Application multilinéaire

En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une application à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.

Quelques exemples classiques :

• Le produit scalaire est une fonction bilinéaire symétrique à deux variables vectorielles, et qualifiée de forme bilinéaire car à valeur dans le corps de base.
• Le déterminant est une fonction multilinéaire antisymétrique des colonnes (ou rangées) d'une matrice carrée.

L'étude systématique des applications multilinéaires permet d'obtenir une définition générale du déterminant, du produit extérieur et de nombreux autres outils ayant un contenu géométrique. La branche de l'algèbre correspondante est l'algèbre multilinéaire. Mais il y a également de très nombreuses applications dans le cadre des variétés, en topologie différentielle.

Forme k-linéaire

Soit $k>1$ un entier. Soit $E$ un $\mathbb {K}$-espace vectoriel. Une forme $k$-linéaire sur $E$ est une application de $E^{k}$ dans $\mathbb {K}$, linéaire en chaque variable. Ainsi pour des vecteurs $x_{1},...,x_{k},x'_{i}$ et des scalaires $a$ et $b$

$f(x_{1},\dots ,x_{i-1},ax_{i}+bx'_{i},x_{i+1},\dots ,x_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{k})+bf(x_{1},\dots ,x'_{i},\dots x_{k})$

Il ne faut pas confondre cette notion avec celle d'application linéaire de $E^{k}$ dans $\mathbb {K}$. Pour une telle application on aurait en effet

$f(ax_{1}+bx'_{1},\dots ,ax_{k}+bx'_{k})=af(x_{1},\dots ,x_{k})+bf(x'_{1},\dots ,x'_{k})$

De façon informelle, il faut se représenter une application $k$-linéaire comme une application produit de $k$ termes, avec une propriété de type distributivité.

Écriture en composantes

Si l'espace $E$ est de dimension finie $n$ et muni d'une base $e_{1},...,e_{n}$, on peut décomposer chaque vecteur

$x_{j}=\sum _{i=1}^{n}X_{i,j}e_{i}$

Alors l'expression d'une forme $k$-linéaire sur le $k$-uplet $x_{1},...,x_{k}$ devient

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=f\left(\sum _{i_{1}=1}^{n}X_{i_{1},1}e_{i_{1}},\dots ,\sum _{i_{k}=1}^{n}X_{i_{k},k}e_{i_{k}}\right)=\sum _{i_{1}=1}^{n}\dots \sum _{i_{k}=1}^{n}\prod _{j=1}^{k}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$

La connaissance des $n^{k}$ valeurs $f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$ détermine entièrement la forme $k$-linéaire $f$.

Les formes $k$-linéaires alternées sur un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ forment donc un espace vectoriel $L_{k}(E)$, de dimension $n^{k}$.

Forme k-linéaire alternée

Une forme $k$-linéaire sur $E$ est dite alternée si elle s'annule à chaque fois qu'on l'évalue sur un $k$-uplet contenant deux vecteurs identiques :

$[\exists i\neq j,x_{i}=x_{j}]\Rightarrow f(x_{1},\dots ,x_{k})=0$

Antisymétrie

Toute forme $k$-linéaire alternée est antisymétrique, c'est-à-dire que l'échange de deux vecteurs a pour effet de changer le résultat obtenu en son opposé :

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{j},x_{i+1},\dots ,x_{j-1},x_{i},x_{j+1},\dots ,x_{k})$

Sauf dans le cas où $\mathbb {K}$ est un corps de caractéristique deux, la réciproque est vérifiée : toute forme $k$-linéaire antisymétrique est alternée.

Démonstration

On peut se contenter de travailler avec deux variables, en fixant toutes les autres. On fait donc la preuve dans le cas d'une forme bilinéaire $f$ sur $E$.

Si $f$ est alternée, alors pour deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$,

$f(x+y,x+y)=0=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)$

ce qui montre que $f(x,y)$ et $f(y,x)$ sont opposés. Donc $f$ est antisymétrique.

Si $f$ est antisymétrique, pour tout $x$ $f(x,x)$ est un scalaire, égal à son opposé. Si la caractéristique de $\mathbb {K}$ est différente de deux, on en déduit que $f(x,x)$ est nul puis que $f$ est alternée.

Forme plus générale de la propriété d'antisymétrie

Si $f$ est une forme $k$-linéaire antisymétrique, on peut effectuer plusieurs échanges de vecteurs successifs. On réalise ainsi une permutation des vecteurs, obtenue comme une succession de transpositions. À chaque étape, le signe est changé en son opposé. Finalement l'effet d'une permutation générale des vecteurs est la multiplication de la valeur obtenue par la signature de la permutation.

$\forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k},\;f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=\varepsilon (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{k})$

Cette propriété s'applique notamment pour les formes $k$-linéaires alternées.

Forme n-linéaire alternée en dimension n

Dans cette section on étudie le cas particulier $k=n$ qui permet de construire le déterminant.

Si l'espace $E$ est de dimension finie $n$ et muni d'une base $e_{1},...,e_{n}$, on peut décomposer chaque vecteur

$x_{j}=\sum _{i=1}^{n}X_{i,j}e_{i}$

Alors l'expression d'une forme $n$-linéaire alternée sur le $n$-uplet $x_{1},...,x_{n}$ se simplifie. Après suppression des termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{n})\in J}\prod _{j=1}^{n}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}})$

où $J$ est l'ensemble des $n$-uplets $(i_{1},...,i_{n})$ avec chaque $i_{j}$ dans [|1,n|] et les $i_{j}$ tous distincts.

