« Spectre de Lagrange » : différence entre les versions
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:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{1}{\sqrt{5}\, n^2}.</math>
Plus précisément, on définit {{math|''L''(ξ)}} comme la borne supérieure des ''c'' ayant la même propriété que {{racine|5}} dans cette formule (
:<math>\left |\xi-\frac{m}{n}\right |<\frac{1} {cn^2}</math> ;
l'ensemble des {{math|''L''(ξ)}} (pour {{math|ξ}} irrationnel) forme le '''spectre de Lagrange''' ''L''<ref>Ainsi nommé en hommage aux travaux de [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] sur les fractions continues{{refsou}}.</ref>. Le théorème de Hurwitz montre que <math>\sqrt{5}=L\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)</math> est le plus petit élément de ''L'', et plus précisément encore que les seuls nombres {{math|ξ}} pour lesquels {{math|''L''(ξ){{=}}{{racine|5}}}} sont les nombres [[Fraction continue et approximation diophantienne#Nombres équivalents|équivalents]] au [[nombre d'or]] <math>\varphi=\frac{1+\sqrt5}2</math> ; Hurwitz a également démontré que l'élément suivant de ''L'', obtenu en excluant les nombres précédents, est {{math|2{{racine|2}}{{=}}''L''({{racine|2}})}}. Plus généralement, ce procédé définit une suite de nombres ''L<sub>n</sub>'' appelés '''nombres de Lagrange''' ; il s'agit de la suite <math>\left(\sqrt{5},2\sqrt{2},\frac{\sqrt {221}}5,\frac{\sqrt {1517}}{13},\dots \right)</math>, de limite 3 et formant la partie du spectre de Lagrange inférieure à 3.
Une formulation équivalente, mais plus pratique, en
:<math>1/L(\xi)=\liminf_{n \to \infty}n^2\left |\xi-\frac{m}{n}\right |,</math>
où ''m'' est l'entier (dépendant de ''n'') rendant la différence minimale.
=== Développement en fraction continue et spectre de Markov ===
Partant du [[fraction continue|développement en fraction continue]] de {{math|ξ}},
<center><math>\xi=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\dots}}} = [a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots],</math></center>
Ligne 26 :
===Par les formes quadratiques ===
On considère l'ensemble des [[forme quadratique|formes quadratiques]] <math>f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2</math> à coefficients réels, de [[Discriminant#Forme_quadratique_en_dimension_2|discriminant]] fixé <math>\Delta=b^2-4ac=1</math><ref>Une autre valeur de {{math|Δ}} (positive) demanderait simplement à diviser par {{racine|Δ}} les nombres obtenus dans la définition de ''M'' ci-dessous</ref>. Pour chacune de ces formes, la borne supérieure des valeurs absolues des inverses des valeurs non nulles prises en un point du réseau <math>\mathbb{Z}^2</math> appartient au spectre de Markov ; plus précisément
:<math>M = \left\{ \left(\sup_{(x,y)\in \mathbb{Z}^2
=== En relation avec l'équation diophantienne de Markov ===
Ligne 36 :
== Géométrie des spectres ==
Le spectre de Lagrange est inclus dans celui de Markov, et ils sont identiques dans leur partie initiale comprise entre {{racine|5}} et 3 (commençant par {{racine|5}}, {{racine|8}}, {{math|{{racine|221}}/5}}, {{math|{{racine|1517}}/13}}
Le spectre de Lagrange est continu à partir de sa dernière discontinuité, la '''constante de Freiman''', un nombre dont la valeur exacte est
: <math> F = \frac{2\,221\,564\,096 + 283\,748\sqrt{462}}{491\, 993\, 569} = 4.5278295661\dots</math> ({{OEIS|A118472}}),
c'est-à-dire que <math>
Kalininskii Gosudarstvennyi Universitet, Moscou, 1975.</ref>{{,}}<ref name=mathworld2>{{MathWorld|nom_url=FreimansConstant|titre=Freiman's Constant}}</ref>. ''L'' est en fait strictement inclus dans ''M'', mais on ignore, par exemple, la valeur du plus petit élément de ''M'' qui n'est pas dans ''L''<ref>{{harvsp|Cusick|Flahive|1989}}, pp.35–45.</ref>.
