">{{cite book |author=M.K.Murray |title=Monopoles and spectral curves for arbitrary Lie groups |publisher= |edition= |year=1983 |isbn=}}</ref>
<ref name="hhExU">{{cite book |author=J. Hurtubise, M.K. Murray |title=On the construction of Monopoles for the classical groups |publisher= |edition= |year=1989 |isbn=}}</ref>
<ref name="FRz18">{{cite book |author=C.H.Taubes| title=Stability in Yang–Mills theories| publisher= |edition= | year=1983| isbn=}}</ref>
<ref name="468pW">{{cite book |author=G.B.Segal, A.Selby |title=The cohomology of the space of magnetic monopoles |publisher=| edition= |year=1996 |isbn=}}</ref>
<ref name="9e94Q">{{cite book |author=M.F.Atiyah |title=Magnetic monopoles in hyperbolic space, Vector bundles on algebraic varieties |publisher=Oxford University Press |year=1987 |isbn=}}</ref>
<ref name="3KMqi">{{cite book |author=M.K.Murray |title=On the complete integrability of the discrete Nahm equations |publisher= |edition= |year=2000 |isbn=}}</ref>
}}

== Välislingid ==
* [http://arxiv.org/abs/hep-ex/0302011 Magnetic Monopole Searches (lecture notes)]
* [http://pdg.lbl.gov/2004/listings/s028.pdf Particle Data Group summary of magnetic monopole search]
* [http://www.vega.org.uk/video/programme/56 'Race for the Pole' Dr David Milstead] Freeview 'Snapshot' video by the Vega Science Trust and the BBC/OU.
* [http://www.drillingsraum.com/magnetic_monopole/magnetic_monopole.html Interview with Jonathan Morris] about magnetic monopoles and magnetic monopole quasiparticles. Drillingsraum, April 16, 2010
* [http://www.nature.com/news/2009/090903/full/news.2009.881.html ''Nature'', 2009]
* [http://www.sciencedaily.com/releases/2009/09/090903163725.htm ''Sciencedaily'', 2009]

[[Kategooria:Füüsika lahendamata probleemid]]