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Quelques exemples classiques :
* le [[produit scalaire]] est une [[forme bilinéaire]] [[Forme bilinéaire symétrique|symétrique]] ;
* le [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] est une forme multilinéaire [[Forme antisymétrique|antisymétrique]] des colonnes (ou rangéeslignes) d'une [[matrice carrée]].
L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du [[produit extérieur]] et de nombreux autres outils ayant un contenu [[géométrique]]. La branche de l'algèbre correspondante est l'[[algèbre multilinéaire]]. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des [[variété (géométrie)|variétés]], en [[topologie différentielle]].
== Définition ==
Soient un entier <{{math>|''k'' > 0</math>}} et des [[Espace vectoriel|espaces vectoriels]] <math>{}^{E_1,\ldots,E_k,F}</math> sur un même [[Corps (mathématiques)|corps]] <{{math>|''K</math>''}}. Une application
:<math>f:E_1\times\ldots\times E_k\to F</math>
est dite multilinéaire (ou plus précisément : <{{math>|''k</math>''}}-linéaire) si elle est [[application linéaire|linéaire]] en chaque variable, c'est-à-dire si, pour des vecteurs <math>x_1, ..., x_k, x'_i</math> et des scalaires <{{math>|''a</math>''}} et <{{math>|''b</math>''}},
:<math>f(x_1,\dots,x_{i-1},ax_i+bx'_i,x_{i+1},\dots,x_k)=af(x_1,\dots ,x_i,\dots, x_k)+bf(x_1,\dots,x'_i,\dots x_k).</math>
De façon informelle, on peut se représenter une application <{{math>|''k</math>''}}-linéaire comme une application produit de <{{math>|''k</math>''}} termes, avec une propriété de type [[distributivité]].
L'ensemble des applications <{{math>|''k</math>''}}-linéaires de <math>{}^{E_1\times\ldots\times E_k}</math> dans <{{math>|''F</math>''}} est un [[sous-espace vectoriel]] de [[Exemples d'espaces vectoriels#Espaces fonctionnels|l'espace ''F''<sup>''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>n</sub></sup>'' de toutes les applications de ''E''<sub>1</sub>×…×''E<sub>n</sub>'' dans ''F'']]. C'est donc un espace vectoriel, que l'on note <math>{}^{L(E_1,\ldots,E_k;F)}</math>, ou plus simplement <math>L_k(E;F)</math> lorsque <math>{}^{E_1=\ldots=E_k=E}</math>. L'espace <math>L_k(E;K)</math> des [[Forme multilinéaire|formes <{{math>|''k</math>''}}-linéaires]] sur <{{math>|''E</math>''}} est noté <math>L_k(E)</math>.
Si <{{math>|1=''k'' = 1</math>}}, on retrouve l'espace <math>L(E;F)</math> des applications linéaires de <{{math>|''E</math>''}} dans <{{math>|''F</math>''}}. En revanche si <{{math>|''k'' > 1</math>}}, il ne faut pas confondre l'espace d'applications multilinéaires <math>{}^{L(E_1,\ldots,E_k;F)}</math> avec l'espace <math>{}^{L(E_1\times\ldots\times E_k;F)}</math> des applications linéaires sur l'[[Espace vectoriel#Produits et sommes directes|espace vectoriel produit]] <math>{}^{E_1\times\ldots\times E_k}</math>. Par exemple, de ''K×K'' dans ''K'', la multiplication <math>{}^{(x_1,x_2)\mapsto x_1x_2}</math> est bilinéaire mais pas linéaire, tandis que la projection <math>{}^{(x_1,x_2)\mapsto x_1}</math> est linéaire mais pas bilinéaire.
== Écriture en composantes ==
Si <math>{}^{\mathcal B_1,\ldots,\mathcal B_k}</math> (finies ou pas) sont des bases respectives des espaces <math>{}^{E_1,\ldots,E_k}</math>, l'application (linéaire) de restriction
:<math>L(E_1,\ldots,E_k;F)\to F^{\mathcal B_1\times\ldots\times\mathcal B_k},\qquad f\mapsto f_{|\mathcal B_1\times\ldots\times\mathcal B_k}</math>
est [[bijective]] (donc est un [[isomorphisme d'espaces vectoriels]]), c'est-à-dire qu'une application <{{math>|''k</math>''}}-linéaire est entièrement déterminée par ses valeurs sur les <{{math>|''k</math>''}}-uplets de vecteurs des bases, et que ces valeurs peuvent être des vecteurs quelconques de <{{math>|''F</math>''}}.