La transition entre la partie discrète de ''L'' (entre {{racine|5}} et 3) et la partie continue (après ''F'') a une structure [[fractale]], décrite plus précisément par le théorème suivant<ref>{{
Ce théorème se généralise d'ailleurs à d'autres spectres analogues<ref>{{article|langue=en |nom1=Cerqueira |prénom1=Aline|nom2=Matheus |prénom2=Carlos|nom3=Moreira |prénom3=Carlos|date=février 2016|titre=Continuity of Hausdorff dimension across generic dynamical Lagrange and Markov spectra |url=https://arxiv.org/pdf/1602.04649.pdf|périodique=arXiv |volume= |numéro=|pages= |doi= |issn=}}.</ref>.
== Systèmes dynamiques associés aux spectres ==
Les définitions de ''L'' et de ''M'' à l'aide de développements en fractions continues amènent naturellement à les faire correspondre à un [[système dynamique]] : l'ensemble <math>S=({\mathbb N}^*)^{\mathbb Z}</math> des suites (infinies dans les deux directions) d'entiers non nuls, muni de l'[[Système_dynamique#Autres_exemples|opérateur de décalage]] <math>\sigma:S\mapsto S</math> défini par <math>\sigma ((a_n)_{n\in\mathbb Z})=(a_{n+1})_{n\in\mathbb Z}</math>. Associant alors à chaque suite <math>(a_n)_{n\in\mathbb Z}</math> de ''S'' le réel défini par la somme des développements en fractions continues <math>f((a_n)_{n\in\mathbb Z})=[a_0, a_1, a_2,\dots]+[0,a_{-1},a_{-2},\dots]</math>, les résultats donnés plus haut montrent<ref>{{harvsp|Ibarra|Moreira|2017}}, p.2.</ref> que
:<math>L=\left\{\limsup_{n\to\infty}f(\sigma^n(a)):a\in S \right\}</math> et
:<math>M=\left\{\lim_{n\in\mathbb N}f(\sigma^n(a)):a\in S \right\}</math>.
La géométrie des spectres (c'est-à-dire, par exemple, la [[dimension de Hausdorff]] de la restriction du spectre à un intervalle donné) peut alors être étudiée à l'aide d'outils venant de cette théorie, comme les {{lien|trad=Markov partition|partition de Markov|texte=partitions de Markov}}<ref>{{harvsp|Ibarra|Moreira|2017}}.</ref>.
== Voir aussi==
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== Bibliographie ==
* {{Ouvrage
* {{Ouvrage
* {{article|langue=en|url=https://perso.univ-rennes1.fr/serge.cantat/Documents/series-geometry-markoff.pdf|titre=The Geometry of Markoff Numbers|auteur=[[Caroline Series]]|journal=The Mathematical Intelligencer|date=1985}}
* {{Ouvrage |langue=en |prénom1=Thomas W. |nom1=Cusick |prénom2=Mary E. |nom2=Flahive |titre=The Markov and Lagrange Spectra
* {{
* {{article|langue=en |nom1=Moreira |prénom1=Carlos|date=janvier 2017|titre=Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra|url=https://arxiv.org/pdf/1612.05782.pdf|périodique=arXiv |volume= |numéro=|pages= |doi= |issn=}}
* {{article|langue=en |nom1=Ibarra |prénom1=Sergio|nom2=Moreira |prénom2=Carlos|date=août 2017|titre=On the Lagrange and Markov dynamical spectra |url=https://arxiv.org/pdf/1310.3903.pdf|périodique=Ergodic Theory and Dynamical Systems |volume=37 |numéro=5 |pages=1570–1591 |doi=10.1017/etds.2015.121 |issn=0143-3857}}
== Liens externes ==
{{Traduction/Référence|en|Markov spectrum|821864542}}
▲*{{Springer|id=m/m062540|title=Markov spectrum problem}}
{{Portail|arithmétique}}
[[Catégorie:
[[Catégorie:
[[Catégorie:Combinatoire]]
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