Deformaatioretrakti

Topologiassa retrakti kutistaa koko avaruuden aliavaruudelleen. Deformaatioretrakti on kuvaus, jonka ideana on kutistaa avaruus aliavaruudelleen jatkuvalla tavalla.

Formaali määritelmä

Olkoon X topologinen avaruus ja A X:n aliavaruus X. Jatkuva kuvaus $r:X\to A$ on retrakti jos r:n rajoittuma A:han on A:n identtinen kuvausA, eli $r(a)=a$ kaikilla A:n alkioilla a. Huomaa, että retraktio kuvaa X:n surjektiivisesti A:lle. Tällöin A:ta sanotaan X:n retrektiksi.

Jatkuva kuvaus $d:X\times [0,1]\to X$ on deformaatioretrakti jos kaikilla X:n alkioilla x, A:n alkioilla a, ja välillä [0, 1] olevalla reaaliluvulla t on voimassa,

$d(x,0)=x$

$d(x,1)\in A$

$d(a,t)=a$.

Siten deformaatioretrakti on homotopia X:n identtisen kuvauksen ja X:n retraktin A:lle väillä. A:ta kutsutaan X:n deformaatioretraktiksi.

Huomaa, että vaikka homotopia on kuvausten välinen ekvivalenssirelaatio, deformaatioretrakti ei ole avaruuksien välinen ekvivalenssirelaatio. Yleensä derofmaatioretraktissa avaruus kutistuu toisen avaruuden osajoukoksi. Kuitenkin deformaatioretrakti on siinä mielessä samantapainen käsite kuin homotopiaekvivalenssi, että kaksi avaruutta ovat homotopiaekvivalentteja keskenään jos ja vain jos kumpikin avaruus muuntuu deformaatioretraktissa samaksi avaruudeksi. Tämä on ekvivalenssirelaatio.

Jokainen topologinen avaruus, joka voidaan muuntaa deformaatioretraktilla pisteeksi on kutistuva. Kutistuvuus on kuitenkin heikompi ehto kuin deformaatioretrakti, sillä on olemassa kutistuvia avaruuksia, joita ei voida muuntaa pisteeksi deformaatioretraktin avulla.