Plancken legea

Planck-en legeak gorputz beltz batek oreka termikoan eta T tenperatura jakin batean isurtzen duen erradiazio elektromagnetikoaren dentsitate espektrala deskribatzen du, gorputzaren eta bere ingurunearen artean materia edo energia fluxu sarerik ez dagoenean.

XIX. mendearen amaieran, gorputz beltzaren erradiazio espektroa ezaguna zen arren, garai hartako teoriek iragartzen zutenetik nabarmen aldentzen zen lortutako emaitza esperimentala. Horregatik, fisikariek ezin zuten gorputz beltzaren erradiazio hori ondo azaldu eta teoria desberdin baten bila hasi ziren, gertaera horiek ondo azal zitzakeena.

1900ean Max Planck fisikari eta matematikariak heuristikoki erradiazio espektro hori adierazten duen formula bat lortu zuen. Honek, gorputz beltzaren erradiazioa ondo azaltzen zuen, fisika klasikoak iragarritako arazoa konponduz, katastrofe ultramorea izenekoa.

Teoria hau fisika modernoaren aitzindaria kontsideratzen da eta garrantzia handia du teoria kuantikoan.

Legea

Gorputz fisiko orok berezkoa eta jarraitua den erradiazio elektromagnetikoa igortzen du. Gorputz baten erradiazio espektralak edo erradiantziak, gorputz horrek azalera eta angelu solido unitateko maiztasun jakin baterako duen emisio espektralaren potentzia adierazten du. Planck-en legeak jarraian aurki dezakegun erradiantziaren adierazpena ematen digu. Honek tenperatura igotzean erradiazioen energia totala handitu eta uhin-luzera maximoa (potentzia maximoa lortzen deneko uhin-luzera) txikitu egiten direla erakusten du. Planck-en legearen arabera, $\nu$ maiztasuna eta ${T}$ tenperatura dituen gorputz baten erradiazio espektrala honako adierazpenak ematen du:

$B(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

non ${k_{B}}$ Boltzmannen konstantea, $h$ Planck-en konstantea eta $c$ argiaren abiadura hutsean diren.

Erradiazioa maiztasunaren funtzioan eman beharrean, beste aldagai batzuren menpe ere eman daiteke, haien artean $\lambda$ uhin-luzera gisa adierazten dena. Aldagai aldaketa hori egiteko, ez da nahikoa maiztasuna uhin-luzeraren funtzioan jarriz adierazpenean ordezkatzea. Erradiazio espektralaren adierazpena uhin-luzeraren menpe emateko, honako integrala hartu behar da abiapuntutzat:

$\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}B(\lambda ,T)d\lambda =\int _{\nu (\lambda _{2})}^{\nu (\lambda _{1})}B(\nu ,T)d\nu =\int _{\lambda _{2}}^{\lambda _{1}}B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda =\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}d\lambda$

Bigarren integralean, $\nu (\lambda _{2})$-etik $\nu (\lambda _{1})$-era integratu dugu adierazpena eta ez alderantziz, uhin-luzera maiztasunaren alderantziz proportzionala delako. Hau da, maiztasuna igo ahala uhin-luzera gero eta txikiagoa izango da. Horregatik, $\lambda _{1}<\lambda _{2}$ bada, $\nu (\lambda _{2})<\nu (\lambda _{1})$ izango da. Beraz, honakoa da bien artean dugun lotura:

$B(\lambda ,T)=-B(\nu ,T){\frac {d\nu }{d\lambda }}$

$c=\lambda \nu$ betetzen denez, honakoa izango da gorputz baten erradiazio espektrala uhin-luzeraren eta tenteraturaren menpe:

$B(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

Planck-en legeak gorputz beltzaren erradiazioa azaltzen du. Irudi honetan tenperatura desberdinen kasuan izango ditugun kurbak ikus daitezke. Kurba klasikoa (beltza) behatutako intentsitatearekiko dibergentea da maiztasuna handia denean (uhin-luzera txikia).

Azken adierazpen honen arabera, uhin-luzera gero eta txikiagoetan tenperaturaren menpe igorritako energia orduan eta azkarrago handiagotzen da. Planck-en legea beste magnitude batzuren menpe adieraztea ere posible da, baina bi horiek dira ohikoenak eta orokorrean erabilgarrienak.

