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L''''analyse convexe''' est la branche des [[mathématiques]] qui étudie les [[Ensemble convexe|ensembles]] et les [[Fonction convexe|fonctions convexes]]. Cette théorie étend sur beaucoup d'aspects les concepts de l'[[algèbre linéaire]] et sert de boîte à outils en [[Analyse (mathématiques)|analyse]] et en [[analyse non lisse]]. Elle s'est beaucoup développée du fait de ses interactions avec l'[[Optimisation (mathématiques)|optimisation]], où elle apporte des propriétés particulières aux problèmes qui y sont étudiés. Certains voient la naissance de l'analyse convexe « moderne » dans l'invention des notions de [[sous-différentiel]], d'[[application proximale]] et d'[[inf-convolution]] dans les années 1962-63<ref>{{en}} P. L. Combettes, J.-B. Hiriat-Urruty, M. Thera (2014). Preface. ''{{Langue|en|Mathematical Programming}}'', Ser. B, 148, 1-4.</ref>. Il a fallu un certain temps pour que l'on reconnaisse que cette discipline apportait des idées nouvelles et des outils puissants<ref>Citons R. T. Rockafellar : {{Citation étrangère|langue=en|We now take for granted that convex analysis is a good subject with worthwhile ideas, yet it was not always that way. There was actually a lot of resistance to it in the early days, from individuals who preferred a geometric presentation to one targeting concepts of analysis. Even on the practical plane, it’s fair to say that little respect was paid to convex analysis in numerical optimization until around 1990, say.}} [http://www.convexoptimization.com/wikimization/index.php/R._Tyrrell_Rockafellar].</ref>.

Si l'''Analyse convexe'' existe en tant que discipline des [[mathématiques]], et pas l'« Analyse concave », c'est parce que l'on définit aisément la notion d'[[ensemble convexe]], alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un [[Épigraphe (mathématiques)|épigraphe]] convexe (les fonctions concaves ont un [[hypographe]] convexe …convexe…).

L'[[ensemble convexe]] est le concept de base de l'analyse convexe ; c'est une partie d'un [[espace vectoriel]] réel qui contient tout le segment compris entre deux quelconques de ses points. Comme exemples d'ensemble convexe :

* les [[Polytope|polyèdres convexes]] jouent souvent un rôle particulier, renforçant les propriétés que l'on peut démontrer pour des ensembles convexes arbitraires, ;

À un ensemble convexe, on peut associer un certain nombre d'ensembles, comme :

* son [[enveloppe affine]], ;

* son [[Intérieur relatif d'un convexe|son intérieur relatif]], ;

* son [[cône asymptotique]], ''{{etc''.}} ;

* [[enveloppe convexe]], ;

* [[enveloppe convexe fermée]], ;

* [[Cône (analyse convexe)#Enveloppe conique|enveloppe conique]] d'un autre ensemble, ;

* [[image directe]] ou réciproque d'un convexe par une [[application linéaire,]] ;

* [[ensemble de sous-niveau]] d'une fonction convexe, ''{{etc''.}}

On peut aussi effectuer un certain nombre d'opérations avec les ensembles convexes, telles que :

* la [[Théorème de projection sur un convexe fermé|projection]] sur un ensemble convexe, ;

* la [[Séparation des convexes|séparation]] de deux convexes, ;

* la détermination de son [[cône dual]], ''de son [[ensemble polaire]]{{etc''.}}

La première de toutes ces notions est bien sûr celle de [[fonction convexe]], qui est une fonction définie sur un [[espace vectoriel]] réel à valeurs dans la [[droite réelle achevée]] dont l'épigraphe est convexe. Comme fonctions convexes particulières, mentionnons :

* les [[Fonction indicatrice (analyse convexe)|fonctions indicatrices]] d'ensembles convexes, ;

* les [[fonction affine|fonctions affines]], ;

* les [[fonctions convexes polyédriques]], ;

* les [[fonction sous-linéaire|fonctions sous-linéaires]], ;

* les [[fonction d'appui|fonctions d'appui]] sur des ensembles (convexes ou pas), ''{{etc''.}}

* pré-composition d'une fonction convexe par une fonction affine, ;

* [[enveloppe supérieure]] d'autres fonctions convexes, ;

* [[fonction marginale]] d'une fonction convexe, ;

* [[fonction duale]] en optimisation, ''{{etc''.}}

À une fonction convexe, on peut associer :

* sa [[fonction asymptotique]], ;

* sa [[fonction conjuguée]], ;

* son [[sous-différentiel]], ''{{etc''.}}

* [[Borneborne d'erreur]] et [[lemme de Hoffman]].

[[Algorithmique]] :

* [[Algorithmealgorithme proximal (optimisation)]] ;

* [[Méthodesméthodes de points intérieurs]] ;

* [[Relaxationrelaxation lagrangienne]].

=== NoteNotes ===

* {{en}} J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). ''Convex Analysis and Nonlinear Optimization''. [[Springer Science+Business Media|Springer]], New York.

* {{en}} J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). ''Convex Analysis and Minimization Algorithms''. [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]], 305-306. Springer-Verlag.

* {{en}} R.T. Rockafellar (1970). ''Convex Analysis''. Princeton Mathematics Ser. 28. [[Princeton University Press]], Princeton, New Jersey.

[[Catégorie:Analyse (mathématiques)]]

[[Catégorie:Analyse convexe|*]]