Plus concrètement, et en supposant pour simplifier les notations que
:<math>E_1=\ldots=E_k\quad\text{et}\quad\mathcal B_1=\ldots=\mathcal B_k=(e_i)_{i=1,\ldots,n},</math>
on peut décomposer chaque vecteur
:<math>x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i.</math>
Alors l'expression d'une forme <{{math>|''k</math>''}}-linéaire sur le <{{math>|''k</math>''}}-uplet <math>x_1, ..., x_k</math> devient
:<math>f(x_1,\dots,x_k )= f\left(\sum_{i_1=1}^n X_{i_1,1} e_{i_1}, \dots, \sum_{i_k=1}^n X_{i_k,k} e_{i_k}\right)=\sum_{i_1=1}^n \dots \sum_{i_k=1}^n \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}) .</math>
La connaissance des <math>n^k</math> valeurs <math>f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})</math> détermine entièrement l'application <{{math>|''k</math>''}}-linéaire <{{math>|''f</math>''}}.
En particulier, l'espace <math>L_k(E)</math> des formes <{{math>|''k</math>''}}-linéaires sur un espace vectoriel <{{math>|''E</math>''}} de dimension <{{math>|''n</math>''}} a pour dimension <math>n^k</math>.
== Symétrie et antisymétrie ==
Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite
* '''{{Page h'|symétrique}}''' si elle est [[Loi commutative|commutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs ne modifie pas le résultat :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math> ;
*{{ancre [[Forme antisymétrique|Antisymétrie}}'''antisymétrique''']] si elle est [[Anticommutativité|anticommutative]], c’est-à-dire si l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :
:<math>f(x_1,\dots,x_k)=-f(x_1,\dots,x_{i-1},x_j,x_{i+1},\dots,x_{j-1},x_i,x_{j+1},\dots,x_k)</math>.
On peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une [[permutation]] des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le résultat est non modifié si <{{math>|''f</math>''}} est symétrique, et changé en son opposé si <{{math>|''f</math>''}} est antisymétrique. Finalement, l'effet d'une permutation générale des vecteurs est de ne pas modifier le résultat si <{{math>|''f</math>''}} est symétrique, et de multiplier par la [[permutations paires et impaires|signature]] de la permutation si <{{math>|''f</math>''}} est antisymétrique. En résumé, <math>\mathfrak S_k</math> désignant le [[groupe symétrique]] d'indice <math>k</math> :
* si {{math|''f''}} est symétrique alors<ref name=":0">{{Chapitre|auteur1=Lucien Chambadal|auteur2=Jean-Louis Ovaert|titre chapitre=Linéaire & multilinéaire|titre ouvrage=Dictionnaire des mathématiques: algèbre, analyse, géométrie|éditeur=Albin Michel|jour=4|mois=9|année=1997|pages totales=923|passage=644|isbn=978-2226094230}}</ref> :
*si <math>f</math> est symétrique alors :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=f(x_1,\dots, x_k)</math> ;
* si <{{math>|''f</math>''}} est antisymétrique alors<ref name=":0" /> :
:<math>\forall \sigma \in \mathfrak{S}_k, \; f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(k)})=\varepsilon(\sigma)f(x_1,\dots, x_k).</math> où <math>\varepsilon(\sigma)</math> est la [[Signature d'une permutation|signature]] de <math>\sigma</math>.
Les sous-ensembles correspondants de <math>L_k(E;F)</math>, notés respectivement <math>S_k(E;F)</math> et <math>A_k(E;F)</math>, sont des sous-espaces vectoriels. Si la [[Caractéristique d'un anneau|caractéristique]] du corps <{{math>|''K</math>''}} est égale à de 2, ilils sont égaux.