Planck-en legeak gorputz beltzaren erradiazioa azaltzen du. Irudi honetan tenperatura desberdinen kasuan izango ditugun kurbak ikus daitezke. Kurba klasikoa (beltza) behatutako intentsitatearekiko dibergentea da maiztasuna handia denean (uhin-luzera txikia).

Aldagai desberdinen menpeko erradiazio espektralak unitate desberdinak izan behar ditu, hau da, haren unitateak ez dira berdinak izango aldagai desberdinen funtzioan kalkulatzean. Sistema internazionalean erradiazio espektralak honako unitateak ditu maiztasunaren menpekoa denean, $B=$ $W$·$sr^{-1}$·$m^{-2}$·$Hz^{-1}$. Uhin-luzeraren menpekoa denean berriz, $B=$ $W$ · $sr^{-1}$·$m^{-3}$ da.

Maiztasun baxuenen limitean edo uhin-luzera handienetan Planck-en legeak Rayleigh-Jeans-en legearen berdina izango da. Maiztasun altu edo uhin-luzera txikien limitean berriz Wien-en hurbilketarantz joko du.

Max Planck zientzialariak 1900. urtean garatu zuen lege hau, soilik modu enpirikoan determinatutako konstanteen arabera. Ondoren, oreka termodinamikoan dagoen gorputz baten erradiazioaren energia banaketa adierazteko aukera egonkor bakarra zela frogatu zuen.

Legearen forma ezberdinak

Aurreko atalean aipatu dugun bezala, Planck-en legea modu ezberdinetan adierazi daiteke, hau da, aldagai ugariren menpe eman daiteke erradiantziaren adierazpena. Ondorengo taulan erradiazio espektralaren adierazpen ugari ageri dira.

Planck-en legea aldagai ezberdinen menpe

$h$ erabiliz		$\hbar$ erabiliz
Aldagaia	Banaketa	Aldagaia	Banaketa
Maiztasuna $\nu$	$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	Maiztasun angeluarra $\omega$	$B_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
Uhin-luzera $\lambda$	$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	Uhin-luzera angeluarra $y$	$B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
Uhin zenbakia ${\tilde {\nu }}$	$B_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	Uhin zenbaki angeluarra $k$	$B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$

Taularen ezkerraldeko formulak esperimentalki lan egitean erabili ohi dira. Eskuinaldekoak berriz, aldagai angeluarren menpekoak direnak, teorikoki lan egitean izaten dira erabilgarriak.

Adierazpen horiek, gorputz beltzen erradiazioaren potentzia ematen dute, gorputzaren gainazalaren azalera unitateko, angelu solido unitateko eta unitate espektraleko (maiztasuna, uhin-luzera, uhin zenbakia…).

Adierazpen horien arteko erlazioa

Planck-en legea aldagai desberdinen menpe adierazi daitekela ikusi dugu. Adierazpen horietako batetik bestera pasatzeko ez da nahikoa aldagai hori beste batengatik ordezkatzea, aldagai desberdinen menpeko potentziek unitate desberdinak dituztelako. Hala ere elkarren artean lotuta daude ekuazio horiek, magnitude fisiko berdina adierazten dutelako.

Adierazpen horien artean aldagai aldaketa egin nahi izanez gero, abiapuntutzat haien integralak hartu behar dira (aurreko atalean uhin-luzeraren eta maiztasunaren artean egin den bezala). Beraz, bi adierazpen lotzeko aldagaien diferentzialak erabili beharko dira. Gainera, batzuetan zeinu negatiboak beharrezkoak izango dira, aldagai horiek elkarren alderantziz proportzionalak izanez gero. Maiztasunaren eta uhin-luzeraren arteko adierazpenek honako berdintza betetzen dute:

$B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)$ eta ondorioz, $B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).$

Gainera, $\nu (\lambda )={\frac {c}{\lambda }}$ denez, ${\frac {d\nu }{d\lambda }}=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}$ izango da,honakoa lortuz,

${\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}$

Bestalde, erradiazio maximoaren kokapena ez da berdina izango adierazpen guztien kasurako, hautatutako aldagaiaren araberakoa da. Hala ere, azken adierazpenak banaketa horren forma tenperaturaren independentea dela adierazten du.

