Bode-diagrammi

Bode–diagrammin avulla voidaan tarkastella systeemien dynaamista käyttäytymistä taajuuden funktiona. Sen kehitti Hendrik Wade Bode (1905–1982) työskennellessään Bell Laboratoriesilla 1930-luvulla. Sitä käytetään erityisesti sähkötekniikassa järjestelmien ja suotimien käyttäytymisen mallintamiseen. Bode–diagrammi koostuu kahdesta yleensä logaritmiselle taajuusasteikolle piirretystä kuvaajasta, vaihevasteesta ja itseisarvovasteesta. Vaihevasteesta ilmenee järjestelmän tulo- ja lähtösuureen välinen viive. Vaihesiirto ilmaistaan yleensä asteina tai radiaaneina. Itseisarvovaste kuvaa systeemissä tapahtuvaa vahvistusta taajuuden funktiona, ja se esitetään yleensä desibeleissä.

Bode–diagrammi on taajuusvasteen graafinen esitysmuoto.

Yleistä

Bode–diagrammi piirretään systeemistä muodostetun siirtofunktion avulla, joka esimerkiksi vastuksesta ja kondensaattorista koostuvalle alipäästösuodattimelle näyttää seuraavalta:

$\!G(s)={\frac {K}{1+\tau s}}$

Yhtälössä K on järjestelmän vahvistus ja τ on aikavakio. Siirtofunktiosta saadaan määritettyä systeemin rajataajuus, kertaluku, vahvistus sekä kaistanleveys, jotka ilmennetään Bode–diagrammilla.

Rajataajuus ω₀ (luonnollinen kulmataajuus) kuvaa systeemin itseisarvovasteessa kohtaa, jossa systeemin vahvistus on muuttunut 3 dB. Rajataajuus ilmenee käytännössä esimerkiksi sähkötekniikassa suotimilla siten, että alipäästösuodin suodattaa rajataajuutta ylemmät taajuudet ja ylipäästösuodin suodattaa rajataajuutta alemmat taajuudet.

Systeemin kertaluku määräytyy sähköisessä järjestelmässä reaktiivisten komponenttien määrän mukaan. Jos esimerkiksi systeemissä on yksi kondensaattori ja yksi kela sarjassa, on systeemi toista kertalukua. On huomattava, että mikäli systeemin komponentit ovat rinnan, voidaan niiden ajatella olevan yksi ekvivalenttinen reaktiivinen komponentti, ja tällöin systeemi on ensimmäistä kertalukua. Yhden kertaluvun systeemi voi kääntää systeemin vaihetta enintään 1*90°, toisen kertaluvun systeemi 2*90° jne. Systeemin vahvistus laskee rajataajuuden jälkeen n*20 dB/dekadi, missä n = systeemin kertaluku.

Systeemin vahvistus ilmaistaan Bode-diagrammissa desibeleinä. Vahvistus saadaan desibeleistä kertoimeksi A yhtälöllä A = 10^G/20, missä G on vahvistus desibeleissä ja A on lähtö- ja tulosuureiden suhde. Kerroin A voidaan muuttaa desibeleiksi yhtälöllä G = 20log(A). Jos systeemin vahvistus on negatiivista, vaihevaste kääntyy 180°.

Bode-diagrammin piirtäminen

Bode-diagrammin hahmottelu voidaan aloittaa, kun tunnetaan systeemin siirtofunktio. Siirtofunktiosta voidaan määrittää systeemin vahvistus, nollat ja navat. Nollat ovat siirtofunktion osoittajan nollakohtia ja navat nimittäjän nollakohtia. Bode-diagrammissa Y-akselilla on joko itseisarvo dB-asteikolla esitettynä tai vaihe lineaarisella asteikolla esitettynä. X-akselilla taas on logaritminen taajuusasteikko. Yleisimmin Bode-diagrammit piirretään tietokoneavusteisesti.

• Vahvistus

• Diagrammin piirtäminen aloitetaan vahvistuksen piirtämisestä. Mikäli vahvistusta ei ole, voidaan se jättää huomioimatta. Bode-diagrammin piirtämistä varten vahvistuksen arvo pitää muuttaa desibeleiksi.

• Nollat ja navat

• Seuraavaksi piirretään systeemin nollien ja napojen vaikutus. Nollakohta lisää vahvistusta luonnollisen kulmataajuuden ω₀ jälkeen +20dB/dek. Napa eli nimittäjän nollakohta puolestaan vähentää vahvistusta -20dB/dek luonnollisen kulmataajuuden jälkeen. Mikäli napoja tai nollia on useampia samassa pisteessä, vahvistuksen muutosnopeus kerrotaan samassa pisteessä olevien nollien lukumäärällä.