== Application alternée ==
Une application <math>f\in L_k(E;F)</math> est dite '''alternée''' si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un <{{math>|''k</math>''}}-uplet contenant deux vecteurs identiques<ref name=":0" /> :
: <math>[\exists i\neq j, x_i=x_j] \Rightarrow f(x_1,\dots, x_k)=0.</math>
De façon équivalente, une application {{math|''k''}}-linéaire sur <math>E^k</math> est alternée si elle s'annule sur tous les {{math|''k''}}-uplets liés. En particulier, si {{math|''k''}} est strictement supérieur à la dimension de <{{math>|''E</math>''}}, alors la seule application {{math|''k''}}-linéaire alternée de <math>E^k</math> dans <{{math>|''F</math>''}} est l'application nulle.
{{énoncé|''Toute application <math>k</math>-linéairemultilinéaire alternée est antisymétrique.''}}
Si la caractéristique du corps <math>K</math> est différente de 2, la réciproque est vérifiée : toute application <math>k</math>-linéaire antisymétrique est alternée. ▼
▲Si la caractéristique du corps <{{math >|''K </math>''}} est différente de 2, la réciproque est vérifiée : toute application <math>k</math>-linéairemultilinéaire antisymétrique est alternée <ref name=Wikiversité>Pour une démonstration, voir par exemple la [[#Voir aussi|leçon sur Wikiversité]].</ref>.
{{Démonstration|contenu=
On peut se contenter de travailler avec deux variables, en fixant toutes les autres. On fait donc la preuve dans le cas d'une application bilinéaire <math>f:E\times E\to F</math>.
Si <math>f</math> est alternée, alors pour deux vecteurs <math>x</math> et <math>y</math> de <math>E</math>,
:<math>f(x+y,x+y)=0=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)</math>
ce qui montre que <math>f(x,y)</math> et <math>f(y,x)</math> sont opposés. Donc <math>f</math> est antisymétrique.
Si <math>f</math> est antisymétrique, pour tout <math>x</math>, le vecteur <math>f(x,x)</math> est égal à son opposé. Si la caractéristique de <math>K</math> est différente de 2, on en déduit que <math>f(x,x)</math> est nul, puis, que <math>f</math> est alternée.
}}
=== Application {{math|''n''}}-linéaire alternée en dimension {{math|''n''}} ===
Dans cette section on suppose que l'espace <{{math>|''E</math>''}} est de dimension finie <{{math>|''n</math>''}} et l'on étudie le cas particulier <{{math>|1=''k = n</math>''}}. Pour <{{math>|1=''F = K</math>''}}, cette étude permet de construiredonner leune définition alternative du [[déterminantDéterminant (mathématiques)|déterminant dans une base ''e'' d'un ''n''-uplet de vecteurs, ou de sa matrice]], lorsqu'on l'a défini au préalable par la [[Formule de Leibniz#Déterminant d'une matrice carrée|formule de Leibniz]].
Si <{{math>|''E</math>''}} est muni d'une base <math>e=(e_1, ...\dots, e_n)</math>, on peut décomposer chaque vecteur
: <math>x_j = \sum_{i=1}^n X_{i,j} e_i</math>.
Alors, l'expression d'une forme <{{math>|''n</math>''}}-linéaire alternée{{math|''f''}} sur le <{{math>|''n</math>''}}-uplet <math>x_1, ...\dots, x_n</math> se{{supra|Écriture simplifie.en Aprèscomposantes}} suppressionse dessimplifie termeslorsque où{{math|''f''}} figureest deuxalternée fois(donc le même vecteur,aussi ilantisymétrique) vient:
: <math>f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{(i_1, \dots,i_n)sigma\in\mathfrak JS_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{i_j\sigma(j),j} \right) f(e_{i_1}e_1,\dots,e_e_n)={i_n\det}_e(x_1,\dots, x_n)f(e_1,\dots,e_n)</math><ref name=Wikiversité/> où <math>\varepsilon(\sigma)</math> est la [[Signature d'une permutation|signature]] de <math>\sigma</math>.
où <math>J</math> est l'ensemble des <math>n</math>-uplets <math>(i_1, ..., i_n)</math> avec chaque <math>i_j</math> dans [|1,n|] et les <math>i_j</math> tous distincts.