Energia dentsitate espektrala

Planck-en legea erradiazioaren baitan adierazi beharrean, energia dentsitatearen menpe adierazi daiteke. Honako formularen bidez erlazionatzen dira biak:

$u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T)$

Adierazpen honek, igorritako energia ematen du bolumen unitateko hautatutako aldagaiaren arabera (maiztasuna, uhin-luzera...).

Propietateak

Gailurra

$B_{\nu },B_{\omega },B,$ eta $B_{k}$ banaketen fotoien energien gailurra honakoa da:

$E=\left[3+W\left({\frac {-3}{e^{3}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T$

non W, Lanbert W funtzioa eta e Eulerren zenbakia diren.  $B_{\lambda }$ eta $B_{y}$ banaketen energien gailurrak ordea, ezberdinak dira:

$E=\left[5+W\left({\frac {-5}{e^{5}}}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T$

Hau gertatzen da ezin delako (adibidez) $B_{\nu }$-tik $B_{\lambda }$-ra aldatu soilik $\nu ={\frac {c}{\lambda }}$ ordezkatuz. Aldaketa egokia izateko, emaitzari

$\left|{\frac {d\nu }{d\lambda }}\right|=c/\lambda ^{2}$

biderkatu behar zaio. ${\frac {1}{\lambda ^{2}}}$ faktoreak banaketaren gailurra energia altuagoetara eramaten du.

Bestalde, gorputz beltz baten fotoiaren batezbesteko energia honako hau da:

$E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\zeta \left(3\right)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T$

non $\zeta$ Riemman zeta funtzioa den. Adierazpen  hau $hc$ biderkadurarekin zatituz gailurraren uhin-luzera lor daiteke. Gailur honen erradiazio espektroa hau da:

$B_{\nu ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}(3+W(-3\exp(-3))^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{3+W(-3\exp(-3))}-1}}\approx \left(1.896\times 10^{-19}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{2}\cdot {\text{Hz}}\cdot {\text{K}}^{3}}}\right)\times T^{3}$

$B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}(5+W(-5\exp(-5))^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{5+W(-5\exp(-5))}-1}}\approx \left(4.096\times 10^{-6}{\frac {\text{W}}{{\text{m}}^{3}\cdot {\text{K}}^{5}}}\right)\times ~T^{5}$

Hurbilketak

Maiztasun baxuen kasuan, Planck-en legea eta Rayleigh-Jeans-ren legeak berdinak dira,

$B_{\nu }(T)\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T$ eta $B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T$ lortuz.

Erradiaizoa maiztasunaren erro karratuarekin batera handituz doa, katastrofe ultramorea erakutsiz. Maiztasun altuen limitean, berriz, Planck-en legea Wien-en hurbilketaratz doa:

$B_{\nu }(T)\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}}$ eta $B_{\lambda }(T)\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$

Bi hurbilketa hauek ezagunak ziren Planck-ek bere legea garatu aurretik, beraz legeak hurbilketa hauek betetzen dituela ziurtatu zuen.

Gorputz beltzaren erradiazioa

Gorputz beltz ideala, jasotzen duen erradiazio elektromagnetiko osoa xurgatzen duen gorputza da, batere islatu barik, erradiazioaren maiztasuna edozein izanik. Hala ere, gorputz guztiek berezko erradiazioa igortzen dute. Planck-ek bere legea lehen aldiz gorputz beltzak igorritako erradiazioa azaldu ahal izateko proposatu zuen. Erradiazio hori termikoa dela esaten da, tenperaturaren menpekoa delako. Gainera, gorputzaren materialaren independentea da. Gorputz beltzaren erradiantzia handiagoa da tenperatura ere handiagoa denean. Stefan eta Boltzmann-en legeak lotzen ditu tenperatura eta erradiantzia.

Stefan eta Boltzmann-en legeak, gorputz beltz baten erradiantzia ematen digu gorputzaren tenperaturaren menpe. Honako integrala eginez lortzen da erradiantzia horren adierazpena:

$B=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}$

Beraz, honakoa da azken emaitza:

$B=\sigma T^{4}$

non $\sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670400\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}}$ Stefan eta Boltzmann-en konstantea den.

