Lähdekoodi sivulle Planckin yksiköt

'''Planckin yksiköt''' on [[Max Planck]]in vuonna 1899 esittelemä [[luonnollinen yksikköjärjestelmä]], joka perustuu neljään seuraavassa taulukossa esitettyyn [[luonnonvakio]]on.

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto;"<!-- valkonen taista ei toimi odotetusti sovelluksessa, jos teema on tumma; myös teksti on valkoinen -->
! Vakio
! Symboli
! Dimensio
! Suuruus SI-yksikköinä
|-
| [[valonnopeus]]
| <math>{ c } \ </math>
| [[Pituus|L]] [[Aika|T]]<sup> −1</sup>
| 299 792 458 m/s
|-
| [[gravitaatiovakio]]
| <math>{ G } \ </math>
| [[Massa|M]]<sup>−1</sup>L<sup>3</sup>T<sup> −2</sup>
| 6,67428 &middot; 10<sup>-11</sup> m<sup>3</sup> kg<sup>−1</sup> s<sup>−2</sup>
|-
| [[Planckin vakio|Redusoitu Planckin vakio]]
| <math>\hbar</math>
| ML<sup>2</sup>T<sup> −1</sup>
| 1,054571628 &middot; 10<sup>-34</sup> Js
|-
| [[Boltzmannin vakio]]
| <math>{ k } \ </math>
| ML<sup>2</sup>T<sup> −2</sup>[[Lämpötila|Θ]]<sup>−1</sup>
| 1,380649 &middot; 10<sup>-23</sup> J/K
|}

Planckin yksikköjärjestelmässä kaikki nämä luonnonvakiot saavat arvon 1 yksikköjärjestelmän perusyksiköissä esitettynä. Vakiot liittyvät [[fysiikka|fysiikan]] perusteorioihin: ''c'' [[suhteellisuusteoria]]an, ''G'' Newtonin [[gravitaatio]]teoriaan ja [[yleinen suhteellisuusteoria|yleiseen suhteellisuusteoriaan]], ''ħ'' [[kvanttimekaniikka]]an ja ''k''<sub>B</sub> [[statistinen mekaniikka|statistiseen mekaniikkaan]] ja [[termodynamiikka]]an. Teoreettisessa fysiikassa Planckin yksiköillä fysiikan lakeja esittävät yhtälöt voidaan esittää yksinkertaisimmassa mahdollisessa muodoissa. Erityisen suuri merkitys niillä on kehiteltäessä yhtenäisteorioita kuten [[kvanttigravitaatio]]n teoriaa. 

Planckin yksiköt eivät alkuperäisessä muodossaan sisällä sähkömagneettisia yksiköitä, esimerkiksi [[Sähkövaraus|varauksen]] tai [[Sähkövirta|sähkövirran]] yksiköitä. Eräät yksikköjärjestelmän laajennokset määrittelevät sähkömagneettiset yksiköt siten että joko [[tyhjiön permittiivisyys]] ''ε''<sub>0</sub> tai 4''πε''<sub>0</sub> saa arvon 1.

== Perusyksiköt ==

Mittayksikköjärjestelmissä suureet esitetään vertaamalla niitä johonkin referenssisuureeseen eli yksikköön. Esimerkiksi [[SI-järjestelmä]]ssä pituuden referenssisuure on pituuden perusyksikkö [[metri]]. Luonnollisissa järjestelmissä, kuten Planckin järjestelmässä luonnonvakioita vastaavien suureiden referenssinä käytetään luonnonvakioita itseään, jolloin luonnonvakiot saavat yksikköjärjestelmän [[Koherentti yksikkö|koherenteissa yksiköissä]] ilmaistuna arvon 1. Muut järjestelmän yksiköt rakennetaan luonnonvakioista peruslaskutoimitusten avulla. Planckin järjestelmän perussuureet ovat pituus, aika, massa ja lämpötila.<ref>{{lehtiviite | Tekijä = Max Planck | Otsikko = Über irreversible Strahlungsvorgänge | Julkaisu = Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenscafte zu Berlin | Numero = XXV | Ajankohta = 18.5.1899 | Sivut = 479–480 | Kieli = {{de}} | Selite = Planckin alkuperäinen tutkielma, jonka lopussa Planckin yksiköt esiteltiin ensimmäisen kerran | www = https://www.biodiversitylibrary.org/item/93034#page/497/mode/1up}}</ref> Järjestelmän mukaista pituuden yksikköä sanotaan [[Planckin pituus|Planckin pituudeksi]], aikayksikköä [[Planckin aika|Planckin ajaksi]] ja niin edelleen.

