« Nombre réel » : différence entre les versions
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=== Cardinalité ===
{{Article détaillé|Puissance du continu}}
Combien y a-t-il de nombres réels ? Une [[infini]]té, mais laquelle ? Deux ensembles ont même [[Nombre cardinal|cardinal]] (intuitivement : même « nombre d'éléments ») s'ils sont [[équipotence|équipotents]]. Par exemple les ensembles <math> \N </math> ([[Entier naturel|entiers naturel]]s), <math> \Z </math> ([[Entier relatif|entiers relatifs]]), <math> \Q </math> ([[Nombre rationnel|rationnels]]) ou <big>{{surligner|ℚ}}</big> ([[Nombre algébrique|algébriques]])<ref group=note>L'ensemble <big>{{surligner|ℚ}}</big> des nombres algébriques est la [[clôture algébrique]] du [[Corps (mathématiques)|corps]] ℚ des rationnels (ce qui explique sa représentation par un “q majuscule ajouré et surligné”), laquelle contient tous les rationnels, mais aussi tous les irrationnels non transcendants.</ref>, bien qu'emboîtés et contenant même chacun plusieurs « copies » du précédent, ont même « taille » : c'est le cardinal des [[Ensemble dénombrable|ensembles dénombrables]], noté [[ℵ₀]]. [[Georg Cantor]] a montré qu'il existe des cardinaux infinis strictement plus grands en fournissant, par son argument diagonal, une preuve que <math> \R </math> n'est pas dénombrable : voir l'article [[Argument de la diagonale de Cantor]]. En voici une autre.
{{Démonstration|titre={{refnec|date=septembre 2013|Autre preuve de la non-dénombrabilité de <math> \R </math>}}|contenu=
Montrons que l'intervalle [0, 1] n'est pas dénombrable, en montrant qu'une suite <math>(u_i)</math> dans [0, 1] n'est jamais [[Surjection|surjective]]. Il suffit de trouver un point <math>l</math> dans [0, 1] qui n'est pas dans l'[[Image d'une application|ensemble image]] de la suite. Pour cela, [[définition par récurrence|définissons par récurrence]] deux suites <math>(a_i)</math>, <math>(b_i)</math> telles que :
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