Ainsi , la connaissance du seul vecteur <math>f( e_{1}e_1, ...\dots, e_{n}e_n)</math> ''suffit'' pour déterminer complètement la fonction {{math|''f''}}, et l'application <math> {\det}_e</math> est l'unique forme {{math|''n''}}-linéaire alternée {{math|''f ''}} telle que <math>f(e_1,\dots,e_n)=1</math>. ▼Mais alors <math>(i_1, ..., i_n)</math> sont les entiers de 1 à <math>n</math> rangés dans un certain ordre. En d'autres termes, ils forment une permutation des entiers de 1 à <math>n</math>. On retrouve une et une seule fois chacune des permutations de <math>n</math> entiers dans la somme précédente. Ceci permet de réindexer
:<math>f(x_1,\dots,x_n )= \sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} f(e_{\sigma(1)},\dots,e_{\sigma(n)})</math>
{{Théorème|Théorème<ref name=Wikiversité/>|Si {{math|''E''}} est de dimension {{math|''n''}}, alors l'espace <math>A_n(E;F)</math> des applications {{math|''n''}}-linéaires alternées de {{math|''E{{exp|n}}''}} dans {{math|''F''}} est isomorphe à {{math|''F''}}.}}Remarque : ce théorème permet d'[[Orientation (mathématiques)|orienter]] des espaces vectoriels réels en choisissant, dans le cas où F=R, dans la droite A des formes n-linéaires alternées, l'une ou l'autre des [[Demi-droite|demi-droites]] A<nowiki>' ou A'' et en appelant plans vectoriels orientés les couples (E,A) ou (E,A'</nowiki>)<ref>{{Ouvrage|auteur1=Jean Dieudonné|titre=Algèbre linéaire et géométrie élémentraire|lieu=Paris|éditeur=[[Hermann (éditions)|Hermann]]|année=1964|passage=pp. 78-83 pour les plans vectoriels}}</ref>.
Enfin par antisymétrie
:<math>f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) f(e_{1},\dots,e_{n})</math>
▲Ainsi la connaissance du seul vecteur <math>f(e_{1},...,e_{n})</math> ''suffit'' pour déterminer complètement la fonction <math>f</math>.
{{Théorème|Si <math>E</math> est de dimension <math>n</math>, alors l'espace <math>A_n(E;F)</math> des applications <math>n</math>-linéaires alternées de <math>E^n</math> dans <math>F</math> est isomorphe à <math>F</math>.}}
{{Démonstration|contenu=
L'application
:<math>\phi:\begin{matrix}A_n(E;F)& \longrightarrow & F\\
f&\longmapsto & f(e_{1},\dots,e_{n})\end{matrix}</math>
est linéaire. On vient de montrer qu'elle est injective.
Il reste à prouver qu'elle est surjective, c'est-à-dire que pour tout vecteur <math>a</math> de <math>F</math>, il existe effectivement une application <math>n</math>-linéaire alternée pour laquelle <math>f(e_{1},...,e_{n})=a</math>.
Pour construire un tel <math>f</math> on pose
:<math>f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^n X_{\sigma(j),j} \right) a</math>
* On a bien <math>f(e_{1},...,e_{n})=a</math>.
* La <math>n</math>-linéarité se vérifie pour chacun des termes de la somme pris séparément. À chaque fois on a affaire à un produit de composantes, une pour chaque vecteur du <math>n</math>-uplet. Donc si un seul vecteur varie, on lit cela comme une composante du vecteur variable fois une constante ; c'est bien linéaire.
* Le caractère alterné est moins évident. Si <math>x_i=x_j</math> pour deux indices <math>i</math> et <math>j</math> distincts, on introduit la transposition <math>\tau</math> qui échange <math>i</math> et <math>j</math>. On regroupe les termes deux par deux : chaque permutation paire <math>\sigma</math> avec la permutation <math>\tau \circ \sigma</math>. L'application <math>\sigma \mapsto \tau\circ \sigma</math> étant bijective de l'ensemble des permutations paires dans celui des permutations impaires, on a bien décrit chaque terme une seule fois.
:<math>f(x_1,\dots,x_n )= \left(\sum_{\sigma\in \mathfrak{A}_n} \left( \prod_{k=1}^n X_{\sigma(k),k}- \prod_{k=1}^n X_{\tau(\sigma(k)),k}\right) \right) a</math>
Mais les deux termes dont on fait la différence sont égaux, le résultat est donc bien nul.