{| class="wikitable"
|+Perussuureiden Planckin yksiköt
! Suure
! Yksikkö
! Lauseke perusvakioiden avulla
! Suuruus [[SI-järjestelmä]]n yksikköinä ja sen epätarkkuus<ref name="CODATA">[http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html Fundamental Physical Constants from NIST]</ref>
|-
| [[Pituus]]
| [[Planckin pituus]]
| <math>l_{P}= \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}}\;</math>
| 1,616252(81) &middot; 10<sup>-35</sup> [[metri|m]]
|-
| [[Aika]]
| [[Planckin aika]]
| <math>t_{P} = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}\; </math>
| 5,39124(27) &middot; 10<sup>-44</sup> [[sekunti|s]]
|-
| [[Massa]]
| [[Planckin massa]]
| <math>m_{P} = \sqrt{c \hbar /G}\; </math>
| 2,17644(11) &middot; 10<sup>-8</sup> [[kilogramma|kg]]
|-
| [[Lämpötila]]
| [[Planckin lämpötila]]
| <math>T_{P} = \frac{\sqrt{c^5 \frac{\hbar}{G}}}{k}</math>
| 1,415 &middot; 10<sup>32</sup> [[Kelvin|K]]
|}

== Johdannaisyksiköt ==

Perusyksiköistä voidaan johtaa yksiköt myös johdannaissuureille. Muutamien johdannaissuureiden yksiköiksi saadaan Planckin järjestelmässä jokin edellä luetelluista perusvakioista.

Johdannaissuureiden yksiköitä ovat esimerkiksi seuraavat:

{| class="wikitable"
|-
! scope=col | Suure
! scope=col | Yksikkö
! scope=col | Lauseke
! scope=col | Suuruus SI-yksikköinä
|-
| [[Pinta-ala]]
| [[Planckin pinta-ala]]
| <math>A_{P}= l_P^2 =\frac{G\hbar}{c^3}\;</math>
| 2,61227 &middot; 10<sup>-70</sup> [[Neliömetri|m<sup>2</sup>]]
|-
|- align="left"
| [[Tilavuus]]
| [[Planckin tilavuus]]
| <math> l_P^3 = \left( \frac{\hbar G}{c^3} \right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(\hbar G)^3}{c^9}}</math>
| 4,22419 &middot; 10<sup>-105</sup> [[Kuutiometri|m<sup>3</sup>]]
|-
| [[Tiheys]]
| [[Planckin tiheys]]
| <math>\rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}\; </math>
| 5,1 &middot; 10<sup>96</sup> kg/m<sup>3</sup>
|-
| [[Nopeus]]
| [[Valonnopeus]]
| ''c''
| 299 792 458 m/s
|-
| [[Liikemäärä]]
| [[Planckin liikemäärä]]
| <math>m_P c = \frac{\hbar}{l_P} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} </math>
| 6,52485 Ns
|-
| [[Pyörimismäärä]]
| [[Redusoitu Planckin vakio]]
| <math>\hbar</math>
| 1,054571628 &middot; 10<sup>-34</sup> Js
|-
| [[Voima (fysiikka)|Voima]]
| [[Planckin voima]]
| <math>F_P = \frac{m_P l_P}{t_P^2} = \frac{c^4}{G}\; </math>
| 1,210 &middot; 10<sup>44</sup> [[Newton (yksikkö)|N]]
|-
| [[Paine]]
| [[Planckin paine]]
| <math>p_P = \frac{F_P}{l_P^2} = \frac{c^{7}}{\hbar G^2}\; </math>
| 4,635 &middot; 10<sup>113</sup> [[Pascal|P]]
|-
| [[Energia]]
| [[Planckin energia]]
| <math>E_P = F_P l_P = c^2\sqrt{\frac{c \hbar}{G}}</math>
| 1,956 &middot; 10<sup>9</sup> [[Joule|J]]
|-
| [[Teho]]
| [[Planckin teho]]
| <math>P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}\; </math>
| 3,629 &middot; 10<sup>52</sup> [[Watti|W]]
|-
| [[Lämpökapasiteetti]] ja [[entropia]]
| [[Boltzmannin vakio]]
| ''k''
| 1,380649 &middot; 10<sup>-23</sup> J/K
|}

== Planckin yksiköt ja fysiikan perusyhtälöt ==

Eri [[dimensio]]ta olevia fysikaalisia suureita, kuten pituutta ja aikaa, ei voida suoraan verrata toisiaan. [[Teoreettinen fysiikka|Teoreettisessa fysiikassa]] käytetään kuitenkin usein [[nondimensionalisaatio]]ksi nimitettyä menetelmää, jolla eri suureet saadaan vertailukelpoisiksi ja joka perustuu oleellisesti Planckin yksikköihin.  Alla oleva taulukko osoittaa, miten Planckin järjestelmä yksinkertaistaa monia fysiikan perusyhtälöitä verrattuna niiden tavanomaisiin, esimerkiksi SI-yksiköissä esitettäviin muotoihin.

