« Application multilinéaire » : différence entre les versions
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Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite
* '''{{Page h'|symétrique}}''' si elle est [[Loi commutative|commutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math> ;
* [[Forme antisymétrique|'''antisymétrique''']] si elle est [[Anticommutativité|anticommutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=-f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math>.
On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une [[permutation]] des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si {{math|''f''}} est symétrique, et changé en son opposé si {{math|''f''}} est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si {{math|''f''}} est symétrique, et de multiplier par la [[permutations paires et impaires|signature]] de la permutation si {{math|''f''}} est antisymétrique. En résumé, <math>\mathfrak S_k</math> désignant le [[groupe symétrique]] d'indice <math>k</math> :
* si {{math|''f''}} est symétrique alors<ref name=":0">{{Chapitre|auteur1=Lucien Chambadal|auteur2=Jean-Louis Ovaert|titre chapitre=Linéaire & multilinéaire|titre ouvrage=Dictionnaire des mathématiques: algèbre, analyse, géométrie|éditeur=Albin Michel|jour=4|mois=9|année=1997|pages totales=923|passage=644|isbn=978-2226094230}}</ref> :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=f(x_1,\dots, x_k)</math> ;
* si {{math|''f''}} est antisymétrique alors<ref name=":0" /> :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots, x_k)</math> où <math>\varepsilon(\sigma)</math> est la [[Signature d'une permutation|signature]] de <math>\sigma</math>.
Ligne 55 :
== Application alternée ==
Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite '''alternée''' si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un {{math|''k''}}-uplet contenant deux vecteurs identiques<ref name=":0" /> :
: <math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_k)=0.</math>
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