Bayesen teorema

Probabilitate teorian, Bayes-en teoremak gertakizun baten inguruan jasotako informazioaz baliatuz, gertakizun horren probabilitatea nola aldatu behar diren azaltzen duen teorema da. Adibidez, Bayes-en teorema pertsona bat gaixotasun batek jota izateko probabilitatea zehazteko erabil daiteke pertsona horri diagnostiko froga baten emaitza jakin ondoren. Bayes-en teoremari esker, estatistika adar oso bat garatu da: estatistika bayestarra. Thomas Bayes zientzia gizonak asmatu zuen XVIII. mendean.

Teorema

Bitez $A,\ B$ bi gertakizun:

P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.

$P(A)$ a priori edo aurretiko probabilitatea da.

$P(A|B)$ a posteriori edo ondorengo probabilitatea da, $B$ gertakizuna gauzatu dela jakinik. A posteriori probabilitateak a priori probabilitatea zehazten du, B gertakizunak ematen duen informazioari esker.

Probabilitate osoaren teoremari esker, Bayes-en teorema era honetan ere azal daiteke, $\{A_{i}\},\ A_{i}$ izanik lagin espazioaren zatiketa bat eta bertako elementu bat, gertakizun bat alegia, hurrenez hurren:

P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})\,P(A_{i})}{\sum _{j}P(B|A_{j})\,P(A_{j})}}\!

Adibidea

Gaixotasun bat diagnostikatzeko froga bat erabiltzen da. Froga ez da perfektua ordea: orain arte jasotako datuen arabera, pertsona gaixo baten kasuan, frogak baiezkoa emateko probabilitatea 0.95 da. Pertsona gaixorik ez badago berriz, frogak ezezkoa emateko probabilitatea 0.90 da. Oro har, pertsonen %1 gaixorik dagoela uste da. Pertsona bati emandako frogak baiezkoa eman badu, nola aldatzen dira gaixorik eta ez gaixorik izateko probabilitateak?

Bayes-en teorema taula honen bitartez gara daiteke, "B: frogak baiezkoa eman du" dela jakinik:

$A_{i}$	$P(A_{i})$	$P(B\|A_{i})$	$P(A_{i})xP(B\|A_{i})$	$P(A_{i}\|B)$
gaixo	0.01	0.95	0.0095	0.0095/0.1085=0.087
ez gaixo	0.99	0.10	0.099	0.099/0.1085=0.913
GUZTIZKO	1		0.1085	1