{| class="wikitable"
|+Planckin yksiköillä yksinkertaistettuja fysiikan yhtälöitä
!
! Tavanomainen muoto
! Nondimensionalisoitu muoto
|-
| Newtonin [[gravitaatio]]laki
| <math> F = - G \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
| <math> F = - \frac{m_1 m_2}{r^2} </math>
|-
|  [[Einsteinin kenttäyhtälöt]] [[yleinen suhteellisuusteoria|yleisessä suhteellisuusteoriassa]] 
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu} } \ </math>
| <math>{ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \ </math>
|-
| Massan ja energian ekvivalenssi [[suppea suhteellisuusteoria|suppeassa suhteellisuusteoriassa]]
| <math>{ E = m c^2} \ </math>
| <math>{ E = m } \ </math>
|-
| Lämpöenergia hiukkasta ja vapausastetta kohti
| <math>{ E = \frac{k_B T}{2}} \ </math>
| <math>{ E = \frac{T}{2}} \ </math>
|-
| Boltzmannin lauseke [[entropia]]lle
| <math>{ S = k_B \ln \Omega } \ </math>
| <math>{ S = \ln \Omega } \ </math>
|-
| Planckin relaatio energian ja [[kulmataajuus|kulmataajuuden]] välillä
| <math>{ E = \hbar \omega } \ </math>
| <math>{ E = \omega } \ </math>
|-
| [[Mustan kappaleen säteily]]ä koskeva [[Planckin laki]] 
| <math> I(\omega,T) = \frac{\hbar \omega^3 }{4 \pi^3 c^2}~\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1} </math>
| <math> I(\omega,T) = \frac{\omega^3 }{4 \pi^3}~\frac{1}{e^{\omega/T}-1} </math>
|-
|[[Stefanin-Boltzmannin vakio]] σ (määritelmä)
|<math> \sigma =  \frac{\pi^2 k_B^4}{60 \hbar^3 c^2} </math>
|<math>\ \sigma = \pi^2/60 </math>
|-
|[[Jacob Bekenstein|Bekenstein]]in–[[Stephen Hawking|Hawking]]in lauseke [[musta aukko|mustan aukon]] entropialle<ref>Also see [[Roger Penrose]] (1989) ''[[The Road to Reality]]''. Oxford Univ. Press: 714–17. Knopf.</ref>
|<math>S_{BH} = \frac{A_{BH} k_B c^3}{4 G \hbar} = \frac{4\pi G k_B m^2_{BH}}{\hbar c}</math>
|<math>S_{BH} = A_{BH}/4 = 4\pi m^2_{BH}</math>
|-
| [[Schrödingerin yhtälö]]
| <math>
- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \dot{\psi}(\mathbf{r}, t)</math>
| <math>
- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \dot{\psi}(\mathbf{r}, t)</math>
|-
| Schrödingerin yhtälö [[Hamiltonin operaattori]]n avulla
| <math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \hbar \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t</math>
| <math> H \left| \psi_t \right\rangle = i \partial \left| \psi_t \right\rangle/\partial t</math>
|-
| [[Diracin yhtälö]]n kovariantti muoto
|<math>\ ( \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - imc) \psi = 0</math>
|<math>\ ( \gamma^\mu \partial_\mu - im) \psi = 0</math>
|}

== Suuruusluokat ==

Vain muutamat Planckin yksiköt vastaavat suuruudeltaan joitakin arkielämästäkin tuttuja vastaavien suureiden arvoja. Tällaisia ovat:
*1 [[Planckin massa]] on noin 22 [[mikrogramma]]a
*1 [[Planckin liikemäärä]] on noin 6,5 kg m/s
*1 [[Planckin energia]] on noin miljardi [[joule]]a tai 500 [[kilowattitunti]]a.

Lisäksi [[Planckin varaus]] on noin 11 kertaa [[alkeisvaraus|alkeisvarauksen]] suuruinen (tarkemmin 11,707 alkeisvarausta, mikä luku on sama kuin [[atomifysiikka|atomifysiikassa]] tärkeän [[hienorakennevakio]]n [[neliöjuuri|neliöjuuren]] käänteisluku.) 