• Vaihe

• Vaihetta piirrettäessä vahvistus voidaan jättää huomioimatta, sillä se ei vaikuta vaiheeseen. Miinusmerkki vahvistuksen edessä tarkoittaa kuitenkin 180° vaihesiirtoa. Nolla lisää vaihetta 90° siten, että vaihe kasvaa +45°/dek. Kasvu alkaa dekadin ennen luonnollista kulmataajuutta ja päättyy dekadin luonnollisen kulmataajuuden jälkeen. Mikäli useammat nollat ovat samassa pisteessä, vaiheen kasvunopeus kerrotaan samassa pisteessä olevien nollien lukumäärällä. Esimerkiksi, jos kaksi nollaa ovat samassa pisteessä vaihe kasvaa 90°/dek. Napa puolestaan laskee vaihetta 90° eli -45°/dek. Lasku alkaa, kuten nollan tapauksessakin, dekadin ennen luonnollista kulmataajuutta ja päättyy dekadin jälkeen.

Erikoistapauksessa, jossa nolla tai napa ovat origossa, vahvistus muuttuu koko ajan 20 dB/dek. Nollan tapauksessa se kasvaa ja navan tapauksessa laskee. Vaihe puolestaan pysyy +90°:ssa, jos nolla on origossa ja -90°:ssa, jos napa on origossa.

Esimerkki Bode-diagrammin piirtämisestä

Piirretään alla olevan siirtofunktion bode-diagrammi.

$H(s)={\frac {1+2s}{s(1+0,2s)}}$

Tehdään siirtofunktiolle Fourier-muunnos.

$H(jw)={\frac {1+2jw}{jw(1+0,2jw)}}$

Edellä olevasta yhtälöstä saadaan perustapaukset:

• 1+2jω
• (1+0,2jω)^-1
• (jω)^-1

Asetetaan seuraavat yhtälöt ja ratkaistaan nollakohdat.

• 1+2jω = 0.
• 1+0,2jω= 0.
• jω= 0.

Vahvistus

Origossa sijaitseva napa aiheuttaa vahvistuksen laskun koko taajuusalueella, joten ainoastaan vahvistuskäyrän muoto tunnetaan, muttei sen sijaintia. Sijainti voidaan selvittää laskemalla vahvistus jollakin tietyllä taajuudella. Esimerkiksi kulmataajuudella ω=1rad/s saadaan vahvistukseksi 6,82 dB.

Vaihe

Bode-diagrammi

Tämän jälkeen itse Bode-diagrammi voidaan piirtää hyödyntämällä yllä olevien kuvien vaihe- ja vahvistusvasteiden funktioita G(jω).

Bode-diagrammi

Vahvistusvara ja vaihevara

Bode-diagrammista voidaan määrittää vahvistus - ja vaihevara, joiden avulla voidaan arvioida systeemin stabiiliutta. Vahvistusvara ilmoittaa paljonko avoimen piirin vahvistusta voi lisätä, ennen kuin suljetusta systeemistä tulee epästabiili. Vaihevara taas kertoo paljonko avoimen piirin vaihesiirtoa voidaan lisätä, ennen kuin systeemistä tulee epästabiili.

Vaihevasteesta voidaan nähdä taajuus, jolla vaihe saavuttaa -180°. Merkitään tätä taajuutta f₁₈₀. Tämän taajuuden kohdalta voidaan itseisarvovasteesta katsoa kyseistä taajuutta vastaava vahvistus. Jos |f₁₈₀| = 0 dB, systeemi on epästabiili. Jos |f₁₈₀| < 0 dB, systeemi on stabiili. |f₁₈₀|:n vastaavan vahvistuksen ja vahvistuksen 0 dB erotusta kutsutaan vahvistusvaraksi.

Toinen samankaltainen stabiiliuden mitta on vaihevara. Itseisarvovasteesta voidaan nähdä taajuus, jolloin vahvistuksen arvo on 0 dB. Merkitään tätä taajuutta f_0 dB. Tämän taajuuden kohdalta voidaan vaihevasteesta katsoa taajuudella tapahtuva vaihesiirto. Jos f_0 dB:n vaihe on > -180°, systeemi on stabiili, muutoin epästabiili. f_0 dB:n vastaavan vaiheen ja -180°:n erotusta kutsutaan vaihevaraksi.

Systeemin stabiiliutta voidaan edelleen tarkastella esimerkiksi Nyqvistin stabiiliuskriteerin avulla.

Vahvistus- ja vaihevara bode-diagrammista

Lähteet

• Adel S. Sedra, Kenneth C. Smith: Microelectronics Circuits 6th edition. Oxford University Press, 2011.