Mais alors $(i_{1},...,i_{n})$ sont les entiers de 1 à $n$ rangés dans un certain ordre. En d'autres termes, ils forment une permutation des entiers de 1 à $n$. On retrouve une et une seule fois chacune des permutations de $n$ entiers dans la somme précédente. Ceci permet de réindexer

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}f(e_{\sigma (1)},\dots ,e_{\sigma (n)})$

Enfin par antisymétrie

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\right)f(e_{1},\dots ,e_{n})$

Ainsi la connaissance d'un seul scalaire, $f(e_{1},...,e_{n})$ suffit pour déterminer complètement la fonction $f$.

Théorème — L'ensemble $A_{n}(E)$ des formes $n$-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension $n$ constitue un espace vectoriel de dimension 1.

Démonstration

L'application

$\phi :{\begin{matrix}A_{n}(E)&\longrightarrow &K\\f&\longmapsto &f(e_{1},\dots ,e_{n})\end{matrix}}$

est linéaire. On vient de montrer qu'elle est injective.

Il reste à prouver qu'elle est surjective, c'est-à-dire que pour tout réel $a$, il existe effectivement une forme $n$-linéaire alternée pour laquelle $f(e_{1},...,e_{n})=a$.

Pour construire un tel $f$ on pose

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}}\varepsilon (\sigma )\prod _{j=1}^{n}X_{\sigma (j),j}\right)a$

• On a bien $f(e_{1},...,e_{n})=a$.
• La $n$-linéarité se vérifie pour chacun des termes de la somme pris séparément. À chaque fois on a affaire à un produit de composantes, une pour chaque vecteur du $n$-uplet. Donc si un seul vecteur varie, on lit cela comme une composante du vecteur variable fois une constante ; c'est bien linéaire.
• Le caractère alterné est moins évident. Si $x_{i}=x_{j}$ pour deux indices $i$ et $j$ distincts, on introduit la transposition $\tau$ qui échange $i$ et $j$. On regroupe les termes deux par deux : chaque permutation paire $\sigma$ avec la permutation $\tau \circ \sigma$. L'application $\sigma \mapsto \tau \circ \sigma$ étant bijective de l'ensemble des permutations paires dans celui des permutations impaires, on a bien décrit chaque terme une seule fois.

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\sum _{\sigma \in {\mathfrak {A}}_{n}}\left(\prod _{k=1}^{n}X_{\sigma (k),k}-\prod _{k=1}^{n}X_{\tau (\sigma (k)),k}\right)\right)a$

Mais les deux termes dont on fait la différence sont égaux, le résultat est donc bien nul.

On appelle notamment application déterminant relativement à la base base $e_{1},...,e_{n}$ l'unique application $n$-linéaire alternée telle que $f(e_{1},...,e_{n})=1$. Ses propriétés sont étudiées dans l'article déterminant (mathématiques).

Forme k-linéaire alternée en dimension n

Reprenant le cas d'une application $k$-linéaire alternée en dimension $n$, une partie seulement des résultats précédents peut être étendue. Il est toujours possible de supprimer les termes où figurent deux fois le même vecteur, il vient

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{(i_{1},\dots ,i_{k})\in J}\prod _{j=1}^{k}X_{i_{j},j}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$

où $J$ est l'ensemble des $k$-uplets $(i_{1},...,i_{k})$ avec chaque $i_{j}$ dans [|1,n|] et les $i_{j}$ tous distincts. De plus par antisymétrie, il est possible de réordonner les termes dans $f$ de façon à ne conserver qu'une combinaison de termes de la forme

$f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})\qquad {\text{ avec }}1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n$

• si k > n, il n'est pas possible de trouver de tels $k$-uplets, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'autre forme $k$-linéaire alternée en dimension $n$ que la forme nulle.

• si $k\leq n$, le nombre de tels $k$-uplets réordonnés est le coefficient binomial ${\tbinom {n}{k}}$. Par une démonstration analogue à celle du paragraphe précédent, une forme $k$-linéaire alternée est caractérisée par la donnée de la valeur de $f$ sur ces $k$-uplets.

En définitive, l'espace des formes $k$-linéaires alternées sur un espace de dimension $n$ est de dimension ${\tbinom {n}{k}}$.

Plus précisément la formule de décomposition peut être écrite en utilisant la notion de déterminant : chaque coefficient est un mineur de la matrice représentative des vecteurs $x_{i}$ dans la base des $e_{j}$.

$f(x_{1},\dots ,x_{k})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k-1}<i_{k}\leq n}{\begin{vmatrix}X_{i_{1};1}&X_{i_{1};2}&\dots &X_{i_{1};k}\\X_{i_{2};1}&X_{i_{2};2}&\dots &X_{i_{2};k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{i_{k};1}&X_{i_{k};2}&\dots &X_{i_{k};k}\end{vmatrix}}f(e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{k}})$

Voir aussi

• Déterminant
• Permanent
• Tenseur
• Algèbre extérieure