On appelle notamment application déterminant relativement à la base base <math>e_1, ..., e_n</math> l'unique forme <math>n</math>-linéaire alternée telle que <math>f(e_1,...,e_n)=1</math>. Ses propriétés sont étudiées dans l'article « [[Déterminant (mathématiques)]] ».
=== Application {{math|''k''}}-linéaire alternée en dimension {{math|''n>k''}} ===
Reprenant le cas d'une application <{{math>|''k</math>''}}-linéaire alternée en dimension <{{math>|''n</math>''}}, on suppose cette fois que {{math|''n > k''}} (rappelons que si {{math|''n < k''}}, toute application <{{math>|''k</math>''}}-linéaire alternée est nulle). Une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figure deux fois le même vecteur, ; il vient
: <math>f(x_1,\dots,x_k )= \sum_{(i_1, \dots,i_k)\in J} \prod_{j=1}^k X_{i_j,j} f(e_{i_1},\dots,e_{i_k})</math>
où <{{math>|''J</math>''}} est l'ensemble des <{{math>|''k</math>''}}-uplets <math>(i_1, ..., i_k)</math> avec chaque <math>i_j</math> dans [|1,n|] et les <math>i_j</math> tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans <{{math>|''f</math>''}} de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme
: <math>f(e_{i_1}, \dots, e_{i_k}) \qquad \text{ avec } 1\leqle i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\leqle n.</math>
Le nombre de tels <{{math>|''k</math>''}}-uplets réordonnés est le [[coefficient binomial]] <math>\tbinom{n}{k}</math>., Par une démonstration analogue à celle du paragraphe précédent,et une forme <{{math>|''k</math>''}}-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de <{{math>|''f</math>''}} sur ces <{{math>|''k</math>''}}-uplets. En définitive, le théorème précédent se généralise en :
{{Théorème|Si <{{math>|''E</math>''}} est de dimension <{{math>|''n</math>''}}, alors l'espace <math>A_k(E;F)</math> des applications <{{math>|''k</math>''}}-linéaires alternées de <{{math>|''E^{{exp|k</math>}}''}} dans <{{math>|''F</math>''}} est isomorphe à
<center><math>F^{\tbinom nk}.</math></center>}}
Plus précisément, la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un [[mineur (algèbre linéaire)|mineur]] de la [[Matrice (mathématiques)#Coordonnées|matrice représentative]] de la famille des vecteurs <math>x_i</math> dans la base des <math>e_j</math>.
: <math>f(x_1,\dots,x_k )= \sum_{ 1\leq i_1<i_2<\dots <i_{k-1}<i_k\leq n} \begin{vmatrix}
X_{i_1;1}&X_{i_1;2}&\dots &X_{i_1;k} \\
X_{i_2;1}&X_{i_2;2}&\dots &X_{i_2;k} \\
\vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\
X_{i_k;1}&X_{i_k;2}&\dots &X_{i_k;k}
\end{vmatrix}f(e_{i_1},\dots,e_{i_k}).</math>
== Référence Note==
{{Références}}
[[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre'' ▼
== Voir aussi ==
{{autres projets
| wikiversity = Application multilinéaire
▲== =Articles connexes ===
[[Algèbre extérieure]] • [[Anticommutativité]] • [[Permanent (mathématiques)|Permanent]] • [[Tenseur]]
===Bibliographie===
{{Portail|Mathématiques}} ▼▲[[Roger Godement]], ''Cours d'algèbre''
▲{{ Palette|Algèbre linéaire}}
{{DEFAULTSORT:Application Multilineaire}}
▲{{Portail| Mathématiquesalgèbre}}
[[Catégorie:Algèbre multilinéaire]] ▼
▲[[Catégorie:Algèbre multilinéaire]]
[[de:Multilineare Abbildung]]
[[en:Multilinear map]]
[[eo:Plurlineara funkcio]]
[[is:Marglínuleg vörpun]]
[[it:Applicazione multilineare]]
[[pl:Przekształcenie wieloliniowe]]
[[sv:Multilinjär]]
[[zh:多重线性映射]]
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