Erradiazio horrek intentsitate maximo bat lortzen du uhin-luzera zehatz batean eta uhin-luzera hori tenperaturaren menpekoa da. Tenperatura handiagotu ahala, intentsitatea maximoa deneko uhin-luzeraren balioa txikituz doa, bien arteko biderkadura konstantea baita. Hau, Wien-en legeak azaltzen du, potentzia maximoa lortzen deneko uhin-luzeraren ($\lambda _{max}$) eta tenperaturaren ($T$) arteko erlazioa ematen baitu:

$\lambda _{max}T=2,898\times 10^{-3}mK$

Historia

Planck-en iritzia bere legea baino lehen

Planck-ek 1897. urtean jarri zuen arreta gorputz beltzaren erradiazioaren arazoan lehen aldiz. Aurrerapen enpiriko eta fisikoei esker, 1899an Lummer eta Pringsheim zientzialariek eskuragarri zeuden ebidentzia esperimentalak gutxi gorabehera intentsitatearen lege espezifikoarekin bat zetozela ikusi zuten. Honakoa lortu zen:    $C\lambda ^{-5}e^{-{\frac {c}{\lambda T}}}$, C eta c enpirikoki kalkulatu daitezkeen konstanteak, λ uhin-luzera eta T tenperatura izanik. Planck-ek ordura arteko jakintzak kontuan hartuz formulazio hau onartzea erabaki zuen.

Lege enpirikoen bila

Max Planck-ek 1900eko urriaren 19an argitaratu zuen bere legea, Wien-en hurbilketaren hobekuntza gisa. Hurbilketa hau datu esperimentalei egokitzen zaie uhin-luzera txikia denean, baina ez uhin-luzera handien kasuan. 1900. urteko ekainean Rayleigh-ek honakoa proposatu zuen: Stewart-Kirchhoff-en formula unibertsala  $c_{1}T\lambda ^{-4}exp(-{\frac {c}{\lambda T}})$ formakoa izan ziteekela.  1900eko urriaren 7an, Rubens-ek adierazi zuen, uhin-luzera handietarako (eta soilik haietarako)  Rayleigh-en 1900. urteko formula egokia zela.

Formula horrek uhin-luzera handietarako, energia tenperaturarekiko propotzionala zela adierazten zuen, $U_{\lambda }=const$.$T$ . ${\frac {dS}{dU_{\lambda }}}={\frac {1}{T}}$ da, beraz uhin-luzera handietarako ekuazio hau betetzen da ${\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}=-{\frac {const.}{U_{\lambda }^{2}}}$t./Uλ2 . Bestalde, uhin-luzera txikietarako Wien-en formularen arabera${\frac {1}{T}}=-const.$ $ln$$U_{\lambda }+const.$. eta ondorioz, ${\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}=-{\frac {const.}{U_{\lambda }}}$ betetzen da. Beraz Planck-ek bi formula heuristiko hauek batu zituen uhin-luzerara txikia zein handia denean egokia den adierazpen bat lortzeko:

${\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}$

non $B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}}$ den.

Planck-ek lortutako emaitzak Rubensi bidali zizkion, eta honek berak eta Kurlbaum-ek burututako behaketen emaitzekin konparatu zituen, horrela, adierazpena edozein uhin-luzera guztietarako egokia zela ikusiz. Geroago, Rubens eta Kurlumb-ek txosten osatuago bat egin zuten Planck-en legea baieztatzen zuena.

Legeari azalpen teorikoa bilatzen

Planck-ek behin enpirikoki egokia zen funtzioa lortuta, legearen eratorpen fisikoa eraiki zuen. Horretarako, horma islatzaileko barrunbe bat osziladorez osatuta dagoela onartu zuen, eta oziladore hauetan energia elektromagnetikoa banatzeko era posible guztiak aztertu zituen. Boltzmann-ek ez bezala, Planck-ek osziladore bakoitzak ondoko energia zuela suposatu zuen:

$\epsilon =h\nu .$

Gerora, adierazpen horretatik abiatuta, kuantizazioaren kontzeptua proposatu zen, ideia hau garatuz.

Kanpo estekak

• Datuak: Q212986