« Circuit RL » : différence entre les versions
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{{ébauche|électronique}}
Un '''circuit RL''' est un [[circuit électrique]] contenant une [[Résistance (électricité)|résistance]] et une [[Bobine (électricité)|bobine]]
Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).
== Circuit série ==
L'équation différentielle qui régit le circuit est la suivante :▼
Le circuit en série est analysé avec la [[Lois de Kirchhoff|loi des mailles]] pour donner :
[[Fichier:Circuit_RL_serie.png|
:<math>U =
* <math>R_t</math> la [[résistance électrique|résistance]] totale du circuit en [[Ohm (unité)|Ω]].▼
=== Régime transitoire ===
Dans le [[régime transitoire]] :
La solution générale, associée à la [[condition initiale]] <math>i_{bobine}(t=0) = 0</math>, est : ▼
:<math>i_{bobine} = \frac{U}{R_t}(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})</math>▼
:<math>
▲L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :
:<math>U = L{\mathrm dI\over \mathrm dt}+R_t I</math>
Avec :
*
*
*
▲*
* <math>t</math> le [[temps]] en [[seconde (temps)|s]] ;▼
▲La solution générale, associée à la [[condition initiale]]
C'est la constante de temps ''<math>\tau</math>'' qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de 5 ''<math>\tau</math>''.▼
:<math>\tau = {L\over R_t}</math>
▲C'est la constante de temps
Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en ''U=Ri'' car ''Ldi/dt=0''.▼
▲Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en
== Régime sinusoïdal permanent ==▼
▲=== Régime sinusoïdal permanent ===
Dans une analyse spectrale en [[régime sinusoïdal]] permanent, il faut considérer les [[impédance]]s des composants en fonction de la pulsation :
:<math>Z_R(\omega) = R,\quad Z_L(\omega) = j L \omega = 2\pi j L f </math>
où {{mvar|ω}} est la pulsation en [[Vitesse angulaire|rad.s<sup>-1</sup>]], {{mvar|f}} est la fréquence en [[Hertz|s<sup>-1</sup>]] et {{mvar|j}} désigne l'unité imaginaire, telle que {{math|''j''<sup>2</sup> {{=}} -1}}.
On pose ''U''<sub>e</sub> = ''U'' la tension entrant dans le quadripôle et ''U''<sub>s</sub> la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de ''U''<sub>s</sub> :
:<math>U_s = U_R = {Z_R\over Z_R+Z_L}U_e = {R\over R+jL\omega}U_e</math>
:<math>U_s = U_L = {Z_L\over Z_R+Z_L}U_e = {jL\omega\over R+jL\omega}U_e</math>
On note ''H''<sub>R</sub>(''ω'') et ''H''<sub>L</sub>(''ω'') les fonctions de transfert de chaque cas respectif.
=== Analyse fréquentielle ===
:<math> H_L(\omega) = { V_L(\omega) \over U_e(\omega) } = { j{L\over R}\omega \over 1 + j{L\over R}\omega }</math>
La fonction de transfert peut s'écrire <math> H_L(\omega)=G_L \mathrm{e}^{j\varphi _L} </math> où {{mvar|G}} est le gain et {{mvar|φ{{ind|L}}}}, la phase.
Ainsi, <math>H_L(\omega)=G_L\mathrm{e}^{j \varphi _L}</math>avec :
:<math> G_L = \frac {{\frac{L}{R}} \omega}{\sqrt{1+(\frac{L}{R} \omega)^2}} </math>
:<math> \varphi_L =\arg(H)=\frac \pi 2 -\arctan \left(\frac L R \omega\right) </math>
Quand {{mvar|ω}} tend vers 0 :
:<math>H_L \approx j \frac L R \omega\ \textrm{ donc }\ G_L \to 0 \ \textrm{ et }\ \varphi _L \to \frac \pi 2 </math>
Quand {{mvar|ω}} tend vers l'infini :
:<math>G_L \to 1 \ \textrm{ et }\ \varphi_L \to 0</math>
Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type [[filtre passe-haut]] : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.
== Voir aussi ==
{{Autres projets|wikiversity=Étude des systèmes électriques|wikiversity titre=Étude des systèmes électriques}}
* [[Circuit RC]]
* [[Circuit RLC]]
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{{Portail
[[Catégorie:Circuit électrique]]
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