Suurin osa Planckin yksiköistä kuitenkin on useita [[suuruusluokka|suuruusluokkia]] liian suuria tai liian pieniä mihinkään käytännön tarkoituksiin, minkä vuoksi Planckin järjestelmä soveltuu käytettäväksi ainoastaan teoreettisessa fysiikassa. Itse asiassa monien suureiden Planckin yksiköt vastaavat kyseisen suureen pienintä tai suurinta mahdollista tai nykyisen fysiikan mukaan mielekästä määrää. Esimerkiksi:

*Nopeuden Planckin yksikkö on [[valonnopeus]], joka suhteellisuusteorian mukaan on suurin mahdollinen signaalinopeus <ref>{{cite book |last1=Feynman |first1=R. P. |authorlink1=Richard Feynman |last2=Leighton |first2=R. B. |authorlink2=Robert B. Leighton |last3=Sands |first3=M. |title=[[The Feynman Lectures on Physics]] |volume=1 "Mainly mechanics, radiation, and heat" |publisher=Addison-Wesley |id=[http://lccn.loc.gov/630020717 LCCN] |pages=15–9 |chapter=The Special Theory of Relativity |year=1963 |isbn=0738200085}}</ref>
*Nykyiset [[kosmologia|kosmologiset]] teoriat voivat kuvata vain sitä, mikä tapahtui [[Planckin epookki|Planckin epookin]] jälkeen, jolloin maailmankaikkeus oli yhden Planckin ajan ikäinen ja läpimitaltaan Planckin pituuden kokoinen ja sen lämpötila oli Planckin lämpötila. Sen tutkiminen, mitä tätä ennen tapahtui, edellyttäisi [[kvanttigravitaatio]]ta koskevaa teoriaa, joka yhdistäisi kvanttiteorian ja yleisen suhteellisuusteorian, mutta sellaista teoriaa ei vielä ole.
*Planckin lämpötilassa kaikki fysiikan tuntemat [[symmetriarikko|symmetriat rikkoutuisivat]] ja kaikki [[perusvuorovaikutus|perusvuorovaikutukset]] yhdistyisivät yhdeksi voimaksi.

Nykyisen [[maailmankaikkeus|maailmankaikkeuden]] koko Planckin yksiköissä on erittäin suuri, kuten seuraava taulukko osoittaa:

{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto; background-color: #ffffff"
|+Nykyinen maailmankaikkeus Planckin yksiköissä.
! Ominaisuus
! Likimääräinen lukuarvo<br>Planckin yksiköissä
! SI-yksiköissä
|- align="left"
| [[Maailmankaikkeuden ikä|Ikä]]
| 8,0 &middot; 10<sup>60</sup> ''t''<sub>P</sub>
| 4,3 &middot; 10<sup>17</sup> s
|-
| Näkyvän maailmankaikkeuden läpimitta
| 5.4 &middot; 10<sup>61</sup> ''l''<sub>P</sub>
| 8.7 &middot; 10<sup>26</sup> m
|-
| Näkyvän maailmankaikkeuden massa
| noin 10<sup>60</sup> ''m''<sub>P</sub>
| 3 &middot; 10<sup>52</sup> kg (vain tähdet luettuina)<br/> (10<sup>80</sup> protonia, mitä joskus sanotaan [[Eddingtonin luku|Eddingtonin luvuksi]])
<!--|-
| '''[[Planck density|Density]]'''
| 10<sup>-123</sup> ≈ 10<sup>61</sup>[[Planck mass|''m''<sub>P</sub>]]/[(4&pi;/3)(5x10<sup>61</sup>[[Planck length|<math>l_P</math>]]/2)<sup>3</sup>] ≈ Mass/Diameter<sup>3</sup>
| [[Density]]/!-->
|-
| Kosmisen taustasäteilyn lämpötila
| 1,9 &middot; 10<sup>&minus;32</sup> ''T''<sub>P</sub>
| 2,725 K
|}

Se seikka, että näistä luvuista monet ovat lähellä samaa suuruusluokkaa 10<sup>60</sup>, on mahdollisesti pelkkä yhteensattuma mutta on myös antanut muutamille teoreetikoille kuten [[Paul Dirac]]ille ja [[Arthur Eddington|Arthur Stanley Eddington]]ille aiheen kehitellä vaihtoehtoisia fysikaalisia teorioita.  Tällaiset teoriat tunnetaan [[Diracin suurten lukujen hypoteesi]]n nimellä, mutta valtaosa fyysikoita on hylännyt ne nimittäen niitä vähättelevästi [[numerologia]]ksi.

==Lähteet==
* The Physics Hypertextbook: [http://physics.info/planck/ Blackbody Radiation]
===Viitteet===
{{viitteet}}

{{Planckin yksiköt}}
[[Luokka:Planckin yksiköt|*]]